第九章-回归的旋转设计

第九章回归的旋转设计本章内容：§1旋转设计的基本原理§2二次正交旋转组合设计及其统计分析§3通用旋转组合设计及其统计分析本章学习目的与要求：1.2.3.§1旋转设计的基本原理“回归的正交设计”具有试验处理数比较少，计算简便，消除了回归系数之间的相关性等优点。但它也存在一定的缺点，即二次回归预测值的方差随试验点在因子空间的位置不同而呈现较大的差异。由于误差的干扰，就不易根据预测值寻找最优区域。为了克服这个缺点，人们通过进一步研究，提出了回归的旋转设计（whirlydesign）。§1旋转设计的基本原理1.1回归设计的旋转性y所谓旋转性是指试验因素空间中与试验中心距离相等的球面上各处理组合的预测值的方差具有几乎相等的特性，具有这种性质的回归设计称回归旋转设计。利用具有旋转性的回归方程进行预测时，对于同一球面上的点可直接比较其预测值的好坏，从而找出预测值较优区域。y如何才能使试验设计具有旋转性呢？这就需要弄清楚旋转性对试验设计有什么要求以及获得旋转性必须满足哪些基本条件。首先必须明确的是：在旋转设计中，试验处理的预测值的方差仅与因素空间中从试验点到试验中心的距离ρ有关而与方向无关，从而克服了通常因为不知道最优点在什么方向的缺陷。y这里应该解决的是二次回归正交的旋转性问题。下面以试验设计中常用的三元二次回归方程来讨论这个问题。§1旋转设计的基本原理在3个变量情况下，二次回归模型为：33211jijjijjijijjijjyxxxxx即223121323101231213231122322332yxxxxxxxxxxxx1,2,,N12121.2.mmA其指数，，，都是偶数或零的元素分类其指数，，，中至少有1个为奇数它的结构矩阵为：222111213111211131213111213222212223212221232223212223222123121323123111NNNNNNNNNNNNXxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx§1旋转设计的基本原理此外，为了使旋转设计成为可能，还必须使信息矩阵A不退化（满秩）。为此，必须有不等式(13－30)4222mm式(13－30)就是m元二次旋转设计的非退化条件。已经证明，只要使N个试验点不在同一个球面上，就能满足非退化条件。最简单的情况是把N个试验点分布在2个或3个半径不等的球面上。如m0个点分布在半径为0的球面上（即在中心点重复m0次试验），另外m1＝N－m0个点均匀分布在半径为ρ(ρ≠0)的球面上。§1旋转设计的基本原理综上所述，为了获得m元二次旋转设计方案，就要求既要满足旋转性条件式(13－29)，又要满足非退化条件式(13－30)。满足条件式(13－29)是旋转设计的必要条件，满足非退化条件式(13－30)是使旋转性成为可能的充分条件。两者结合起来才能使旋转性设计得以实现。实际操作上主要借助于组合设计来实现。因为组合设计中N个试验点N＝mc+mγ+m0，分布在3个半径不相等的球面上。即mc个点分布在半径的球面上；cmmγ个点分布在半的球面上；m0个点分布在半径00的球面上；因此，采用组合设计选取的试验点，完全能够满足非退化条件式(13－30)，即信息矩阵A不会退化。此外，采用组合设计，其信息矩阵A的元素中20jijijxxxxx而它的偶次方元素222icxm442icxm22ijcxxm均不等于零，完全符合式(13－29)的要求。为了获得旋转设计方案，还必须根据旋转性条件式(13－29)确定γ值，§1旋转设计的基本原理事实上只要4223jijxxx求出γ值就行了。在组合设计下，当mc＝2m（全实施）时，则前式变为42322mm解此方程，即可建立全实施时γ值的计算式，即42m(13－31)同理11422mmcm1（实施）2当当22422mmcm1（实施）4当33422mmcm1（实施）8§1旋转设计的基本原理表13－24二次正交旋转组合设计参数表mmcmγm0Nγ2（全实施）448161.4143（全实施）869231.6824（全实施）16812362.0005（全实施）321017592.3785（1/2全实施）161010362.0006（1/2全实施）321215592.3786（1/4全实施）16128362.0007（1/2全实施）6414221002.8287（1/4全实施）321413592.3788（1/2全实施）12816331773.3648（1/4全实施）6416201002.8288（1/8全实施）321611592.374为了便于设计，现将m个因素不同实施情况下的γ值列于表13－24。