三大抽样分布

（一）正态分布如果总体各个体的标志值以总体平均数为中心，形成钟型对称分布，其分布曲线向两侧扩展，逐渐向横轴逼近，无限延伸出去，但不接触横轴，则这种分布就叫做正态分布，或高斯分布、常态分布。服从正态分布的总体称为正态总体。如果一个随机变量X服从正态分布，则其分布的密度函数(分布曲线方程)为：2)(2121)(xexf抽样分布当μ=0,σ2=1时，称该分布为标准正态分布。标准正态分布的密度函数为22121)(xexf任何正态分布，它的样本落在任意区间(a,b)内的概率等于直线x=a，x=b，横坐标和曲线f(x)所夹的面积(可由正态分布概率积分表查得)。经计算，正态总体的样本落在：(-σ,+σ)概率是68.27％；(-2σ,+2σ)概率是95.45％；(-3σ,+3σ)概率是99.73％；(-1.96σ,+1.96σ)概率是95％；（二）统计量的概念设是是来自总体X的一个样本，是的不含有未知参数的函数，则成为一个统计量统计量的分布称为抽样分布。12,,nXXX12(,,)ngXXX12,,nXXX12(,,)ngXXXχ2分布是海尔墨特（Hermert）和卡·皮尔生（K·Pearson）分别于1875年和1890年导出的。它主要适用于对拟合优度检验和独立性检验，以及对总体方差的估计和检验。χ2分布是一种抽样分布。当我们对正态随机变量随机地重复抽取个数值，将每一个值变换成标准正态变量，并对这个新的变量分别取平方再求和之后，就得到一个服从χ2分布的变量，即统计量。变量或简称为随机变量2222221222222212)(~)()()()(nxxxxinin1.2—分布（三）样本统计量的三大抽样分布2—分布的性质~(1)χ2分布是一个以自由度为参数的分布族，自由度决定了χ2分布的形状，对于不同的，有不同χ2的分布。(2)分布可加性若X~2(n1)，Y~2(n2)，X,Y独立，则X+Y~2(n1+n2)(3)期望与方差若X~2(n)，则E(X)=n，D(X)=2n(4)2分布是一种非对称的分布，这种非对称的分布一般为正偏分布，随着自由度n的增大逐渐趋近于正态分布(5)2的变量值总是为正。因此，从一个正态总体中抽样得到的样本方差S2，近似服从)1(~/)1(222nSn当222222122X~Nn()(1)~~niixxns2（6）当总体（,）,从中抽取容量为的样本，则（n-1）；（n-1）（7）分位点设X~2(n)，若对于：01，存在分布的上分位点。)(2n则称)(2n,)}({2nXP0)(2n满足为)(2n2.t分布关于t分布的早期理论工作，是英国统计学家威廉·西利·戈塞特（WillamSealyGosset）在1990年进行的。t分布是小样本分布，小样本一般是指n＜30。t分布适用于当总体标准差未知时用样本标准差s代替总体标准差σ，由样本平均数推断总体平均数及两个小样本之间差异的显著性检验。分布。的服从自由度为独立，则和且分布的服从自由度为，服从若tnnYXYXnYNX/,)1,0(222(1)Y=nS～)(12n则～X=/xn)1,0(N2(,),N～若总体U～22/~(1)//(1)/xXxnttnYnSnnSnt分布性质(1)t是对称分布，且其均值为0（这与标准正态分布完全相同）;(2)当样本容量n较小时，t分布的方差大于1；当n≥30时，t分布的方差就趋近于1，t分布也就渐近于标准正态分布，这时可用标准正态分布来代替t分布。当样本容量足够大时，用s2来代替σ2就具有较好的可靠性。(3)t分布t(n)的数学期望与方差分别为：E(t)=0，D(t)=n/(n-2).(n＞2)(4)t分布是一个分布族，对于不同的样本容量对应不同的分布，且均值都为0；随着自由度的增大，分布也逐渐趋于标准正态分布。(5)t分布是类似正态分布的一种对称分布，它的中心部分较低，两个尾部较高。xt分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)z(6)t分布分位点设T～t(n)，若对:01,存在t(n)0，满足P{Tt(n)}=，则称t(n)为t(n)的上侧分位点。)(nt注:)()(1ntnt1()()tntn若X～χ2(n1)，Y～χ2(n2)，且X与Y相互独立，则称随机变量3、F分布1221//nnYXnYnXF服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，记作：F～F(n1,n2)。F分布是以统计学家R.A.Fisher姓氏的第一个字母命名的。F分布用途很广，可用于方差分析、协方差分析和回归分析等。F分布定义为两个独立的χ2分布被各自的自由度除以后的比率这一统计量的分布。F分布的主要性质有：①F分布是一种非对称的分布，呈右偏态；②F分布两个自由度：n1-1和n2-1，相应的分布记作F(n1-1,n2-1)。通常n1-1称为分子自由度，n2-1称为分母自由度。③随n1,n2的不断增大，F分布的右偏程度逐渐减弱，但不会趋向正态；④具有倒数性质即若X～F(n1,n2)，则1/X～F(n1,n2)；⑤若t～t(n),则t2(n)～F(1,n)。其数学期望和方差分别为)4(.)4()2()2(2,222221212222nnnnnnnDXnnEX⑥F分布的分位点对于：01，若存在F(n1,n2)0，满足P{FF(n1,n2)}=，则称F(n1,n2)为F(n1,n2)的上侧分位点；),(21nnF112211(,)(,)FnnFnn注：122111212222221122122212211122211111222222222222,,X,~(,),,,Y,~(,),.(1)(1)U~V~(1)11/~(1,1);(1)1/1nnXXXNYYYNnsnsnsnUnSFFnnnsVnSn若来自正态总体来自正态总体且两样本独立则（n-1），（n-1）（）（）（）（）从两个正态总体中分别独立抽样所得到的两个样本方差之比的抽样分布:)1)(1(~//2122222121nnFSSF应用：两个样本方差之比的抽样分布