高三数学-选修系列不等式选讲

1选修系列第二部分不等式选讲【高考目标导航】一、绝对值不等式1．考纲点击（1）理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：①|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);②|a-b|≤|a-c|+|b-c|(a,b,c∈R).(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.2.热点提示（1）以选择题的形式考查绝对值不等式，同时与不等式的性质相结合；（2）以考查绝对值不等式的解法为主，兼顾考查集合的交、并、补运算。二、证明不等式的基本方法1．考纲点击通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法。2．热点提示（1）以一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等知识为背景考查不等式的常用证明方法；（2）与数列等知识综合考查不等式的证明方法。【考纲知识梳理】一、绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立。注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当a，b不共线时，|a+b|≤|a|+|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。（2）不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|。定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)时，等号成立。22．绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集不等式a＞0a=0a＜0|x|＜a{x|-a＜x＜a}|x|＞a{x|x＞a或x＜-a}{x|x∈R且x≠0}R注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义（|x|表示数轴上的点x到原点O的距离；|x-a|±|x-b|）表示数轴上的点x到点a,b的距离之和（差）（2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法①|ax+b|≤c-c≤ax+b≤c;②|ax+b|≥cax+b≥c或ax+b≤-c.（3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。二、证明不等式的基本方法1．比较法（1）作差比较法①理论依据：a＞ba-b＞0;a＜ba-b＜0.②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论。注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系。（2）作商比较法①理论依据：0,1;ababb0,1;ababb②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论。2．综合法（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式。33．分析法（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止。注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚。当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程。4．放缩法（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键。【要点名师透析】一、绝对值不等式（一）绝对值三角不等式性质定理的应用〖例〗“|x-a|＜m,且|y-a|＜m是“|x-y|＜2m”(x,y,a,m∈R)的（A）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）非充分非必要条件思路解析：利用绝对值三角不等式，推证||||xamyam与|x-y|＜2m的关系即得答案。解答：选A。|||()()|||||2,||,||||23,1,2,2.5,||252,||5,||2.5,||||||2.xyxayaxayammmxamyamxymxyamxymxaxamxamyamxym且是的充分条件.取则有但不满足故且不是的必要条件（二）绝对值不等式的解法〖例〗解下列不等式：2(1)1|2|3;(2)|25|7;(3)|9|3;(4)|1||2|5.xxxxxxx4思路解析：（1）利用公式或平方法转化为不含绝对值的不等式。（2）利用公式法转化为不含绝对值的不等式。（3）利用绝对值的定义或|()|(0)|()|fxaaafxa去掉绝对值符号或利用数形结合思想求解。（4）不等式的左边含有绝对值符号，要同时去掉这两个绝对值符号，可以采用“零点分段法”，此题亦可利用绝对值的几何意义去解。解答：（1）方法一：原不等式等价于不等式组|2|1,|2|3xx即13,15xxx或解得-1≤x＜1或3＜x≤5,所以原不等式的解集为{x|-1≤x＜1或3＜x≤5}.（2）由不等式|25|7xx，可得250257xxx或250,25(7)xxx解得x2或x-4.∴原不等式的解集是{x|x-4或x2}.（3）原不等式①229093xxx或②2290,93xxx不等式①33334.34xxxxx或或不等式②3323.32xxxx或∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.(4)分别求|x-1|,|x+2|的零点，即1，-2。由-2,1把数轴分成三部分：x-2,-2≤x≤1,x1.当x-2时，原不等式即1-x-2-x5,解得-3x-2;当-2≤x≤1时，原不等式即1-x+2+x5，因为35恒成立，则-2≤x≤1;当x1时，原不等式即x-1+2+x5,解得1x2.综上，原不等式的解集为{x|-3x2}.（三）含参数的绝对值不等式〖例〗若关于x的不等式|x+2|+|x-1|≤a的解集为，求实数a的取值范围。思路解析：把不等式问题转化为函数的图象，利用数形结合思想求解；也可以运用绝对值的几何意义求解。5解答：令12|2||1|,yxxya。∴121(1)3(21),21(2)xxyxxx12yy、的图象如图所示。由图可知，当a3时，|x+2|+|x-1|≤a的解集为。（四）含绝对值不等式的证明〖例〗设2(),fxaxbxc当||1x，总有|()|1fx，求证：|(2)|8f。解答：∵当||1x时，|()|1fx，∴|(0)|1f，|(1)|1f，|(1)|1f，||1,||1,||1.||||2|||2||2|,||||2||4,||2.|2||()|||||2,||1,|(2)||42||(1)3||(1)|3||||161cabcabcabcabccabcabccaabcabccababcabcabcabcbfabcfabfab又且8,|(2)|8.f即（五）绝对值不等式的综合问题〖例〗已知a、b、c是实数，函数2(),(),fxaxbxcgxaxb当11x时，|()|1fx。（1）证明：||1c；（2）证明：当11x时，|()|2gx；（3）设0,a当11x时，()gx的最大值是2，求()fx。思路解析：（1）代入x=0即得；（2）结合一次函数的单调性和绝对值不等式的性质得证；（3）结合二次函数的图象和一次函数的最值求解。解答：（1）由已知，当11x时，|()|1fx，取0,x得|||(0)|1,||1.cfc即（2）当0,a时，()gxaxb在[-1，1]上是增函数，所以g(-1)≤g(x)≤g(1),6|()|1(11),||1,(1)(1)|(1)|||2,(1)(1)(|(1)|||)2.|()|2;0()[1,1](1)()(1),|()|1(11),||1,(1)(1)fxxcgabfcfcgabfcfcgxagxaxbggxgfxxcgabfc因为所以由此可得当时，在上是减函数，所以因为所以(1)||2.(1)(1)(|(1)|||)2,|()|2;0(),(),11,()=|(1)-||(1)|+|c|2.()2fcgabfcfcgxagxbfxbxcxgxfcfgx由此得当时，因为所以综上，得。2(3)0,()[1,1]1.1(0)(1)2121,(0)1.11()1,()(0)0()0,0,2,2()21.agxxffcfxfxfxfxfxbbaafxx因为在上是增函数，当时取得最大值2即g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2,因为所以因为当时，即，根据二次函数性质，直线为二次函数的图象的对称轴，所以-即故有二、证明不等式的基本方法（一）利用比较法证明不等式〖例〗已知a0,b0,求证：.ababba思路解析：不等式左、右两边是多项式形式，可用作差或作商比较法，也可用分析法、综合法。解答：作差法3322()()()()(),0,0,()0,0..abababababbaabababababababababbaababba又故（二）利用综合法证明不等式〖例〗22(0,),1,11111125(1)8;(2);(3)()(+).24ababababababab已知、且+求证:7思路解析：以上五个不等式的左边都含有（或隐含有）ab或1ab，因此只要利用1ab+得出ab及1ab的范围，就能够证出以上三个不等式。解答：由21111,4.24(0,)ababababababab得、222221111111(1)()()224448,1118.11(2)()21212,421.2abababababababababababababab221111(3)()(+)()21252(2)2,241125()(+).4babaabababababababababab（三）利用分析法证明不等式〖例〗已知a0，求证：221122.aaaa思路解析：当从条件直接去推证不等式的方向不明确时，可考虑用分析法证明。解答：要证原不等式成立，只需证8222222222222222221122,1111+4+4()22()2,112()112()2.12.