第8章---渐进法及其他算法简述

第8章渐进法及其他算简述§8-2多结点的力矩分配§8-3对称结构的计算§8-4无剪力分配法§8-5力矩分配法与位移法的联合应用§8-6近似法§8-7超静定结构各类解法的比较和合理选用§8-8超静定力的影响线§8-1力矩分配法的基本概念§8-10小结§8-9用求解器求解一般的超静定结构(略)§8-1力矩分配法的基本概念1名词解释（1）转动刚度：表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上等于使杆端发生单位转角时需要施加的力矩。1）远端支撑条件不同时，SAB的数值也不同。2）SAB是施力端没有任何线位移时的转动刚度。§8-1力矩分配法的基本概念（2）分配系数ABABAACACAADADAMSMSMSABAACAADAMSSSAABACADMSSSACABADABACADAAASSSMMMMMMSSS由转动刚度定义，得考虑A点弯矩平衡，得§8-1力矩分配法的基本概念AjAjMM统一用下列公式AjAjASS——分配系数1Aj很明显■A端弯矩与各杆A端的转动刚度成正比。■力偶M，按各杆的分配系数分配于各杆的A端。ACABADABACADAAASSSMMMMMMSSS§8-1力矩分配法的基本概念ACACACACAAMiMi0DAADADMCM1CAACACMCM30ADADADAMiM远端滑动远端铰支■远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。（3）传递系数由位移法中的刚度方程得42ABABABAABAMiMi12BABAABMCM传递系数远端固定§8-1力矩分配法的基本概念2基本运算（单结点的力矩分配）计算FP作用下的杆端弯矩。（1）在结点B加一个阻止转动的约束，阻止B点的转动。FFFBBABCBAMMMM■约束力矩等于固端弯矩之和。§8-1力矩分配法的基本概念（2）在结点B加上一个力偶-MB。（3）两种情况叠加，得到实际杆端弯矩。总结■先在刚结点B上加阻止转动的约束，把连续梁分为单跨梁，求出杆端弯矩。结点B各杆固端弯矩之和即为约束力矩MB。■去掉约束，求出各杆B端新产生的分配力矩和远端新产生的传递弯矩。■叠加各杆端的力矩就得到实际的杆端弯矩。§8-1力矩分配法的基本概念例8-1试用力矩分配法作弯矩图。解（1）先在结点B加上约束，计算固端弯矩和约束力矩。F200kN6m8150kNmABMFF150kNmBAABMM2F20kN/m6m890kNmBCM150kNm90kNm60kNmBM§8-1力矩分配法的基本概念（2）放松结点B在B结点上加一个外力偶-60kNm。然后，进行分配和传递。43BABCSiSi转动刚度分配弯矩''0.57160kNm34.3kNm0.42960kNm25.7kNmBABCMM分配系数443343BABciiiiii传递弯矩'''1217.2kNm0ABBACBMMM§8-1力矩分配法的基本概念（3）叠加得到最后的杆端弯矩§8–2多结点的力矩分配第一步，在结点B、C加约束，阻止结点的转动。第二步，去掉结点B的约束（结点C仍夹紧）。第三步，重新夹紧结点B，然后去掉结点C的约束。■重复第二步和第三步，连续梁的内力和变形很快达到实际状态。■每放松一次结点就相当于进行一次单结点的分配与传递运算。§8-2多结点的力矩分配例8-2作连续梁的弯矩图。解1440.667624418BABABCBCSiSi0.6670.410.66710.610.667BABc4130.5CBCBCDCDSiSi0.6670.333CBCD（1）分配系数2FFFPF60kNm1260kNm100kNm8100kNmABBABCCBqlMMFlMM（2）固端弯矩§8-2多结点的力矩分配（3）放松结点C（结点B仍被锁住）（4）重新锁住结点C，放松结点B（5）进行第二个循环（6）进行第三个循环（7）将固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加。