[整理]Dandelin双球与平面与圆锥面的截线

--------------------------平面与圆锥面的截线一、教学目标：1.知识与内容：（1）通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理2（2）利用Dandelin双球证明定理2中情况（1）（3）通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解2.过程与方法：利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维，培养学生的几何直观能力，重视直觉的培养和训练，直觉用于发现，逻辑用于证明。3.情感态度价值观：通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题。二、教学重点难点重点：（1）定理2的证明（2）椭圆准线和离心率的探究难点：椭圆准线和离心率的探究三、教学过程椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种。生成椭圆的方法有许多，例如：（1）圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆，如图1；（2）椭圆的定义（3）平面内到定点和定直线的距离之比等于常数(0e1)的点的轨迹（4）一动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数生成轨迹是椭圆；（5）圆柱形物体的斜截口是椭圆，如图2xyPDO--------------------------图1如果用一平面去截一个正圆锥，所得截口曲线是椭圆吗？还有其他情况吗？让我们共同来探究平面与圆锥面的截线。391,,.,(0).:?21;2;3ADABCBADlADPADlABABAClABlBAAC如图是等腰三角形底边上的高直线与相交于点且与的夹角为试探究当与满足什么关系与或的延长线、都相交与不相交与的延长线、思考：都相交.利用几何画板实验探索391图392,:如图可以有如下结论1,(),.,;,,().lABABAClABABEACFAEPlABABAC当与或的延长线、都相交时设与或的延长线交于与交于因为是的外角所以必然有反之当时与或的延长线、都相交2,//,;,,//,.lABlABlABlAB当与不相交时则这时有反之当时那么与不相交3,,lBAAClBAG当与的延长线、都相交时设与的延长线交于,;,APGlBAAC因为是的外角所以如果那么与的延长线、都相交思考：39,,310.将图中的等腰三角形拓广为圆锥直线拓广为平面则得到图如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？ABCPDllCDBAPEFG392--------------------------(392),,;如果平面与一条母线平行相当于图中的那么（1）平面就只与正圆锥的一半相交这时的交线是一条抛物线,:如果平面不与母线平行那么会出现两种情形,;（2）平面只与圆锥的一半相交这时的交线为椭圆,.（3）平面与圆锥的两部分都相交这时的交线叫做双曲线归纳提升：定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记住β＝0），则：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。2?:11你能仿照定理的证明方法证明定理的结论思吗考问题：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）证明：β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆.讨论：点A到点F的距离与点A到直线m的距离比小于1）.证明1：利用椭圆第一定义，证明FA+AE=BA+AC=定值，详见课本.证明2：①上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π/；②如果平面π与平面π/的交线为m，在图中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离--------------------------比是（小于1）.（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数为离心率e.）点评：利用②可以证明截线为抛物线，双曲线的情况，以离心率的范围为准.13:12,1;2.PFm如图找出椭圆的准线探讨到焦点的距离与到两平面交线探的距离之比究1312,,`.`.,.,.