第九章-重积分-习题解答

习题9-11.设有一平面薄板（不计其厚度），占有Oxy平面上的闭区域D，薄板上分布着面密度为(,)xy的电荷，且(,)xy在D上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q。解：据题意，薄板区域D是Oxy平面上的有界闭域，(,)xy是定义在D上的面密度函数，那么用任意曲线把D分成n个可求面积的小区域n,,21，以i表示小区域的面积，这些小区域构成了D的一个分割T，在每个i上任取一点),(ii，那么电荷Q即为D上的一个积分和iniiiuQ1),(。当||T||足够小时，dyxuuQDiniii),(),(12.下列二重积分表达怎样的空间立体的体积？试画出下列空间立体的图形：（1）221Dxyd，其中区域D是圆域221xy；解：（1）在圆域221xy上以抛物面2221zxy为顶的曲顶柱体的体积。（2）Dyd，其中区域D是三角形域0,0,1xyxy；解：在三角形域D上以平面zy为顶的柱体的体积。-1-0.500.51-1-0.500.5111.21.41.61.8200.20.40.60.8100.5100.20.40.60.81z轴x轴y轴（1）（2）3.利用二重积分定义证明：（1）Dd（其中为D的面积）；解：已知题中1),(yxf，设T是有界区域D的一个分割，即nT,,:21，以i表示小区域的面积，在每个i上任取一点),(ii，当||||T足够小时有niiiniiiDfdyxf11),(),(（2）(,)(,)DDkfxydkfxyd（其中k为常数）；解：令),(),(yxkfyxF，设T是有界区域D的一个分割，即nT,,:21，以i表示小区域的面积，在每个i上任取一点),(ii，当||||T足够小时有dyxfkfkkffdyxFDniiiiniiiiiniiiD),(),(),(),(),(111（3）12(,)(,)(,)DDDfxydfxydfxyd其中12DDD，且1D和2D为两个无公共内点的闭区域。解：设1T是有界区域1D的一个分割，即nT112111,,:，以i表示小区域的面积，在每个i上任取一点),(ii，当||||1T足够小时有iniiiDfdyxf11),(),(1设2T是有界区域2D的一个分割，即nT222212,,:，以i表示小区域的面积，在每个i上任取一点),(ii，当||||2T足够小时有iniiiDfdyxf21),(),(2令21,minTTT是有界区域D的一个分割，其中12DDD，且1D和2D为两个无公共内点的闭区域。即nT,,:21，以i表示小区域的面积，在每个i上任取一点),(ii，dyxfdyxffdyxfDDiniiiD21),(),(),(),(14.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）()DIxyxyd，其中D是矩形闭区域：01,01xy；解：已知D是矩形闭区域，)(),(yxxyyxf在D上连续，由积分中值定理知存在D),(使得DDSfdyxf),(),(，这里DS=1，由01,01xy得2)1,1(),(maxfyxf，0)0,0(),(minfyxf进而推得2),(),(0fdyxfD即0()2Dxyxyd（2）22sinsinDIxyd，其中D是矩形闭区域：0,0xy；解：令yxyxf22sinsin),(则由积分中值定理知存在D),(使得DDSfdyxf),(),(这里2DS，由0,0xy可得1)2,2(),()0,0(0fyxff，推得22),(),(0fdyxfD即2220sinsinDxyd（3）2249DIxyd，其中D是圆形闭区域：224xy；解：令94),(22yxyxf由积分中值定理知存在D),(使得DDSfdyxf),(),(这里4DS，由224xy可得25)2,0(),(maxfyxf，9)0,0(),(minfyxf，故25),(9yxf，推得100),(4),(36fdyxfD，即2236(49)100Dxyd（4）1DIxyd，其中D是矩形闭区域：01,02xy。解：令1),(yxyxf由积分中值定理知存在D),(使得：DDSfdyxf),(),(这里2DS，由01,02xy可得4)2,1(),()0,0(1fyxff，推得8),(2),(2fdyxfD即2(1)8Dxyd习题9-21.