信用风险管理(1)

第四讲信用风险管理信用关联结构性存款的定价引言•信用风险市场•信用风险管理基本方法信用风险分散化•分散化方法发行信用关联存款成为分散信用风险的一个重要途径。•与某一信用实体的信用事件挂钩的存款基本条款：假定某存款存期1年，和A公司挂钩，挂钩事件为A公司破产或无法清偿其债务，在存期内，若没有发生信用事件，存款人将获得高于市场回报的回报；若发生信用事件，投资者将获得低回报甚至亏损。•现在的问题是如何确定高回报率和低回报率的数值处理信用风险主要方法•结构化方法(structuralapproach)和约化方法(reducedformapproach).•结构化方法是把公司债券银行贷款看成是关于公司资产的看跌期权(putoption),其敲定价格为债务额.1.最早由Merton(1974)等人提出2.考虑到公司可在债券到期前破产,Black和Cox（1976）等人提出了首次通过模型(firstpassagemodel),即当公司资产值下降到事先约定的阈值(违约边界)时,债权人有权强制公司破产以保护债券持有人的利益3.为解决连续模型的在债券快到期时的违约概率几乎为零的问题,Zhou(1997)引入了跳扩散模型.注：结构化方法的优点是把公司的违约可能性与公司的经济情况即公司资产和债务挂钩并建立在成熟的期权定价理论上•约化方法则把公司违约看成是一个外在的过程,用Poisson过程来描述,即第一次发生跳时公司就违约.•违约强度可从市场上债券和信用违约互换(creditdefaultswap简称为CDS)的报价中推得.Poisson过程的强度(intensity)称为违约强度,即在时间段[,]ttdt的违约概率为dt基本假定1．市场利率模型：我们采用服从均值回归的Vasicek模型[14],1()trtrtdrrdtdW（1）这里,,rr为正常数，1tW是标准布朗运动。2．对挂钩公司B，假定其资产过程满足几何布朗运动，即在风险中性鞅测度下2ttXttdXrdtdWX（2）其中X是常数，2tW是标准布朗运动。1tdW与2tdW的相关系数为，即12(,)ttCovdWdWdt。公司向银行贷款总面值为F,到期日为T,其间,一旦公司资产(,;)XFPtrT,则公司破产,这里(,;)PtrT为无风险零息票国债的价格,(,;)FPtrT为违约边界。3.银行为分散遭受的信用风险,发行不可提前支取的定期存款,到期日为T.并规定,如果公司B不违约,则投资人在到期日T可得a元,高于同期市场收益;否则得b元,低于同期市场收益.4.市场无摩擦，无套利.建模假定该存款合约的价值为(,,;)VtrXT,利用-对冲原理,我们在时间(t,t+dt)作一个投资组合，使得在(,)ttdt时间段内无风险，是由1份合约的多头V和1份公司资产X及2份零息票P的空头组成：12ttttVXP。在(,)ttdt时间段的收益为12ttttddVdXdP（3）由otˆ公式，和无套利原理，引入风险的市场价格[12]（marketpriceofrisk），经计算得：2221()02rrPPPrrPtrr，（10）222222221()(2)02rrXrXVVVVVVLVrrXXXrVtrXrXrX。(11)其中/rrr•从而定解问题为(,;)0,(,,;),0(,,)(,,)(,;)XFPrtTLVrXFPrtTtTVXrTaVXrtbPrtT(12)定解问题的简化及求解以上定解问题是二维问题，我们采用转换计价单位的方法，以到期日T的零息票tP作为计价单位，考虑相对于tP的相对价格ttVP和ttXP以消除利率的影响，把上述定解问题转化为一维问题来处理。到期日T的零息票价格P满足下列边值问题：2221()0,,02(,,)1rrPPPrrPrtTtrrPrTT（13）令,XzPrt，(,,)(,)(,)VXrtWztPrt其中(,)Prt是定解问题（13）的解，直接计算得：2222222111[()2]02rXrXWWPPztzPrPr。（14）又因为零息票有下列仿射结构解：()(,)()BtrPrtAte（15）其中22222(())()()24()rrrBtTtBtAte，()1()TteBt（16）而BrPrPPln1因此222222211()2()2()0rXrXrXrXPPBtBtPrPr注意到它仅与t有关,令2222211()()2rXrXPPtPrpr经过转化计价单位，方程变为一维问题，定解问题（12）降为一维问题：22221()0,,02(,,),.0zFWWztFztTtzWzrTaWbrT(18)•以下步骤基本是标准做法。取20()td，问题（18）变为22210,,02(,,),.WWzFzTzWzrTaWbzF(19)这里20()TTd令lnzxF，定解问题（19）变为常系数问题：221100,022(,,),.0(20)设UWb，则问题(20)化为齐次边值问题22110,0,022(,,),0.0UUUxTxxUxrTabUx(21)再令1182xUeU，定解问题（21）变为：22118210,0,02(,,)(),0.0TxUUxTxUxrTeabUx(22)•为利用镜像法（[5]）求解上述问题，对终值条件作奇开拓。考虑Cauchy问题：22010,,02|.UUxRTxUx(23)这里11821182(),0(),0TxTxeabxxeabx(24)它在区域(,)|,0xtxRT上的限制必适合定解问题（22）。而Cauchy问题（23）的解可由Poisson公式表示为：222211228201,2()[].2xTxxTTTUxedTabeeedT(25)配方并用标准正态分布的分布函数N表示，得11114822,(){[1()][1()]}22TxxTTUxabeeNxeNx。(26)回到原变量,得21422,,;,,{(){[1(ln,,11)][1(ln)]}}2,,,,2TtdTTttXVXrtTPrtTeabNFPrtTXXdNdbFPrtTFPrtT。（27）由于初始存款通常为1元，即00(,,0;)1VXrT，可确定发行时，高收益率a和低收益率b之间的关系为20104000022000000,,0;,0;{(){[1(ln,0;11)][1(ln)]}}12,0;,0;2TdTTXVXrTPrTeabNFPrTXXdNdbFPrTFPrT。（28）由公式（28）证明，高收益a越大则低收益b越小。在（28）式中，a对b求导，记201204002000001{[1(ln)],0;21[1(ln)]},0;,0;2TTdTXDeNdFPrTXXNdFPrTFPrT，可得11dadbD我们只需证明01D即可。由上面方程求解过程可知，D是以下问题22221()0,02(,,)WWztzFtTtzWzrTaWbzF，，。(29)当0,1ba时的解在0t时的值由极值原理，01D，从而a关于b单调下降。银行在设计该产品时可根据投资者的风险偏好首先确定低收益率b的值，然后由上面,ab的关系确定高收益率a的值。例如对较保守的投资者，可取1b，即完全保本，而对风险承受力较强的投资者可取1b。