2011届高考数学二轮复习课件2.8 函数模型及其应用

要点梳理1.三种增长型函数模型的图象与性质§2.8函数模型及其应用y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)在(0,+∞)上的增减性_______________________增长速度________________相对平稳增函数增函数增函数越来越快越来越慢函数性质基础知识自主学习2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y=ax(a1)与幂函数y=xn(n0)在区间(0,+∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y=ax的增长速度_____y=xn的增长速度,因而总存在一个x0,当xx0时有_______.图象的变化随x增大逐渐表现为与______平行随x增大逐渐表现为与______平行随n值变化而不同y轴x轴快于axxn（2）对数函数y=logax(a1)与幂函数y=xn(n0)对数函数y=logax(a1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会______y=xn的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使xx0时有____________.由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上,因此在（0,+∞)上，总会存在一个x0，使xx0时有_____________.慢于logaxxnaxxnlogax3.常用的几类函数模型(1)一次函数模型f(x)=kx+b(k、b为常数，k≠0);(2)反比例函数模型(k、b为常数,k≠0);(3)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)；(4)指数函数模型f(x)=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0,b0,b≠1）；(5)对数函数模型f（x）=mlogax+n（m、n、a为常数，m≠0,a0,a≠1）;(6)幂函数模型f(x)=axn+b(a、b、n为常数，a≠0,n≠1).bxky4.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为5.实际问题中函数的定义域要特别注意,另外，结果要回到实际问题中写答案.基础自测1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100元国家要征附加税为x元（税率x%）,则每年销售量减少10x万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为（）A.2B.6C.8D.10解析依题意解得2≤x≤8,则x的最小值为2.,11210070)10100(xxA2.从1999年11月1日起,全国储蓄存款征收利息税,利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2000年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2001年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元,则该存款人的本金介于（）A.3万~4万元B.4万~5万元C.5万~6万元D.2万~3万元解析设存入的本金为x，则x·2%·20%=138.64，.66034404003861xA3.在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系,如果购买1000吨,每吨为800元；购买2000吨,每吨为700元;一客户购买400吨,单价应该是（）A.820元B.840元C.860元D.880元解析依题意，可设y与x的函数关系式为y=kx+b,由x=800,y=1000及x=700,y=2000,可得k=-10,b=9000,即y=-10x+9000,将y=400代入得x=860.C4.某物体一天中的温度T(单位:℃)是时间t(单位:h)的函数:T(t)=t3-3t+60,t=0表示中午12∶00，其后t取正值,则下午3时温度为（）A.8℃B.78℃C.112℃D.18℃解析由题意，下午3时，t=3，∴T(3)=78℃.B5.为了保证信息安全，传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密为y=ax-2（x为明文,y为密文）,如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是______.解析依题意y=ax-2中，当x=3时，y=6,故6=a3-2，解得a=2.所以加密为y=2x-2，因此，当y=14时，由14=2x-2,解得x=4.加密发送解密4题型一一次、二次函数模型【例1】如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（ba）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH,CG,CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.依据图形建立四边形EFGH的面积S关于自变量x的目标函数，然后利用解决二次函数的最值问题求出S的最大值.思维启迪题型分类深度剖析解设四边形EFGH的面积为S，则S△AEH=S△CFG=x2,S△BEF=S△DGH=(a-x)(b-x)，由图形知函数的定义域为{x|0x≤b}.又0ba,∴0b2121,8)()4(2)(2)])((2121[22222babaxxbaxxbxaxabS,2ba若≤b,即a≤3b时，则当时，S有最大值若即a3b时,S(x)在（0,b］上是增函数，此时当x=b时，S有最大值为综上可知，当a≤3b时，时，四边形面积Smax=当a3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.4ba4bax;8)(2ba,4bba,8)()4(2222babbabab4bax,8)(2ba探究提高二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解.知能迁移1某人要做一批地砖，每块地砖（如图1所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图2所示的形式铺设,能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.图1图2(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)E、F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省？(1)证明图2是由四块图1所示地砖组成,由图1依次逆时针旋转90°，180°,270°后得到，∴EF=FG=GH=HE，∴△CFE为等腰直角三角形，∴四边形EFGH是正方形.(2)解设CE=x，则BE=0.4-x，每块地砖的费用为W，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a（元），=a(x2-0.2x+0.24）=a[(x-0.1)2+0.23]（0x0.4）,由a0，当x=0.1时，W有最小值，即总费用最省.答当CE=CF=0.1米时，总费用最省.axxaxaxW)]4.0(4.0212116.0[2)4.0(4.02132122题型二分段函数模型【例2】某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完.公司对销售及销售利润进行了调研,结果如图所示，其中图①（一条折线）、图②（一条抛物线段）分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系.(1)分别写出国外市场的日销售量f（t）与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g（t）与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由.思维启迪第(1)问就是根据图①和②所给的数据,运用待定系数法求出各图象中的解析式；第（2）问先求得总利润的函数关系式,再将问题转化为方程是否有解.解(1)图①是两条线段,由一次函数及待定系数法,图②是一个二次函数的部分图象，.4030,2406,300,2)(tttttf得).400(6203)(2ttttg故(2)每件样品的销售利润h（t）与上市时间t的关系为故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的关系为.4020,60,200,3)(tttth.4030),240203(60,3020),8203(60,200),8203(3)(222ttttttttttF当0≤t≤20时，∴F（t）在［0，20］上是增函数，∴F（t）在此区间上的最大值为F（20）=60006300.当20t≤30时，由F（t）=6300，得3t2-160t+2100=0,解得t=(舍去)或t=30.,0)202748(482027)(',24209)8203(3)(2232tttttFttttttF).8203(60)(2tttF370当30t≤40时，由F（t）在（30，40］上是减函数，得F(t)F(30)=6300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6300万元，为上市后的第30天.(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏.探究提高).240203(60)(2ttF知能迁移2某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数：其中x是仪器的月产量.（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润）,)400(00080)4000(21400)(2xxxxxR解（1）设月产量为x台，则总成本为（20000+100x）元，从而（2）当0≤x≤400时，当x=300时，有最大值25000；当x400时，f(x)=60000-100x是减函数，f(x)60000-100×40025000.所以，当x=300时，有最大值25000.所以，当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元..)400(10000060)4000(0002030021)(2xxxxxxf,00025)300(21)(2xxf题型三指数函数模型与幂函数模型【例3】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）.(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？（参考数据:1.0129≈1.113，1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079,lg2≈0.3010,lg1.012≈0.005,lg1.009≈0.0039）增长率问题是指数函数问题，利用指数函数模型，构造函数.思维启迪解（1）1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2.3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3.x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.(2)10年后，人口总数为100×(1+1.2%)10≈112.7（万人).(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1+1.2%)x=120,(4)由100×(1+x%)20≤120,得(1+x%)20≤1.2,两边取对数得20lg(1+