将二重积分(,)Dfxyd化为二次积分（两种次序），其中D分别如下：（1）以点(0,0),(2,0),(1,1)顶点的三角形；解：积分区域可看做为直线xy2和xy与y轴所围区域部分先对y积分：yxyyyxD2,10|),(，120(,)(,)yDyfxyddyfxydx先对x积分：xyxyxD0,10|),(1和xyxyxD20,21|),(2121220010(,)(,)(,)(,)(,)xxDDDfxydfxydfxyddxfxydydxfxydy1221200100(,)(,)(,)xxyydxfxydydxfxydydyfxydx（2）由曲线2yx和1y所围成的区域；解：积分区域可看做为直线1y和曲线2xy所围区域部分先对y积分：1,11|),(2yxxyxD，2111(,)(,)Dxfxyddyfxydx先对x积分：(,)|,01Dxyyxyy，10(,)(,)yDyfxyddyfxydy，即：211110(,)(,)yxydxfxydydyfxydx（3）在第一象限中由2,2yxyx和2xy所围成的区域；解：积分区域可看做为直线2,2xyxy和曲线2xy所围区域部分。先对y积分：xyxxyxD22,10|),(1，xyxxyxD22,21|),(21221220122(,)(,)(,)(,)(,)xxxxDDDfxydfxydfxyddxfxydydxfxydy先对x积分：22,10|),(3yyyyyxD，22,21|),(4yyyyyxD3421220122(,)(,)(,)(,)(,)yyyyDDDfxydfxydfxyddyfxydxdyfxydx即：21220122(,)(,)xxxxdxfxydydxfxydy21220122(,)(,)yyyydyfxydxdyfxydx（4）圆域222()xyaa；解：积分区域是圆222)(aayx的内部区域。先对y积分：2222,|),(xaayxaaaxayxD2222(,)(,)aaaxDaaaxfxyddxfxydy先对x积分：2222,|),(yayxyayayayxD222202(,)(,)aayyDayyfxyddyfxydx即：2222222202(,)(,)aaaxaayyaaaxayydxfxydydyfxydx（5）由直线3,5,3240xxxy和3210xy所围成的区域。解：积分区域可看作直线132,432,5,3xyxyxx所围成的区域。先对y积分：213243,53|),(xyxxyxD34523132(,)(,)xxDfxyddxfxydy先对x积分：342312,8213|),(2yxyyyxD，5342,2198|),(3xyyyxD12313212119852332132424538233(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)DDDDyyyyfxydfxydfxydfxyddyfxydxdyfxydxdyfxydx即：34523132(,)xxdxfxydy13212119852332132424538233(,)(,)(,)yyyydyfxydxdyfxydxdyfxydx2.画出下列各二次积分所对应的二重积分的积分区域，并更换积分顺序：（1）1300(,)dyfxydx；（2）321(,)yydyfxydx；解：原式=3100(,)dxfxydy解：133(,)xdxfxydy23631122(,)(,)xdxfxydydxfxydy103将积分区域分为三个部分3,13|),(1yxxyxD31,21|),(2yxyxD32,62|),(3yxxyxD（3）ln10(,)exdxfxydy；（4）2113(3)20010(,)(,)xxdxfxydydxfxydy。解：积分区域可看作解：积分区域可看作.yeyeyyxD,10|),(yxyyyxD23,10|),(10(,)(,)yeDefxydfxydx1320(,)(,)yDyfxyddyfxydx3.计算下列二重积分（1）lnDxyd，其中D为矩形域：04,1xye；解：440101lnInIn8eeDxydxydydxxdxydy（2）22cossinDxyd，其中D为矩形域：0,044xy；解：2222244440000(cossin)(cossin)cosDxydxdyxydxdydyxdx24444000021cos21cos211sin()42424828216xydxxdydxdy（3）2Dxyd，其中D为抛物线22ypx与直线2px（0p）所围成的区域；解：222222522202020412321ppppxpxDpxpxxyddxydyxdxydypxpxdxp（4）1(0)2Ddaax，其中D为由222()()xayaa的下半圆与直线0,0xy所围成的区域；解：(2)000011222aaaxxaaDaddxdydxxdxaxaxax328(22)3a（5）Dxd，其中D为圆域：22xyx；解：dxxxdydxxdxxxxxD10101222，令xt1，原式158)1(41022dttt（6）()Dxyd，其中D为由曲线22yx与直线21yx所围成的区域；解：已知22xy与12xy的交点)1,1(,7,321214323213111114323333313()()(2)2213222244