5-4三大抽样分布

主要内容（2学时）一、卡方分布(分布)。二、t分布。三、F分布。四、正态总体的样本均值、样本方差的分布。第四节抽样分布（重点）2说明：统计量是样本的函数，是随机变量，有其概率分布，统计量的分布称为抽样分布.要求：了解分布、t分布、F分布的定义，及来自正态总体X的样本均值的分布等常见统计量的分布。会查分布、t分布、F分布的上分位数。22一、卡方分布（）12,,,(0,1)niXXXXN(1)独立同分布,且2分布221221222222,,,(0,).~()1,nnXXXXXXNnn设是来自标准正态总体的一个样本，令则称服从自由度为的分布记为1、定义（重点）说明:22212,,,(,),(0,1),)()(niiiXXXXNXnNXni=1(2)如果独立同分布,且则此时2211222()0()00nnnyyeyfyy2分布的概率密度为.,)(其值可以查表求得函数称为其中2n2、概率密度及其图形()fy1n4n10nyO51015202分布图形：2222~(),(),()2EnDnn(2)若则2222121,...,(0,1)nniXXXXNXX证明:.其中独立,且(0,1)()0,()1iiiXNEXDX由22()()[()]1iiiEXDXEX22(())inEXEn244/212()xiEXxedx22/2123xxedx22(())inDXD422{()[()]}2iinEXEXn23()3iEX3、主要特征：2221212~(),~(),),~(,XnYnXXYnnY(1)可加性:如果并且相则互独立上分位数：CHIINV(p,n)累计概率：CHIDIST(x,n)221245:2()(21,1).(:(0,1)()(21)nznnNnzNn似2近(3)当时，费歇证明故上分位点)4、上侧分位数（重点）2222{()}()()XnPXnn设,对给定的正数(01),称满足条件:的点为分布的上分位点.说明：22()()(2505).nnP(2)上分位点可查分布表求得见附表2()Xn(1)即随机变量落在点右侧的概率等于的点.()fyyO)(2n2220.10.010.05(25),(30),(50)(6),:()0.025XAPXA22例1(1)求分布上分位点:(2)求使得:20.1:(25):=0.1,25,n解20.1:(25)34.382查表20.01(30)50.89220.05(50):5045n0.051.645z210.050.052(50)(2*501)z12(1.64599)67.221(2)()10.0250.975PXA20.975(6)A1.237212101021,,...,(0,0.3){1.44}iiXXXNPX例2设为总体的一个样本,求21210,,...,(0,0.3)XXXN解::1021{1.44}iiPX1012(0,1),,,...,0.30.30.30.3iXXXXN且相互独立.:102222101211()()...()0.30.30.30.09iiXXXyX令2(10)y则:10211.44{}0.0910.09iiPX16{}0.1Py二、t分布（student分布）1、定义（重点）2~(0,1),~(),,~()./XYXNYnntXTnTtYn设随机变量与相互独立，且则称统计量服从自由度为的分布记作112222()()()(1)()nnnxnnfxxR概率密度:2/212:lim())(xnfxexR可以证明即n充分大时，t分布以标准正态分布为极限分布.()ftOt10n4n1n321123......（1）图形特征.(),aft概率密度是偶函数关于纵轴对称.45,(0,1)bntN近似当时分布2、主要特征：（2）数字特征()0,~(),(())22nEtDttnntn若则3、上侧分位点（重点）说明：()(45,(4).)ntntztn(2)上分位点可查分布表附时表(())()(),(01),Ptttnttntn设对给定的正数称满足:的点为分布的上分位点.)(tfOt)(nt()ttn(1)即随机变量落在点右侧的概率等于的点.1()()tnntt(3)由分布图形的对称性:双侧上分位数：TINV(p,n)累计概率：TDIST(t,n,tails)0.050.010.1(25),(45),(50).(10),,:()0.05,()0.95ttttttABPtAPtB例3(1)求分布上分位点:(2)求使得:0.05:(25):=0.05,25,tn解0.05:(25)1.708t查表0.01(45)2.4121t0.05(10)1.8125At(10),()0.95ttPtB:0.050.025.B为的双侧分位数,或=的上分位数0.10.1(50)1.29(1.298tz真实值:)(10),()0.05ttPtA(2):0.0520.025(10)(10)2.2281Btt三、F分布2212122112/~(),~(),(,),/~(,)UnFVnUnVnUVnnFFFnn若且与相互独立，则称统计量服从自由度为的分布记1、定义（重点）)(xfxO20,12nn252n102n(概率密度见P123)2、主要性质1212~(,),1