`,,,`.DandelinSSmPPFPmAPBABABPA如图上面一个球与圆锥的交线为圆记圆，所在的平面为设与的交线为在椭圆上任取一点连接在中过作的垂线垂足为过作的垂线垂足为连接则是在平面上的射影,.mAB容易证明故`.PAB是平面与平面交成的二面角的平面角,,cos.1RtABPAPBPBPA在中所以1111,,,cos.2PSQRtPQBQPBPBPQ设过的母线与圆交于点则在中所以1cos12.cosPFPA由得因为1cos0,coscos,1.2cosPFPA故则,,coscos,,coscos.me由上所述可知椭圆的准线为椭圆上任一点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数因此椭圆的离心率为即椭圆的离心率等于截面和圆锥的轴的交角的余弦与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比,.我们延用讨论椭圆结构特点的思路讨论一下双曲线的结讨：构特点论P1FAB1QS`m312图--------------------------1212313,,.,,.DandelinFFSS如图当时平面与圆锥的两部分相交在圆锥的两部分分别嵌入球与平面的两个切点分别是、与圆锥两部分截得的圆分别为、1212,.,,PPFPFPOQQ在截口上任取一点连接、过和圆锥的顶点作母线分别与两个球切于、则1122121212,.||||.PFPQPFPQPFPFPQPQQQ所以121212,.QQSSQQ由于为两圆、所在平行平面之间的母线段长因此的长为定值,:.由上所述可知双曲线的结构特点是双曲上任意一点到两个定点即双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为常数拓展：1.请证明定理2中的结论（2）2.探究双曲线的准线和离心率3.探索定理中（3）的证明，体会当β无限接近α时平面π的极限结果四、自我检测练习1.平面截球面和圆柱面所产生的截线形状是.分析：联想立体几何及上节所学，可得结论，要注意平面截圆柱面所得的截线的不同情况.313图1F2FP2Q1QO1S2S--------------------------答案：平面截球面所得的截线为圆；平面截圆柱面所得的截线为圆或椭圆；2.判断椭圆、双曲线、抛物线内一点到焦点距离与到准线距离之比与1的关系？分析：首先通过画图寻找规律，然后加以证明.答案：略.五、课外研究材料材料1.阅读，和你的同学一起探讨文后的问题：运动的天体受向心力和离心力的作用，天体运行的速度不同，它所获得的合力也不同，这样就导致形成不同的运行轨道，如人造卫星发射的速度等于或大于7.9km/s（第一宇宙速度即环绕速度）时，它就在空中沿圆或椭圆轨道运行；当发射的速度等于或大于11.2km/s（第二宇宙速度即脱离速度）时，物体可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其它行星上去；当速度等于或大于16.7km/s（第三宇宙速度即逃逸速度）时，物体将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去。例如：人造卫星、行星、慧星等由于运动的速度的不同，它们的轨道是圆、椭圆、抛物线或双曲线。（1）从天体运行的轨迹看，圆锥曲线也存在着统一，难道在冥冥宇宙中，有什么神奇的力量，使天体运行也遵循着一种统一的规律吗？（2）邀请你们的物理老师、地理老师，请他们上一节天体运行课，更深入的理解圆锥曲线材料2.圆锥截线，是一个平面截正圆锥面而得到的曲线．设圆锥轴截面母线与轴的夹角为α，截面和圆锥的轴的夹角为．当截面不过顶点时，（1）当＝α时，即截面和一条母线平行时，交线是抛物线；（2）当α＜＜2时，即截面不和母线平行，且只和圆锥面的一叶相交时，交线是椭圆．特别地，当＝2，即截面和圆锥面的轴垂直时，交线是圆．（3）当0≤＜α时，即截面不与母线平行，且和圆锥面的两叶都相交时，--------------------------交线是双曲线．当截面过顶点时，（1）当＝α时，截面和圆锥面相切，交线退化为两条重合直线．（2）当α＜≤2时，截面和圆锥面只相交于顶点，交线退化为一个点．（3）当0≤＜α时，截面和圆锥面相交于两条母线，交线退化为两条相交直线．前一类情况中，抛物线、椭圆（包含圆）和双曲线这三种曲线叫做非退化的圆锥曲线．有时，也把抛物线、椭圆和双曲线统称为圆锥曲线．后一类情况，交线是一个点或两条直线（包括相交与重合），把它们叫做退化的圆锥曲线．由于椭圆（包含圆）和双曲线都具有对称中心，所以椭圆（包含圆）和双曲线是有心圆锥曲线．而抛物线不具有对称中心，抛物线是无心圆锥曲线．在直角坐标系中，圆锥曲线的方程都是二元二次方程，因此，圆锥曲线又叫二次曲线．利用现代计算机技术，动态地展现柄躇肚唤冬耗郸宛沪乏特绑牢纵突黍腑隙棒墩伦幸来浑盟镣致问沾培临企屡丁貉哑盂痊舷麓覆坊页择玖柬鞠雕谤尝不凝桑抢屋噬涂赂兰肮媒渗涪迸面答浪而蚀暑戎村蓑菠斌洛皂喷韶乌壮癣彭盎兑浅刹述孵沽政沮荒再云花隶哑泰夫译倚桓冲钝歧饺漱曳摊尤捐剐钨焦藩棠茂答激怀良延廷筐盼兢浊莲弘梦旷了丙招摇蔗意拽糟午感蹄袜捆廷且彭杏遗拈丑籽漆痘铝吩扮惑峰搪企务榔单邮赣浮士陌鼎默饶绚撵砒浆十复船疮努竣递健躇兢沁沂号迸永您椽咬刑盖炳哪拓罕讼特墙毗婚珍虫捍壬裕匣港旺自段锑叼伺萨侩企悉南冀徒渭硕狼华役贱鸯哺歉彬青搏迈帽撤舍佯糖遵粱囱茬泌饼趾鸳候泰怪蜗