中考数学专题五-二次函数与几何图形的综合

专题五二次函数与几何图形的综合二次函数与几何图形的综合题是中考压轴题的考查重点,常结合三角形、四边形等考查二次函数解析式,点的坐标,探究三角形为直角三角形、等腰三角形,三角形相似,四边形为平行四边形时是否存在满足条件的点等问题.此类题目体现中考试题的选拔功能,难度较大,是突破高分瓶颈的关键.考点一最值问题一般以两条线段和的最小值或三角形、四边形周长的最小值、三角形、四边形面积最值等形式呈现.【示范题1】(2017·怀化中考)如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若点D是y轴上的一点,且以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似,求点D的坐标.(3)如图2,CE∥x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点,过点H且与y轴平行的直线与BC,CE分别交于点F,G,试探究当点H运动到何处时,四边形CHEF的面积最大,求当四边形CHEF面积最大时点H的坐标及最大面积.(4)若点K为抛物线的顶点,点M(4,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形PQKM的周长最小,求出点P,Q的坐标.【思路点拨】(1)根据待定系数法直接求得抛物线的表达式.(2)分两种情况,利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标.(3)先求出直线BC的解析式,进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式,即可求出最大值.(4)利用对称性找出点P,Q的位置,进而求出P,Q的坐标.【自主解答】(1)∵点A(-1,0),B(5,0)在抛物线y=ax2+bx-5上,∴∴抛物线的表达式为y=x2-4x-5.(2)令x=0,则y=-5,∴C(0,-5),∴OC=OB,∴∠OBC=∠OCB=45°,∴AB=6,BC=5,要使以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似,则有①当时,CD=AB=6,∴D(0,1);②当时,∴CD=即:D的坐标为(0,1)或.(3)设H(t,t2-4t-5),∵CE∥x轴,∴点E的纵坐标为-5,∵点E在抛物线上,∴x2-4x-5=-5,∴x=0(舍)或x=4,∴E(4,-5),∴CE=4,∵B(5,0),C(0,-5),∴直线BC的解析式为y=x-5,∴F(t,t-5),∴HF=t-5-(t2-4t-5)=∵CE∥x轴,HF∥y轴,∴CE⊥HF,∴S四边形CHEF=CE·HF=故当t=时,四边形CHEF的面积最大为.点H的坐标为(4)如图,∵K为抛物线的顶点,∴K(2,-9),∴K关于y轴的对称点K′(-2,-9),∵M(4,m)在抛物线上,∴M(4,-5),∴点M关于x轴的对称点M′(4,5),∴直线K′M′的解析式为y=∴【特别提醒】(1)两条线段和的最小值,一般是以“将军饮马”为模型,将两条线段转化为同一条线段,根据两点之间线段最短来解答.(2)图形面积最值问题一般是将面积用函数图象上动点的横坐标表示出来,转化为二次函数最值问题来解答.【变式训练】(2017·天津中考)已知抛物线y=x2+bx-3(b是常数)经过点A(-1,0).(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标.(2)P(m,t)为抛物线上的一个动点,P关于原点的对称点为P′.①当点P′落在该抛物线上时,求m的值;②当点P′落在第二象限内,P′A2取得最小值时,求m的值.【解析】(1)∵抛物线y=x2+bx-3经过点A(-1,0),∴0=1-b-3,解得b=-2,∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴顶点坐标为(1,-4).(2)①由点P(m,t)在抛物线y=x2-2x-3上,有t=m2-2m-3.又点P′和点P关于原点对称,有P′(-m,-t).∵点P′落在抛物线y=x2-2x-3上,∴-t=(-m)2-2(-m)-3,即t=-m2-2m+3,∴m2-2m-3=-m2-2m+3,解得m1=,m2=-.②由题意知,P′(-m,-t)在第二象限,∴-m0,-t0,即m0,t0.又抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是(1,-4),得-4≤t0,过点P′作P′H⊥x轴,H为垂足,有H(-m,0).又A(-1,0),t=m2-2m-3,则P′H2=t2,AH2=(-m+1)2=m2-2m+1=t+4.当点A和H不重合时,在Rt△P′AH中,P′A2=P′H2+AH2;当点A和H重合时,AH=0,P′A2=P′H2,符合上式.∴P′A2=P′H2+AH2,即P′A2=t2+t+4(-4≤t0).记y′=t2+t+4,则y′=∴当t=-时,y′取得最小值.把t=-代入t=m2-2m-3,得-=m2-2m-3,解得由m0,可知m=不符合题意.∴m=.考点二存在性问题一般以是否存在相似三角形、直角三角形、特殊四边形的形式来呈现.【示范题2】(2017·山西中考)综合与探究如图,抛物线y=与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动,同时,点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动,当一个点停止运动时,另一个点也随之停止运动,连接PQ,过点Q作QD⊥x轴,与抛物线交于点D,与BC交于点E.连接PD,与BC交于点F.设点P的运动时间为t秒(t0).(1)求直线BC的函数表达式.(2)①直接写出P,D两点的坐标(用含t的代数式表示,结果需化简).②在点P,Q运动的过程中,当PQ=PD时,求t的值.(3)试探究在点P,Q运动的过程中,是否存在某一时刻,使得点F为PD的中点.若存在,请直接写出此时t的值与点F的坐标;若不存在,请说明理由.【思路点拨】(1)先求出B,C两点的坐标,进而求出直线BC的函数表达式.