高数笔记

1高等数学学习笔记亳州市谯城区估衣小学唐士刚第一章函数实数一、数的拓展按照习惯,为简便起见:自然数集—N,整数集—Z,有理数集—Q,实数集—R,建立了实数轴之后,就建立了实数→对应数轴的点,那么下面我们要一一建立某一实数集与数轴上某一区间的对应.二、数轴规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。所有的实数都可以用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。画一条水平直线，在直线上取一点表示0，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。所以原点、单位长度、正方向是数轴的三要素。利用数轴可以比较实数的大小，数轴上从左往右的点表示的数就是按从小到大的顺序。三、区间设数a,b,且ab,则实数集{x|axb}称为开区间,记为(a,b)即(a,b)={x|axb}.a称为区间(a,b)的左端点,b称为(a,b)的右端点.注意,a(a,b)b(a,b),.类似的有:闭区间:[a,b]={xa≤x≤b},a∈[a,b],b∈[a,b]半开区间:[a,b)={x|a≤xb},a∈[a,b),b[a,b](a,b]={xax≤b},a(a,b],b∈(a,b]以上a,b都是实数,上述区间(a,b),[a,b],[a,b)(a,b]都是有限区间,数(b-a)称为这些区间的长度.下面引进记号+∞——正无穷大,∞——负无穷大,类似地有:[a,+∞)={x|x≥a}(a,+∞)={x|xa}.(∞,b]={x|x≤b},(∞,b)={x|xb}实数集R=(∞,+∞)2四、绝对值1、代数定义：|a|=a（a0）|a|=-a（a0）|a|=0（a=0）意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.2、几何意义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：指在数轴上表示的点与原点的距离，这个距离是5，所以的绝对值是二.函数的定义1,常量与变量圆的半径R(0,)周长L=2∏R面积A=∏R22.函数的定义定义1.3设有两个数集X,Y,f是一个确定的对应法则,若x∈X,通过对应法则f都有唯一的y∈Y和它对应,记为:f(x)=y则称f为定义在X上的一元函数简称为函数。X——f的定义域,常记D,x—自变量,y—因变量.当x遍取X中的一切数时,那么与之对应y的值构成了一个数集V={y|y=f(x),x∈X},称为函数f的值域.3,函数概念包含的几个重要内容(1)定义域(2)函数值(3)值域4,表示函数的常用方法1、解析法（公式法）如：L=2∏R2、图像法3、列表法三,定义域与函数值的求法举例31,显函数y=f(x)的定义域与函数值。例1、求函数y=21x的定义域D，及函数值f(1/2)。例2求函数f(x)=232xx的定义域D及函数值f(3).2、分段函数的定义域及函数值例3、求y=|x|的定义域D及值域f（1/2）例4求y=sinx的定义域D,值域V及f(-1).例5设x∈R,不超过x的最大整数记为[x].函数y=[x]称为取整函及.数.求取整函数的定义域D,值域V。四、函数的性质1、有界性若3M0.使|f（x）|≦M,xI,则称函数f(x)在区间I上有界,否则称f(x)在区间I上无界，,即对任何M0,总3x1∈I,使f|(x1)|M,那么f(x)在I上无界。例如:f(x)=sinx在区间(∞,+∞)内是有界的(Qsinx≤1,x∈(∞,+∞)),f(x)=1x在区间(0,1)内是无界的.事实上,无论给定多么大的正数M(不妨设M1),必有x1=12m∈（0，1）f(x1)=2MM,故f(x)=1在(0,1)内无界.例7函数f(x)=sinx在x∈(-∞,+∞)内是有界.2、单调性(包括单调增加,单调减少)若函数f(x)在区间I上,对任何x1,x2∈I,x1x2恒有f(x1)f(x2)(或恒有f(x1)f(x2)),则称函数f(x)在区间I上为严格单调增加((或严格单调减少)的函数.若f(x)在区间I上,xI,x1x2恒有f(x1)≤f(x2)(或恒有f(x1)≥f(x2))则称函数f(x)在区间I上为广义单调增加((或广义单调减少)4的函数,通常称为单调增加(或单调减少)的函数.例如:函数y=x2在区间(∞.0)内是严格单调减少的,在区间(0,+∞)内是严格单调增加的.3、奇偶性(1)偶函数:若f(x)在关于原点对称的区间Ⅰ上,满足f(–x)=f(x),则称f(x)为偶函数.(2)奇函数:f(x)在关于原点对称的区间Ⅰ上,若满足f(–x)=–f(x),则称f(x)为奇函数.例如,函数y=cosx为偶函数y=sinx为奇函数,而y=cosx+sInx既非偶函数,也非奇函数.4、周期性对于函数y=f(x),如果存在一个非零的常数T,对一切的x均有f(x并把使上式成立的最小正数T称为f(x)的+T)=f(x),则称f(x)为周期函数,例如函数sInx,cosx是以2π为周期的周期函数,而tanx,cotx则是以π为周期的周期函数.§1.2初等函数一、基本初等函数1、常值函数y=c2、幂函数y=xxx03、指数函数y=ax4、对数函数y=㏒aN且,a0且.a0且a≠1二、三角函数ytgxsinyxcosyxytgxcscyxysocxyctgx三、反三角函数arcsinyxarcsinyxarcytgx5四、函数的运算＋、－、×、÷、符合运算：sinytgxytgusinux第二章极限和连续第一节极限（一）数列的极限1.数列按一定顺序排列的无穷多个数称为数列，记作an，其中每一个数称为数列的项。例如（1）1，3，5，...，，...（2）1，0，1，0，...，...都是数列。在几何上，数列可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点。2.数列的极限定义对于数列，如果无限地趋于一个常数A，则称当n趋于无穷大时，数列以常数A为极限，或称数列收敛于A，否则称数列没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。