正余弦定理

第7课时正、余弦定理…2017考钢下载…掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．请注意综合近两年的高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点．不仅选择题中时有出现，而且解答题也经常出现，故这部分知识应引起充分的重视．课前自助餐正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R其中2R为△ABC外接圆直径．变式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．余弦定理a2＝b2+c2-2bccosA；b2＝a2+c2-2accosB；c2＝a2+b2-2abcosC．变式：cosA＝b2+c2-a22bc；cosB＝a2+c2-b22ac；cosC＝a2+b2-c22ab．sin2A＝sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA.解三角形(1)已知三边a，b，c.运用余弦定理可求三角A，B，C.(2)已知两边a，b及夹角C.运用余弦定理可求第三边c.(3)已知两边a，b及一边对角A.先用正弦定理，求sinB：sinB＝bsinAa.①A为锐角时，若absinA，无解；若a＝bsinA，一解；若bsinAab，两解；若a≥b，一解．②A为直角或钝角时，若a≤b，无解；若ab，一解．(4)已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边．三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R.(3)S＝12r(a+b+c)(r为内切圆半径)．1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)在△ABC中，AB必有sinAsinB.(2)在△ABC中，若b2+c2a2，则△ABC为锐角三角形．(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则∠B＝45°或∠B＝135°.(4)若满足条件C＝60°，AB＝3，BC＝a的△ABC有两个，则实数a的取值范围是(3，2)．(5)在△ABC中，若acosB＝bcosA，则△ABC是等腰三角形．(6)在△ABC中，若tanA＝a2，tanB＝b2，则△ABC是等腰三角形．答案(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√(6)×2．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝2bsinA，则B等于()A．30°或60°B．45°或60°C．60°或120°D．30°或150°答案D3．(2016·北京)在△ABC中，∠A＝2π3，a＝3c，则bc＝________．答案1解析∵a＝3c，∴sin∠A＝3sin∠C，∵∠A＝2π3，∴sin∠A＝32，∴sin∠C＝12，又∠C必为锐角，∴∠C＝π6，∵∠A+∠B+∠C＝π，∴∠B＝π6，∴∠B＝∠C，∴b＝c，∴bc＝1.4．(2016·课标全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cosA＝23，则b＝()A.2B.3C．2D．3答案D解析由余弦定理，得4+b2-2×2bcosA＝5，整理得3b2-8b-3＝0，解得b＝3或b＝-13(舍去)，故选D.5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a+b-c)(a+b+c)＝ab，则角C＝________．答案2π3解析∵(a+b)2-c2＝ab，∴cosC＝a2+b2-c22ab＝-12.∴C＝2π3.6．在△ABC中，已知c＝102，A＝45°，在a分别为20，102，2033，10和5的情况下，求相应的角C.答案30°，45°，60°或120°，90°，无解解析sinC＝c·sinAa；当a＝20时，ac，∴sinC＝102×2220＝12，∴C＝30°；当a＝102时，a＝c，∴C＝45°；当a＝2033时，ac，sinC＝32，∴C＝60°或120°；当a＝10时，sinC＝1，∴C＝90°；当a＝5时，sinC＝2，无解．授人以渔题型一利用正余弦定理解三角形(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝3，A＝45°，求B，C及边c.(2)在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，则2acosAc＝________．【解析】(1)方法一：由正弦定理，得asinA＝bsinB.∴sinB＝basinA＝32·sin45°＝32·22＝32.∵ba，BA＝45°，∴有两解B＝60°或120°.①当B＝60°时，C＝180°-(45°+60°)＝75°，c＝asinA·sinC＝2sin45°sin75°＝6+22.②当B＝120°时，C＝180°-(45°+120°)＝15°，c＝asinA·sinC＝2sin45°·sin15°＝6-22.方法二：由余弦定理，得a2＝b2+c2-2bccosA.∴c2-6c+1＝0，∴c＝6±22.当c＝6+22时，cosB＝a2+c2-b22ac＝12，∴B＝60°.C＝180°-(45°+60°)＝75°，C＝75°.当c＝6-22时，cosB＝a2+c2-b22ac＝-12，∴B＝120°，C＝15°.(2)由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝4∶5∶6，又由余弦定理知cosA＝b2+c2-a22bc＝25+36-162×5×6＝34，所以2acosAc＝2sinAcosAsinC＝2×sinAsinC×cosA＝2×46×34＝1.【答案】(1)B＝60°，C＝75°，c＝6+22或B＝120°，C＝15°，c＝6-22(2)1★状元笔记(1)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判明是否有解，(例如在△ABC中，已知a＝1，b＝2，A＝60°，则sinB＝basinA＝31，问题就无解)，如果有解，是一解，还是两解．(2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系．(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”来确定．