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页1第2019届四川省棠湖中学高三上学期第二次月考数学(理)试题第I卷(选择题,满分60分)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a,bR,复数512iabii,则abA.3B.1C.0D.22.设集合{3,2,1,0,1,2}A,2{|230}Bxxx,则ABA.{0,1,2}B.{2,1,0}C.{1,0,1}D.{3,2,1,0,1}3.已知等差数列{}na的前n项和为nS,19a,95495SS,则nS取最大值时的n为A.4B.5C.6D.4或54.某四棱锥的三视图如图所示,正视图和侧视图为全等的直角边为1的等腰直角三角形,则该四棱锥的表面积为A.32B.22C.21D.135.“11()()22ab”是“lglgab”的A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.已知随机变量服从正态分布),(2N,若15.0)5()1(PP,则)31(P等于A.35.0B.3.0C.5.0D.7.07.已知满足322cos,则)4cos()4cos(A.187B.1825C.187D.18258.设奇函数f(x)的定义域为R,且)()(xfxf4,当x],[64时f(x)=12x,则f(x)在区间],[02上的表达式为A.12xxf)(B.124xxf)(C.124xxf)(D.12xxf)(9.△ABC所在平面上一点P满足→PA+→PB+→PC=→AB,则△PAB的面积与△ABC的面积之比为A.2∶3B.1∶4C.1∶3D.1∶6页2第10.已知两点,0,,00AaBaa,若曲线2223230xyxy上存在点P,使得90APB,则正实数a的取值范围为A.0,3B.1,2C.2,3D.1,311.已知F是椭圆2222:1(0)xyEabab的左焦点,经过原点的直线l与椭圆E交于P,Q两点,若||2||PFQF,且120PFQ,则椭圆E的离心率为A.13B.12C.33D.2212.已知偶函数4log,04()(8),48xxfxfxx,且(8)()fxfx,则函数1()()2xFxfx在区间2018,2018的零点个数为A.2020B.2016C.1010D.1008第Ⅱ卷(非选择题,满分90分)注意事项:1.请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。2.试卷中横线及框内注有“▲”的地方,是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题,每个试题考生都作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答。二.填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分。13.设x,y满足约束条件2330233030xyxyy,则目标函数2zxy的最小值是▲.14.二项式61(3)xx的展开式中常数项为▲.(用数字表达)15.若直线yxb与曲线234yxx有公共点,则b的取值范围是▲16.已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC的对边,6b,且227cos4acBabbc,O为ABC内一点,且满足0,30OAOBOCBAO,则OA▲..三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本大题满分12分)页3第已知在ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,(2cos,coscos)mCaBbA,(,1)nc,且mn.(Ⅰ)求角C;(Ⅱ)若3c,求ABC周长的最大值.18.(本小题满分12分)1993年,国际数学教育委员会(ICMI)专门召开过“性别与数学教育”国际研讨会,会议讨论内容之一是视觉和空间能力是否与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何和代数各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选择情况如下表:(单位:人)几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050(Ⅰ)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?(Ⅱ)经过多次测试后,女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5~7分钟,女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6~8分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率;(III)现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生中被抽到的人数为X,求X的分布列及数学期望EX.附表及公式2()Pkk0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822nadbckabcdacbd页4第19.(本小题满分12分)如图,已知四棱锥PABCD的底面为菱形,且60ABC,E是DP中点.(Ⅰ)证明://PB平面ACE;(Ⅱ)若APPB,2ABPCPB,求平面EAC与平面PBC所成二面角的正弦值.20.(本小题满分12分)设抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F,准线为l.