（8）根据杆端弯矩画M图§8-2多结点的力矩分配例8-3作图示刚架的弯矩图、剪力图和轴力图。解（1）转动刚度和分配系数334BABEBCSSS423CBCFCDSSS0.30.40.3BABCBE0.4450.3330.222CBCDCF（2）固端弯矩2240kNm841.7kNm1241.7kNmFBAFBCFCBqlMqlMMEI0=1（3）力矩分配按C、B顺序分配两轮。§8-2多结点的力矩分配■放松结点的顺序不影响最后的结果。■先放松结点约束力矩大的结点，收敛速度快。§8-2多结点的力矩分配（4）内力图▲由杆端弯矩作弯矩图；▲由杆件的平衡条件作剪力图；▲由结点的平衡条件作轴力图；§8-2多结点的力矩分配例8-4作图示结构的M图。解（1）锁住B、C两点4/50CBCDSEIS10CBCDF50kNmCDM（2）放松C结点（3）C结点不再锁住，保持为铰支端。放松结点B3/13/5BABCSEISEI5616BABC只分配、不传递。（4）画弯矩图分配、传递。§8-2多结点的力矩分配力矩分配法迭代法1计算的是杆端弯矩新添的增量。1计算的是杆端弯矩全量的新一轮近似解。不同点相同点3都是以位移法为基础的渐进解法；4以杆端弯矩为计算对象；5弯矩的正负号规定相同；6都是线性方程组迭代法在结构力学中的应用；7都是从开始的近似状态，逐步调整到真实状态2一般只用于解无侧移刚架。2可以解无侧移刚架和有侧移刚架。■作用在对称结构上的任意荷载，都可分解为对称荷载和反对称荷载。§8–3对称结构的计算■对称荷载作用下，弯矩图和轴力图是对称，剪力图是反对称的。■反对称荷载作用下，弯矩图和轴力图是反对称，剪力图是对称的。■利用这些性质，在对称结构中可取半边结构进行计算。§8-3对称结构的计算例8-5作M图。解▲横梁的线刚度有变化，是原来的二倍。▲横梁的转动刚度有变化，是一倍的线刚度。▲按A、C依次放松结点。▲固端弯矩不变。§8-3对称结构的计算§8-3对称结构的计算例8-6试作矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。§8-3对称结构的计算讨论（1）柱子刚度比横梁刚度大很多。2121iii2112BAqlM当柱子与横梁的线刚度比20时，横梁即可按固定端算，此时，梁端弯矩的误差在5%以内。（2）柱子刚度比横梁刚度小很多。2120iii0BAM当柱子与横梁的线刚度比20时，横梁即可按铰支端算，此时，横梁跨中弯矩的误差在5%以内。§8–4无剪力分配法1无剪力分配法的应用条件两类杆件▲两端无相对线位移的杆件（横梁）。▲剪力静定杆件（柱子）。无剪力分配法的应用条件刚架中只包含杆端无相对线位移杆件和剪力静定杆件。§8-4无剪力分配法2剪力静定杆件的固端弯矩无剪力分配法计算刚架的步骤与力矩分配法相同，但固端弯矩、转动刚度和分配系数的求法不同锁住结点（只阻止结点的角位移，不阻止线位移）。上边滑动下边固定（1）根据静力条件求出杆端剪力；（2）将剪力看成杆端荷载，按该端滑动、另端固定的杆件进行计算。§8-4无剪力分配法3零剪力杆件的转动刚度和传递系数放松结点相当于在结点处施加一反向的约束力矩。结点变形：有转角、有侧移杆件受力：剪力为零，弯矩为常数若杆端发生转角A，则,ABABABAABAMiMiABABSi1ABC故§8-4无剪力分配法,1BABABASiC,1BCBCBCSiC放松B结点时，AB、BC杆均为零剪力杆，故放松结点时，刚架中静定剪力杆都是在零剪力的条件下，得到分配弯矩和传递弯矩的，故称无剪力分配法。