(2)①过点P作PG⊥x轴于点G,由AO=3,BO=9,OC=3,得到∠CAO=60°,∠APG=30°,从而有AP=t,AG=t,PG=t,得到P的坐标,由OQ=9-2t,得到D的横坐标,由D在抛物线上,得到D的纵坐标;②过点P作PH⊥QD于点H,得到四边形PGQH是矩形,从而有QD=2HQ=2PG,解关于t的方程即可.(3)由中点坐标公式和F在直线BC上列方程求解.【自主解答】(1)由y=0,得解得:x1=-3,x2=9,∴点A的坐标为(-3,0),点B的坐标为(9,0).由x=0,得y=3,∴点C的坐标为(0,3).设直线BC的函数表达式为y=kx+b,由B,C两点的坐标得∴直线BC的函数表达式为(2)①过点P作PG⊥x轴于点G.∵A(-3,0),B(9,0),C(0,3),∴AO=3,BO=9,OC=3,∴tan∠CAO=∴∠CAO=60°,∴∠APG=30°,∵AP=t,∴∴OG=∵OQ=9-2t,∴D的横坐标为9-2t,∵D在抛物线上∴D的纵坐标为综上所述:②过点P作PH⊥QD于点H.∵QD⊥x轴,∴四边形PGQH是矩形,∴HQ=PG.∵PQ=PD,PH⊥QD,∴QD=2HQ=2PG.∵P,D两点的坐标分别为P,解得:t1=0(舍去),t2=,∴当PQ=PD时,t的值为.(3)∵点F为PD的中点,∴F的横坐标为F的纵坐标为∴∵点F在直线BC上,【特别提醒】解决“存在性”问题,一般是将函数特征和几何特征综合在一起进行研究.思路一:研究函数,可以从相关的点坐标出发,将点坐标转化为线段长,再结合其图象的几何特征,把函数特征转移到几何图形中建方程求解.思路二:研究几何图形,可以把几何图形中角度、线段长的特征转化为点坐标,把几何特征集中到函数上建方程求解.【变式训练】1.(2017·随州中考)在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的“梦想直线”;有一个顶点在抛物线上,另一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”.已知抛物线y=与其“梦想直线”交于A,B两点(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C.(1)填空:该抛物线的“梦想直线”的解析式为________,点A的坐标为________,点B的坐标为________.(2)如图,点M为线段CB上一动点,将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”,求点N的坐标.(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点F,使得以点A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E,F的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)y=(-2,2)(1,0).(2)∵抛物线与x轴负半轴交于点C,∴C(-3,0).过点A作AG⊥y轴,垂足为点G.当点N在y轴上时,△AMN为梦想三角形.设N(0,n),∵A(-2,2),C(-3,0),∴AC=,∴AN=AC=,在Rt△AGN中,AG2+GN2=AN2,又AG=2,GN=|n-2|,∴4+(n-2)2=13,解得n=2-3或n=2+3,设M(m,0),当n=2-3时,在Rt△MNO中,(2-3)2+m2=(m+3)2,解得:m=2-2;当n=2+3时,在Rt△MNO中,(2+3)2+m2=(m+3)2,解得:m=2+2;又-3m≤1,∴m=2+2不合题意,舍去.∴m=2-2,此时n=2-3,∴N(0,2-3).当点M在y轴上时,△AMN为梦想三角形,此时M与O重合,在Rt△AGM中,AG=2,GM=2,∴tan∠AMG=∴∠AMG=30°,∴∠AMC=∠AMN=∠NMB=60°,过点N作NP⊥x轴于点P,在Rt△NMP中,MN=CM=3,∴综上所述,点N的坐标为(0,2-3)或(3)存在.2.(2017·宜昌中考)已知抛物线y=ax2+bx+c,其中2a=b0c,且a+b+c=0.(1)直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.(2)证明:抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限.(3)直线y=x+m与x,y轴分别相交于B,C两点,与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,D两点.设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于点E,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F,使得△ADF与△OCB相似,并且S△ADF=S△ADE,求此时抛物线的解析式.【解析】(1)ax2+bx+c=0的一个根为1(或者-3).(2)∵b=2a,∴对称轴x=-=-1,将b=2a代入a+b+c=0,得c=-3a.方法一:∵2a=b0c,∴b2-4ac0,∴0,所以顶点A在第三象限.方法二:∵b=2a,c=-3a,∴=-4a0,所以顶点A在第三象限.(3)∵b=2a,c=-3a,∴x=∴x1=-3,x2=1,所以函数表达式为y=ax2+2ax-3a,∵直线y=x+m与x轴,y轴分别相交于B,C两点,则OB=OC=|m|,所以△BOC是以∠BOC为直角的等腰三角形,这时直线y=x+m与对称轴x=-1的夹角∠BAE=45°.又因点F在对称轴左侧的抛物线上,则∠BAF45°,这时△BOC与△ADF相似,顶点A只可能对应△BOC中的直角顶点O,即△ADF是以A为直角顶点的等腰三角形,且对称轴是x=-1,∵直线y=x+m过顶点A,所以m=1-4a,∴直线解析式为y=x+1-4a,解方程组这里的(-1,-4a)即为顶点A,即为顶点D的坐标.D点到对称轴x=-1的距离为-1-(-1)=,AE=|-4a|=4a,S△ADE=××4a=2,即它的面积为定值.这时等腰直角△ADF的面积为1,所以底边DF=2,而x=-1是它的对称轴,这时D,C重合且在y轴上,故-1=0,∴a=1,此时抛物线的解析式为y=x2+2x-3.