2020年4月普通高中教育质量监测考试全国1卷理科数学(含解析)

2020届普通高中教育教学质量监测考试全国I卷理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。5.考试范围：高考全部内容。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足z−1+i=2i+1，则|z|=A.√5B.2C.√3D.32.已知集合A={2a−1，a2，0}，B={1−a，a−5，9}，且A∩B={9}，则A.A={9，25，0}B.A={5，9，0}C.A={−7，9，0}D.A∪B={−7，9，0，25，−4}3.巳知向量a=(x2−2x，1)，b=(1，−3)，则“−1x3”是“a，b的夹角为钝角”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.将函数y=2sin(2x+π4)的图象向右平移一个单位长度，所得函数A.在区间(−3π8，π8)上单调递增B.在区间(−5π8，−π8)上单调递减C.以x=π8为一条对称轴D.以(3π8，0)为一个对称中心5.巳知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A.3π8B.8πC.16π3D.12π6.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话，小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是A.13B.12C.25D.347.已知函数f(x)=log12(x2−ax+a)在(12，+∞)上为减函数，则实数a的取值范围是A.(−∞，1]B.[−12，1]C.(−12，1]D.(−12，+∞)8.在平面直角坐标系xOy中，A、B为函数y=√33|x|图象上的两点，若线段AB的中点M恰好落在曲线x2−3y2+3=0上，则△OAB的面积为A.2B.√3C.√32D.√339.一只蚂蚁从正四面体A-BCD的顶点A点出发，沿着正四面体A-BCD的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A点的概率为A.2027B.79C.727D.2910.在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD，BC=√3CD，则∠ADB的最大值为A.π4B.π3C.π2D.2π311.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”。在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为A.2√213B.4√213C.2√73D.4√7312.已知函数f(x)=alnx−2x，若存在x∈N*，使f(x)0成立，则实数a的取值范围是A.(2e，+∞)B.(4ln2，+∞)C.(6ln3，+∞)D.(2，+∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13.若x，y满足约束条件{4x−3y−6≤02x−2y+1≥0x+2y−1≥0，则z=|x−y+1|的最大值为。14.在(x2+x−1)(x−a)5的展开式中，含x5项的系数为14，则实数a的值为。15.已知实数x，y满足y≥2x0，则yx+9x2x+y的最小值为。16.已知F1、F2为双曲线x24−y2=1的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若△PF1F2内切圆的圆心为I，则圆心I到圆x2+(y−1)2=1上任意一点的距离的最小值为。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分)已知Sn为数列{an}的前n项和，S2=10，Sn=n−1n+1an+1+2(n∈N*)。(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=an2n(n+1)!(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：12≤Tn1。18.(本小题满分12分)某市为了了解该市教师年龄分布情况，对年龄在[20，60]内的5000名教师进行了抽样统计，根据分层抽样的结果，统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中部分数据被污染，看不清了，统计员只记得年龄在频率[20，30)的样本人数比年龄在[50，60]的样本人数多10，根据以上信息回答下列问题：(1)求该市年龄在[50，60]的教师人数；(2)试根据上表做出该市教师按照年龄的人数频率分布直方图，并求该市教师年龄的平均数x及方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)。19.(本小题满分12分)如图，将斜边长为4√2的等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成直二面角B-AD-C，E为AD中点。(1)求二面角A-BC-E的余弦值；(2)M为线段BC上一动点，当直线DM与平面BCE所成的角最大时，求三棱锥M-CDE外接球的体积。20.(本小题满分12分)动圆P过定点A(2，0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4。(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；(2)在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l’与曲线C的交点S、T满足1|QS|2+1|QT|2为定值?若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由。21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax+1x，g(x)=e2x−1。(1)讨论函数f(x)在(0，+∞)上的单调性；(2)当a=12时，设P(x，y)为函数y=lnx∙g(x)−1x∙f(x)−1(x∈(0，+∞))图象上任意一点，直线OP的斜率为k，求证：0k1。请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。22.(本小题满分10分【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为psin(θ+π4)+√2=0，P为直线l上的任意一点。(1)Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；(2)过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值。23.(本小题满分10分【选修4-5：不等式选讲】若a0，b0，且2a+b+2=3ab。(1)求2a+b的最小值；(2)是否存在a、b，使得a3+b3=4√2?并说明理由。