§8-4无剪力分配法例8-7试作刚架的弯矩图解（1）固端弯矩FP2F2F3-=-3.75kNm16-=-2.67kNm6-=-5.33kNm3BCBAABMFlqlMqlM（2）转动刚度和分配系数123=12=3BCBASiSi4515BCBAS1BAC§8-4无剪力分配法§8-4无剪力分配法例8-8作图示刚架的弯矩图解固端弯矩FFFF14kN3.3m2=6.6kNm1(48.5)kN3.6m2=22.5kNmABBABCCBMMMM3.553162BABABCBCBEBESiSiSi3.5170.50.02065170.50.0293162170.50.9501BABCBE分配系数§8-4无剪力分配法§8–5力矩分配法与位移法的联合应用（1）基本体系只取线位移作基本未知量。（2）位移法方程1111P0kF（3）求系数和自由项，解方程用力矩分配法求（4）11PMMM§8-5力矩分配法与位移法的联合应用例8-9求刚架内力。解（1）基本体系：取D点水平线位移作为基本未知量（2）位移法方程1111P0kF（3）求系数和自由项▲作∆1=1时的弯矩图因为侧移是已知的，可用力矩分配法计算。110.594k§8-5力矩分配法与位移法的联合应用▲作MP图因为没有侧移，可用力矩分配法计算。1P1.16kNF1P1111.95Fk（4）作弯矩图11PMMM§8-5力矩分配法与位移法的联合应用若有两个线位移时，计算步骤如下：（1）基本体系：取两个线位移作为基本未知量。（2）位移法基本方程：1111221P2112222P00kkFkkF（3）求系数和自由项，解方程▲用力矩分配法作出∆1=1时的弯矩图，并求出1121kk、▲用力矩分配法作出∆2=1时的弯矩图，并求出1222kk、▲用力矩分配法作出荷载时的弯矩图，并求出1P2PFF、（4）作弯矩图1122PMMMM§8–6近似法1忽略剪力和轴力引起的变形▲计算梁和刚架的位移时，经常略去剪力和轴力的产生的变形，计算拱的位移时，也常略去剪切变形。▲超静定梁和刚架的内力计算，由于只考虑弯曲变形而大为简化。通常在位移法、力矩分配法中都采用这个假定。否则，计算将极为复杂。▲计算时忽略轴向变形和剪切变形，实际上就是假设杆件的抗拉和抗剪刚度无穷大。▲在高层建筑中，轴力引起的变形将不能忽略，在截面尺寸大、杆长很小的粗杆中，剪力引起的变形也不容忽视。§8-6近似法2在竖向荷载作用下忽略刚架的侧移▲有结点线位移的刚架，虽然在竖向荷载作用下也可以引起侧移，但数值一般比较小。▲分层计算法假定第一：忽略侧移的影响，用力矩分配法计算；第二：忽略每层梁的竖向荷载对其他各层的影响，把多层刚架分解成一层一层地单独计算。荷载对其它层的影响要经过分配——传递——再分配的过程，因而可以忽略因为假定柱的远端为固定端，而实际各柱都是弹性固定端，因此将上层各柱的线刚度乘以折减系数0.9，传递系数由1/2变为1/3。分层计算的结果在结点上是不平衡的，但误差一般不会很大。如需要，可对结点的不平衡力矩在进行一次分配。§8-6近似法3在水平荷载作用下忽略刚架的结点转角▲如果梁的刚度与柱子的线刚度大很多，在水平荷载作用线位移是主要位移，转角位移可以忽略。▲反弯点法假定：将横梁简化为刚性梁。各柱的剪力为1Q11212Q22221212iFkhiFkhk1、k2——柱子的侧移刚度。§8-6近似法由平衡条件，得PQ1Q2FFF1Q1P122Q2P12kFFkkkFFkk荷载FP按剪力分配系数分配给各柱剪力分配系数利用反弯点在柱子中点的性质，可得到柱子两端弯矩。注：在多层刚架中，通常将底层反弯点设在柱子2/3高度处。§8-6近似法例8-10作刚架弯矩图。解设柱的反弯点在柱子中点高度处。（1）求各柱的剪力分配系数22230.28630.428223GDIFEH23240.340.4224ADFCEH顶层底层§8-6近似法（2）计算各柱剪力QQQ0.2868kN2.29kN0.4288kN3.42k