《导数与函数的单调性》

第二章函数、导数及其应用2020届高考第一轮复习理科数学第11讲导数与函数的单调性（第一课时）函数的单调性与导数的关系条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)0f(x)在(a，b)内_________f′(x)0f(x)在(a，b)内_________f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是_________单调递增单调递减常数函数返回导航1．若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)0吗？f′(x)0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．2．f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取极值的什么条件？提示：必要不充分条件，因为当f′(x0)＝0且x0左右两端的导数符号变化时，才能说f(x)在x＝x0处取得极值．反过来，如果可导函数f(x)在x＝x0处取极值，则一定有f′(x0)＝0.2．理清三组关系(1)在某区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．(3)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．3．关注两个易错点(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．()答案：(1)×(2)√(3)√(1).如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在区间(－3，1)上f(x)是增函数B．在区间(1，3)上f(x)是减函数C．在区间(4，5)上f(x)是增函数D．在区间(3，5)上f(x)是增函数考点1:导数的图像与函数的图像(自主练透)(2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()(3)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()1．函数y＝4x2＋1x的单调增区间为()A．(0，＋∞)B．(12，＋∞)C．(－∞，－1)D.－∞，－12考点2:不含参数函数的单调性(自主练透)解析：选B.由y＝4x2＋1x，得y′＝8x－1x2，令y′0，即8x－1x20，解得x12，所以函数y＝4x2＋1x的单调增区间为12，＋∞.故选B.2．已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)()A．在(0，＋∞)上递增B．在(0，＋∞)上递减C．在(0，1e)上递增D．在0，1e上递减解析：选D.因为函数f(x)＝xlnx，定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝lnx＋1(x0)，当f′(x)0时，解得x1e，即函数的单调递增区间为(1e，＋∞)；当f′(x)0时，解得0x1e，即函数的单调递减区间为(0，1e)，故选D.3.(教材习题改编)函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是()A．先增后减B．先减后增C．增函数D．减函数解析：选D.因为f′(x)＝－sinx－10.所以f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.4.函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为________．解析：由f′(x)＝1－1x0，得1x1，即x1，又x0，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)．答案：(0，1)5．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是________．解析：f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，令f′(x)＝xcosx0，则其在区间(－π，π)上的解集为－π，－π2和0，π2，即f(x)的单调递增区间为－π，－π2和0，π2.答案：－π，－π2和0，π2求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)在定义域内解不等式f′(x)0，得单调递增区间．(4)在定义域内解不等式f′(x)0，得单调递减区间．[提醒]求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错．第二章函数、导数及其应用2020届高考第一轮复习理科数学第11讲导数与函数的单调性（第二课时）栏目导引理教材固双基讲方法提素养刷好题练能力析考点破疑难第三章导数及其应用1．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．返回导航解析：f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，所以a≤3.答案：3考点4函数单调性的应用(多维探究)角度1求参数的范围栏目导引理教材固双基讲方法提素养刷好题练能力析考点破疑难第三章导数及其应用考点三已知函数的单调性求参数的取值范围已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)求a＝－2时，讨论f(x)的单调性；(2)若当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．返回导航栏目导引理教材固双基讲方法提素养刷好题练能力析考点破疑难第三章导数及其应用解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x3－32x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－62x＋3.令f′(x)＝0，得x1＝2－1，x2＝2＋1.当x∈(－∞，2－1)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，2－1)上是增函数；当x∈(2－1，2＋1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(2－1，2＋1)上是减函数；当x∈(2＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(2＋1，＋∞)上是增函数．返回导航栏目导引理教材固双基讲方法提素养刷好题练能力析考点破疑难第三章导数及其应用(2)由f(2)≥0得a≥－54.当a≥－54，x∈(2，＋∞)时，f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3(x2－52x＋1)＝3(x－12)(x－2)＞0，所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.综上，a的取值范围是[－54，＋∞)．返回导航栏目导引理教材固双基讲方法提素养刷好题练能力析考点破疑难第三章导数及其应用【反思归纳】已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题来求解：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”．提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．返回导航栏目导引理教材固双基讲方法提素养刷好题练能力析考点破疑难第三章导数及其应用【即时训练】设函数f(x)＝(x＋a)eax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(－4,4)内单调递增，求a的取值范围．返回导航栏目导引理教材固双基讲方法提素养刷好题练能力析考点破疑难第三章导数及其应用解：(1)f′(x)＝(ax＋a2＋1)eax.当a0时，f′(x)0的解集为－a2＋1a，＋∞，f′(x)0的解集为－∞，－a2＋1a，函数f(x)的单调递增区间是－a2＋1a，＋∞，单调递减区间是－∞，－a2＋1a；当a＝0时，f′(x)＝1，函数在(－∞，＋∞)上单调递增；当a0时，函数f(x)的单调递增区间是－∞，－a2＋1a，单调递减区间是－a2＋1a，＋∞.返回导航栏目导引理教材固双基讲方法提素养刷好题练能力析考点破疑难第三章导数及其应用(2)根据(1)，当a0时，－a2＋1a≤－4，即a2－4a＋1≥0时，f(x)在(－4,4)内单调递增，解得0a≤2－3或a≥2＋3.当a＝0时，函数在(－4,4)内单调递增；当a0时，只要－a2＋1a≥4，即a2＋4a＋1≥0，解得a≤－2－3或－2＋3≤a0.综上可知a的取值范围是(－∞，－2－3]∪[－2＋3，2－3]∪[2＋3，＋∞)．返回导航角度一比较大小或解不等式(1)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为()A．(－1，1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)函数单调性的应用(多维探究)(2)(2019·合肥模拟)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′(x)，g′(x)为其导函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0且g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是()A．(－3，0)∪(3，＋∞)B．(－3，0)∪(0，3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0，3)【解析】(1)由f(x)＞2x＋4，得f(x)－2x－4＞0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)＞2，所以F′(x)＞0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4＞0等价于F(x)＞F(－1)，所以x＞－1，故选B.(2)令h(x)＝f(x)g(x)，当x＜0时，h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，则h(x)在(－∞，0)上单调递增，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h(x)为奇函数，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增．又由g(－3)＝0，可得h(－3)＝－h(3)＝0，所以x＜－3或0＜x＜3时h(x)＜0，故选D.【答案】(1)B(2)D1．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)0，则当axb时，有()A．f(x)g(x)f(b)g(b)B．f(x)g(a)f(a)g(x)C．f(x)g(b)f(b)g(x)D．f(x)g(x)f(a)g(a)解析：选C.令F(x)＝f（x）g（x），则F′(x)＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]20，所以F(x)在R上单调递减．又axb，所以f（a）g（a）f（x）g（x）f（b）g（b）.又f(x)0，g(x)0，所以f(x)g(b)f(b)g(x)．角度二已知函数的单调性求参数已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax2＋2x(a≠0)．(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围．【解】(1)h(x)＝lnx－12ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝1x－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，1x－ax－2＜0有解．即a＞1x2－2x有解，设G(x)＝1x2－2x，所以只要a＞G(x)min即可．而G(x)＝(1x－1)2－1，所以G(x)min＝－1.所以a＞－1.(2)由h(x)在[1，4]上单调递减得，当x∈[1，4]时，h′(x)＝1x－ax－2≤0恒成立，即a≥1x2－2x恒成立．所以a≥G(x)max，而G(x)＝(1x－1)2－1，因为x∈[1，4]，所以1x∈[14，1]，所以G(x)max＝－716(此时x＝4)，所以a≥－716，即a的取值范围是[－716，＋∞)．[迁