专题二探究性几何证明题

专题突破二┃探究河南中考探究性几何证明题专题突破二┃探究性几何证明题是一种新题型，主要有下列两种描述：(1)答案不固定或者条件不完备的习题称为开放题；(2)具有多种不同的解法或有多种可能的解答的问题称为开放题．探究性几何证明题的特点是：(1)条件多余需选择，条件不足需补充；(2)答案不固定；(3)问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法，因而解题的策略是将其转化为封闭性问题．探究性几何证明题常见的类型有：(1)以三角形为载体的条件探究题；(2)以四边形为载体的条件探究题；(3)代数与几何综合的条件探究题.专题突破二┃►热考一以三角形为载体的条件探究题例1[2012·义乌]如图Z2－1，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是____________．(不添加辅助线)图Z2－1专题突破二┃解：添加的条件是：DE＝DF(或CE∥BF或∠ECD＝∠DBF或∠DEC＝∠DFB等)．证明：在△BDF和△CDE中，∵BD＝CD，∠EDC＝∠FDB，DE＝DF，∴△BDF≌△CDE.专题突破二┃解以三角形为载体的条件探究题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因.专题突破二┃►热考二以四边形为载体的条件探究题例2[2012·绥化]已知，点E是矩形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，AB＝3，BC＝4，点P为EC上的一动点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R.(1)如图Z2－2(甲)，当点P为线段EC中点时，易证：PR＋PQ＝125；(2)如图(乙)，当点P为线段EC上任意一点(不与点E、点C重合)时，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)如图(丙)，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其他条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.专题突破二┃图Z2－2解：(2)图乙中结论PR＋PQ＝125仍成立．证明：如图1连接BP，过C点作CK⊥BD于点K，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°，∴BD＝5.∵S△BCD＝12BC·CD＝12BD·CK，∴3×4＝5CK，∴CK＝125.方法一：∵S△BCE＝S△BEP＋S△BCP，∴12BE·CK＝12PR·BE＋12PQ·BC，又∵BE＝BC，∴12CK＝12PR＋12PQ，∴CK＝PR＋PQ，即125＝PR＋PQ.专题突破二┃方法二：如图2，过点P作PM⊥CK于M，∴四边形PRKM为矩形，∴DK∥PM，PM∥RK，∴∠BEC＝∠MPC.又∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠ECB＝∠MPC.又∵∠PMC＝∠CQP＝90°，PC＝PC，∴△PMC≌△CQP，∴MC＝PQ，∴CK＝KM＋MC＝PR＋PQ＝125.(3)PR－PQ＝125.专题突破二┃解以四边形为载体的条件探究题时要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维能力和知识应用能力.专题突破二┃►热考三代数与几何综合的条件探究题例3[2012·乌鲁木齐]如图Z2－3，已知点A(－12,0)，B(3,0)，点C在y轴的正半轴上，且∠ACB＝90°.(1)求点C的坐标；(2)求Rt△ACB的角平分线CD所在直线l的解析式；(3)在l上求点P，使其满足S△PBC＝12S△ABC；(4)已知点M在l上，在平面内是否存在点N，使以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在．请说明理由.图Z2－3专题突破二┃解：(1)由△AOC∽△COB，可得OC2＝OA×OB＝36，∴|OC|＝6.又点C在y轴的正半轴上，故点C的坐标是(0,6)．(2)过点D作DE⊥BC于点E.设DB的长为m.在Rt△DEB中，DE＝DB·sinB＝m·ACAB＝255m，BE＝DB·cosB＝55m.在Rt△DEC中，∠DCE＝45°，于是，CE＝DE＝255m，由CE＋BE＝BC，即255m＋55m＝35，得m＝5.又由|OA||OB|，知点D在线段OA上，|OB|＝3，所以|OD|＝2，故点D(－2,0)；设直线l的关系式为：y＝kx＋b，把C(0,6)和D(－2,0)代入y＝kx＋b中，得b＝6，－2k＋b＝0，解之，得k＝3，b＝6，故直线l的关系式为y＝3x＋6.专题突破二┃(3)①取AB的中点F(－4.5,0)，过点F作BC的平行线交直线l于点P1，连接CF.易知S△P1BC＝S△FBC＝12S△ACB，∴点P1为符合题意的点．直线P1F可由直线BC向左平移|BF|个单位得到(即向左平移7.5个单位)而直线BC的关系式为y＝－2x＋6，即直线P1F的关系式为y＝－2(x＋7.5)＋6，即y＝－2x－9，由y＝－2x－9，y＝3x＋6，得点P1(－3，－3)．专题突破二┃②在直线l上取点P2使CP2＝CP1，此时有BCPBCPSS12＝12S△ACB，∴点P2符合题意．由CP2＝CP1，可得点P2的坐标为(3,15)，∴点P(－3，－3)或P(3,15)可使S△PBC＝12S△ABC.(4)存在点N分别为(1,3)，－3105，－9105，3105，9105.专题突破二┃代数与几何综合的条件探究题，题目一般是融代数、几何为一体的综合性问题，注重对数学思想方法、探索性思维能力和创新思维能力的考查，涉及的知识比较多．这种类型的试题的处理方法一般需要几何题的处理方法，代数的计算手段，创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决．解题方法一般不惟一或解题路径不明确，要求解题者不墨守成规，敢于创新，积极发散思维，优化解题方案和过程.