)~(,FFnFnnFn(1)若则2~(1~(),,)tFnttn(2)若(P1则30-习8)2()(0,1),(),/XttnXNYntYn简证:使:::22222,(1),(),/XtXYnFYn分布定义::22121212~(,),~(),~//(),FUnFFnnUnVnVn简证:使2211/1~(,/)VnFUnFnn3、上侧分位点（重点）说明：121212(,),((,))(,)(01),PFFnFFnnFnnnF设对给定的正数称满足的点为分布上分位点.12(,)FFnn(1)即随机变量落在点右侧的概率等于.11221(112(,)4)(,)FnnFnPn(2)证明见)(tftO),(21nnF上分位数：FINV(p,n)累计概率：FDIST(F,n)0.050.1(15,20),(50,120).(6,8),,:()0.05,()0.05FFFFFABPFAPFB例4(1)求分布上分位点:(2)求使得:0.0512:(15,20):=0.05,15,20Fnn解0.05(6,8)3.58AF(2)(6,8),()0.05FFPFA:0.95(6,8)BF0.05(15,20)2.2F0.1(50,120)(1.371.32)/21.345F(6,8),()0.05FFPFB:10.950.05(8,6)11(8,6)FF10.2414.15四、正态总体的样本均值样本方差的分布(重点)1、一般总体的样本均值、样本方差的性质2221222(),(),,,...,,.(2(),()())()nnXEXDXXXXXEXXSDXESDX设总体分布未知,但是来自总体的一个样本,是样本均值和样本方差,则:(1)2211:()1niiSXXn证明2211()1niiXnXn11222()()()()niiEXEESnX2121()[(){{}{}]()[()]niiiDXEXnDXEX222112{()()}ninn22、正态总体的样本均值、方差的分布21222222212,,...,(,)(1).(2)~(,)(0,1)/(1)~(1(.)()3)nTXXNNnnnHXXXXSnNSS设是来自正态总体的样本,则样本均值或其中为样本方差与相互独立.(即样本均值与样本方差独立)2211:()1niiSXXn说明221(1)()niinSXX2221(1)()niiXXnS2123,,...,(,)~(1)/.nTXHtnXXXNXSSn设是来自正态总体的样本,,分别为样本均值与样本标准差,则2(0,1)/:(,)XNnXNn证明由TH1-2,::222(1)(1)nSn又且两者独立.:22(1)(1)(1)/XnStnnn由t分布定义,:(1)/XtnSn即:11222211122222212112122221212111222124,,...,(,),,...,(,),,,~(1,1)(),~(,.:(1)(2)nnwnnTHXXXXNYYYYNXYXSFnnSXYtSXnSYYnS设是来自正态总体的样本,样本来自正态总体且与相互独立.分别表示样本均值分别表示,的样本方差当时则221122122(1)(1)2(2))nSnSwnnS其中2211121(1)(1)nSn证明:(1)根据TH1-2,:2222222(1)(1)nSn又且两者相互独立:22112212221212(1)(1(1)(1)())1,1nSnSFFnnnn由分布定义,:2211122222(1,1)SFnnS即为:2222121212(2)(,)(,)XNYNnn当=时,::221212(,,)XYXYNnn又相互独立,因此:121211()():U=(0,1)nnXYN标准化后得:222211221222(1)(1)(1),(1)nSnSnn又::222211221222(1)(1),V=(2)nSnSnn由的可加性:1212(2)/2UtnnVnn由t分布定义,:12221211221221112()()(1)((2)1)(2)nnXYnSnSnntnn即:12121211()()(2)wnnXYtnnS即:22112212(1)(1)(2)wnSnSSnn其中2100,100,/1nn解:(1)已知2~(,)(,1).XNNn于是(1)PX所求概率2(1)10.6826225(1271)(,),,(1)100,1;(2){2}0.05..PXNXXPXn例例某种灯泡的寿命其中未知=100.随机取只灯泡以记样本均值,求与的偏差小于的概率若要求问至少等于多少(11)PX11()()//nn11()///PnnXn(2)0.95PX(2)按题意要求96.04,97nn取(22)0.95PX即2222()()(/)////XnPnnnn右端为22()10.95/n2()0.975(1.96)/n2,1.96/n从而1.965n12662122121222221212128,2,,...,(2,3){(2)}0.95.(2),12,18,,61,31,,,{/1.16}iiPVVVNbPVbXYXYnnSSPSS例6(例)(1)设是来自正记总体的样本,求使设两正态总体的方差分别为在中分别取出样本容量为的样本两样本独立,样本方差为