数列极限的几何意义：将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点可以无限靠近点A。（二）数列极限的性质（1）数列{}an以a为极限的另一个说法，或者说一个充要条件是：对于数列{}an的任意一个子数列{}ani都以a为极限。（2）如果两个不同数列具有相同的极限：cbannnnlimlim，而另外一个数列{}cn满足条件：存在一个确定的自然数N，当nN时，总是有bcannn成立，那么数列{}cn收敛，并且极限为c。6（三）函数极限的概念1.当时函数的极限（1）当时的极限定义对于函数，如果当x无限地趋于一个确定的常数时，函数无限地趋于一个常数A，则称当时函数的极限是A。（2）当时的左极限定义对于函数，如果当x从的左边无限地趋于确定的常数时，函数无限地趋于一个常数A，则称当时函数的左极限是A。（3）当时的右极限定义对于函数，如果当x从的右边无限地趋于确定的常数时，函数无限地趋于一个常数A，则称当时函数的右极限是A，这就是说：如果当时，函数的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。反之，如果左、右极限都等于A，则必有函数的极限等于A。（四）函数的极限定理。首先假设函数f（x）在点x0的邻域),(xx内有定义，而在x0点上不一定需要有定义。如果存在一个确定的点A，而我们如果取点A的任意一个邻域),(AA，都可以找到相应的点x0的邻域),,(xx使得对于函数y=f（x）来说，只要自变量x属于邻域),(xx里，就有因变量y属于邻),(AA，这样我们就可以说当函数自变量x趋向于点x0时，函数以A为极限，记成Axfxx)(lim0。（五）无穷小量和无穷大量1、无穷小量和无穷大量定义对于函数，如果自变量x在某个变化过程中，函数的极限为零，则称在该变化过程中，为无穷小量。在微积分中常用希腊字母来表示无穷小量。7定义如果当自变量在变化过程中时，函数值的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），则称在该变化过程中，为无穷大量。2.无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。定理1.11在同一变化过程中，如果f(x)为无穷大量，则1()fx为无穷小量；反之，如果f(x)为无穷小量，且f(x)≠0，则1()fx为无穷大量。3.无穷小量的基本性质性质1有限多个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；常量与无穷小量的乘积是无穷小量。性质3有限多个无穷小量的乘积是无穷小量。性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。（六）极限的四则运算法则。首先假设函数f（x）和g（x）都在自变量x趋向于x0时存在有限的极限，那么就有下面的运算规则，（我们简写了极限符号，都是表示xx0）：a．)(lim)(limxfkxkf其中k为实数；b．)(lim)(lim)]()(lim[xgxfxgxf；c．)(lim)(lim)]()(lim[xgxfxgxf；d．)(lim)(lim)()(limxgxfxgxf，其中0)(limxg。第二节函数的连续性（一）函数连续的概念1、函数在点处连续定义1设函数y=f（x）在x0某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量趋近于0时，8相应的函数也趋近于0，则称函数y=f（x）在点处连续。定义2设函数y=f（x），如果函数在某点的左极限存在且等于该点的函数值，则称函数f（x）在点处左连续；如果函数在某点的右极限存在且等于该点的函数值，则称函数f（x）在点处右连续。2、函数在区间[a，b]上连续如果函数f（x）在区间[a，b]上的每一点x处都连续，则称f（x）在区间[a，b]上连续，并称f（x）为[a，b]上的连续函数。即f（x）在左端点a处是右连续，在右端点b处是左连续。3、函数的间断点定义：如果函数f（x）在点处不连续则称点为f（x）一个间断点。由函数在某点连续的定义可知，如果f（x）在点处有下列三种情况之一，则点是f（x）一个间断点。（1）在点处，f（x）没有定义；（2）在点处，f（x）的极限不存在；（3）虽然在点处f（x）有定义，且存在。（二）函数在一点处连续的性质定理（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）。（三）闭区间上连续函数的性质定理（有界性定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。定理（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。定理（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为9M和m，则对于介于m和M之间的任何实数c，在[a，b]上至少存在一个最大值。（四）函数的连续性，单侧连续性。我们说函数在某点是连续的，意思是说（1）函数在这点的某个领域内有定义；（2）函数在这点存在极限；（3）函数在这点的极限等于函数在这点的函数值。函数在某点存在左极限，并且左极限值等于函数在这点的因变量值，这称函数在这点左连续；函数在某点存在右极限，并且右极限值等于函数在这点的因变量值，这称函数在这点右连续。（五）间断点及其分类。如果说一个函数在某点不连续，或者说发生了间断，就必定是出现了三种情况之一：（1）函数在这点没有定义；（2）函数在这点不存在左右极限之一或左右极限都不存在；（3）函数在这点的左右极限与函数在这点的函数值至少有一个不相等。因此我们可以把函数发生间断的情况分成三类：（1）可去间断点。（2）第一类间断点。（3）第二类间断点。闭区间连续函数的性质1.定义在一个闭区间[a，b]上面的连续函数f（x），对于满足f（a）cf（b）的任意的c值，总是存在一个相应的],['bax，使得.)'(cxf这就是所谓介值定理。2.定义在一个闭区间[a，b]上面的连续函数f（x），如果f