已知以F为圆心,半径为4的圆与l交于A、B两点,E是该圆与抛物线C的一个交点,90EAB.(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)已知点P的纵坐标为1且在C上,Q、R是C上异于点P的另两点,且满足直线PQ和直线PR的斜率之和为1,试问直线QR是否经过一定点,若是,求出定点的坐标,否则,请说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数sinxfxex.(Ⅰ)求函数fx的单调区间;(Ⅱ)如果对于任意的0,2x,fxkx恒成立,求实数k的取值范围;(III)设函数cosxFxfxex,20152017,22x,过点1,02M作函数Fx的图象的所有切线,令各切点的横坐标按从小到大构成数列nx,求数列nx的所有项之和的值.页5第请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中,圆C的参数方程为22cos2sinxy(为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建极坐标系,直线l的极坐标方程为(sin3cos)3.(Ⅰ)求C的极坐标方程;(Ⅱ)射线11:()63OM≤≤与圆C的交点为,OP,与直线l的交点为Q,求||||OPOQ的范围.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知0a,0b,22abab.证明:(Ⅰ)222()2()abab;(Ⅱ)(1)(1)4ab.棠湖中学高2019届高三上第二学月考试理科数学答案一.选择题题号123456选项ADBBCA题号789101112选项ABCDCA二.填空题13.914.54015.221,316.3页6第三、解答题17.解:(Ⅰ)∵mn∴2cos(coscos)0cCaBbA由正弦定理得2sincos(sincoscossin)0CCABAB即2sincossin()0CCAB∴2sincossin0CCC,在ABC中,0C∴sin0C∴1cos2C,∵(0,)C,∴3C(Ⅱ)由余弦定理可得:22222cos()2(1cos)9cababCababC即2()39abab∴221[()9]32ababab∴2()36ab∴6ab,当且仅当3ab时取等号,∴ABC周长的最大值为6+3=918.(1)由表中数据得2K的观测值2250(221288)505.5565.024302030209K所以根据统计有97.5%和空间能力与性别有关.(2)设甲,乙解答一道几何题的事件分别为,xy分钟,则基本事件满足的区域为5768xy,如图所示设事件A为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为xy由几何概型,得11112228PA,即乙比甲先解答完的概率为18(3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人,抽取方法有2828C种,其中甲、乙两人没有一个人被抽取到有2615C种;恰有一人被抽到有112612CC;两人都被抽到有221C种.X可能取值为0,1,2,15028PX,1231287PX,1228PXX的分布列为X012P152837128页7第所以15311012287282Ex.19.(Ⅰ)证明:如图3,连接BD,BDACF,连接EF,∵四棱锥PABCD的底面为菱形,∴F为BD中点,又∵E是DP中点,∴在BDP△中,EF是中位线,//EFPB∴,又∵EF平面ACE,而PB平面ACE,//PB∴平面ACE.(Ⅱ)解:如图,取AB的中点Q,连接PQ,CQ,∵ABCD为菱形,且60ABC,∴ABC△为正三角形,CQAB∴.设2ABPC,2APPB∴,3CQ∴,且PAB△为等腰直角三角形,即90APB,PQAB,AB∴平面PQC,且1PQ,222PQCQCP∴,PQCQ∴,如图,建立空间直角坐标系,以Q为原点,BA所在的直线为x轴,QC所在的直线为y轴,QP所在的直线为z轴,则(000)Q,,,(100)A,,,(030)C,,,(001)P,,,(100)B,,,(230)D,,,31122E,,,31022AE,,,(130)AC,,,(101)PB,,,(031)PC,,,设1111()nxyz,,为平面AEC的一个法向量,则1100nAEnAC,,即11113102230yzxy,,可取1(313)n,,.设2222()nxyz,,为平面PBC的一个法向量,页8第则2200nPCnPB,,即2222300yzxz,,可取2(313)n,,.于是121212||5|cos|7||||nnnnnn,.所以平面EAC与平面PBC所成二面角的正弦值为267.20.解:(1)由题意及抛物线定义,||||||4AFEFAE,AEF为边长为4的正三角形,设准线l与x轴交于点D,11||||4222ADpAE.(2)设直线QR的方程为xmyt,点11(,)Qxy,22(,)Rxy.由24xmytyx,得2440ymyt,则216160mt,124yym,124yyt.又点P在抛物线C上,则11221144pPPQPPyyyykyyxx11441Pyyy,同理可得241PRky.因为1PQPRkk,所以124411yy1212124()8()1yyyyyy1681441mtm,解得734tm.由21616073417(1)344mttmmm,解得71(,)(,1)(1,)22m.所以直线QR的方程为7(3)4xmy,则直线QR过定点7(,3)4.21.⑴sincosxfxexx2sin4xexfx的增区间为32,244kkkZ;减区间为372,244kkkZ.⑵令gxfxkxsinxexkx要使fxkx恒成立,只需
本文标题:2019届四川省棠湖中学高三上学期第二次月考数学(理)试题
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