思考题1(1)(2016·课标全国Ⅰ，理)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)＝c.①求C；②若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．【解析】①由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB+sinBcosA)＝sinC，2cosCsin(A+B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝12，所以C＝π3.②由已知，得12absinC＝332.又C＝π3，所以ab＝6.由已知及余弦定理得，a2+b2-2abcosC＝7，故a2+b2＝13，从而(a+b)2＝25.所以△ABC的周长为5+7.【答案】①π3②5+7(2)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，c＝22，1+tanAtanB＝2cb，则C＝________．【解析】由1+tanAtanB＝2cb切化弦，边化角得1+sinAcosBcosAsinB＝2sinCsinB.∴sinCcosAsinB＝2sinCsinB.∵sinC≠0，从而cosA＝12，所以A＝π3，由正弦定理得2332＝22sinC，又C∈(0，π)，所以C＝π4或C＝3π4(舍去)．【答案】45°题型二正余弦定理的综合运用(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bcosC+3bsinC-a-c＝0.①求B；②若b＝3，求2a+c的取值范围．【解析】①由正弦定理，得sinBcosC+3sinBsinC-sinA-sinC＝0.将sinA＝sin(B+C)＝sinBcosC+cosBsinC代入上式，得3sinBsinC-cosBsinC-sinC＝0.∵sinC0，∴3sinB-cosB-1＝0，即sin(B-π6)＝12.∵B∈(0，π)，∴B＝π3.②由①得2R＝bsinB＝2.2a+c＝2R(2sinA+sinC)＝5sinA+3cosA＝27sin(A+φ)，其中sinφ＝327，cosφ＝527.∵A∈(0，2π3)，∴27sin(A+φ)∈(3，27]．∴2a+c的取值范围是(3，27]．【答案】①π3②(3，27](2)(2016·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c＝2acosB.①证明：A＝2B；②若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．【解析】①由正弦定理得sinB+sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB+sin(A+B)＝sinB+sinAcosB+cosAsinB，于是sinB＝sin(A-B)．又A，B∈(0，π)，故0A-Bπ，所以B＝π-(A-B)或B＝A-B.因此A＝π(舍去)或A＝2B.所以A＝2B.②由S＝a24得12absinC＝a24，故有sinBsinC＝12sin2B＝sinBcosB，因为sinB≠0，所以sinC＝cosB.又B，C∈(0，π)，所以C＝π2±B.当B+C＝π2时，A＝π2；当C-B＝π2时，A＝π4；综上，A＝π2或A＝π4.【答案】①略②A＝π2或A＝π4★状元笔记(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用．(2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理．(3)在求三角形面积时，通过正、余弦定理求一个角，两边乘积，是一常见思路．思考题2(1)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝1，2cosC+c＝2b，则△ABC周长取值范围是________．【解析】在△ABC中，由余弦定理可得2cosC＝a2+b2-c2ab，∵a＝1，2cosC+c＝2b，∴1+b2-c2b+c＝2b，化简可得(b+c)2-1＝3bc.∵bc≤(b+c2)2，∴(b+c)2-1≤3×(b+c2)2，解得b+c≤2(当且仅当b＝c时，取等号)．故a+b+c≤3.再由任意两边之和大于第三边可得b+ca＝1，故有a+b+c2，所以△ABC的周长的取值范围是(2，3]．【答案】(2，3](2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝π4，bsin(π4+C)-csin(π4+B)＝a.①求证：B-C＝π2；②若a＝2，求△ABC的面积．【解析】①由bsin(π4+C)-csin(π4+B)＝a，应用正弦定理，得sinBsin(π4+C)-sinCsin(π4+B)＝sinA.sinB(22sinC+22cosC)-sinC(22sinB+22cosB)＝22，整理得sinBcosC-cosBsinC＝1，即sin(B-C)＝1.由于0B，C34π，从而B-C＝π2.②B+C＝π-A＝3π4，因此B＝5π8，C＝π8.由a＝2，A＝π4，得b＝asinBsinA＝2sin5π8，c＝asinCsinA＝2sinπ8.所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝2sin5π8sinπ8＝2cosπ8sinπ8＝12.【答案】①略②12题型三判断三角形形状在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B＝2bccosB·cosC，试判断△ABC的形状．【思路】可利用正弦定理将边化角，也可利用余弦定理将角化边，进而判断△ABC的形状．【解析】方法一：由正弦定理和已知条件得sin2Bsin2C+sin2Csin2B＝2sinBsinCcosBcosC.∵sinBsinC≠0，∴sinBsinC＝cosBcosC，即cos(B+C)＝0.∵∠B，∠C为△ABC的内角，∴∠B+∠C＝90°，∠A＝90°.故△ABC为直角三角形．方法二：原等式变形为b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)＝2bccosBcosC.即b2+c2-b2cos2C-c2cos2B＝2bccosBcosC，由余弦定理得b2+c2-b2·(a2+b2-c22ab)2-c2·(a2+c2-b22ac)2＝2bc·a2+c2-b22ac·a2+b2-c22ab⇒b2+c2＝[（a2+b2-c2）+（a2+c2-b2）]24a2⇒b2