2次旋转组合设计具有同一球面预测值的方差相等的优点，但回归统计数的计算较繁琐。如果使它获得正交性就能大大简化计算手续。§1旋转设计的基本原理1.2正交性的获得y在2次旋转组合计划中，1次项和交互项的回归系数bi和bij仍保持正交，但b0与bij之间，以及bii与bjj之间都存在相关，即不具正交性，它们之间的协方差分别为：24224cov2)covjjiijjbbtNtbbN22，（）)=(，（(13－32)24241(2)2tmm其中§1旋转设计的基本原理同样，对于m元二次旋转组合设计，上式中的mc和mγ也都是固定的。这样就只能通过调整中心点的试验处理数m0使λ4/λ22＝1。由此可见，适当地选取m0，就能使2次旋转组合设计具有一定的正交性。为了方便设计，已将m元不同实施的m0和N列入表13－24中。综上所述，只要对平方项施行中心化变换，并适当调整就能获得二次正交旋转组合设计方案，这方面的计划见表13－27和表13－28。对于m个因素的二元旋转组合设计，式（13－33）中的m、mc和γ都是固定的。因此，只有适当地调整N才能使λ4/λ22＝1，而试验处理数N＝mc+mγ+m0二次回归旋转组合设计，具有同一球面上各试验点的预测值的方差相等的优点，但它还存在不同半径球面上各试验点的预测值的方差不等的缺点。为了解决这一问题，于是提出了旋转设计的通用性问题。所谓“通用性”，就是试验除了仍保持其旋转性外，还具有各试验点与中心的距离ρ在因子空间编码值区间0＜ρ＜1的范围内，其预测值的方差基本相等的性质，即同时具有旋转性与通用性。这种设计称为通用旋转组合设计。如何才能满足其通用性呢？§1旋转设计的基本原理1.3二次旋转组合设计的通用性yyy首先来看预测值的方差，已知在m个因素情况下，其预测值的方差yy224442444114(1)(1)(2)(2)2(2)DymmmmmmN(13－34)此式是在λ2＝1的约定下得到的，这种约定并非本质的，只是为了讨论简单起见。由此可知，只有恰当确定λ4，才能满足通用性的要求。§1旋转设计的基本原理y(13－35)那么，对λ4有什么要求呢？总的来说，它必须使式中D()在诸ρi(0＜ρ＜1)区间的内插点）处的值与ρ＝1处的值的差的平方和为最小，即：22441424421()()niQiifff最小式中4442(2)mfmmN42424(1)(1)(2)2mmfm44141f于是，对于不同的m，均可计算出满足式（13－35）的λ4§1旋转设计的基本原理当λ4确定后，由关系式（见13－33）可以计算出不同m的试验处理数N。2422222ccNmmmm当计算结果不是整数时，N可取其最靠近的整数。然后再由m0＝N-mc-mγ计算出不同m值的m0，上述计算结果列于表13－25。表13－25二次通用旋转组合设计参数表mmcmγγλ4Nm02（全实施）441.4140.811353（全实施）861.6820.862064（全实施）1682.0000.863175（1/2全实施）16102.0000.893266（1/2全实施）32122.3780.905397（1/2全实施）64142.8280.9292148（1/2全实施）128163.3640.93165219（1/4全实施）64163.8280.939313从以上可以看出，正交旋转的好处在于正交性，它是通过增加中心点的试验次数换来的，但有时并不合算。在某些实际问题中，反倒不如选用通用旋转设计。因为通用旋转设计，既能在0＜ρ＜1的较实用区域使方差D()基本不变，又在一定程度上减少了试验次数。§1旋转设计的基本原理从上述讨论结果看出，为了满足通用性要求，主要在于确定出适当的m0。因此，只要在中心点安排如表13－25所列的m0次试验旋转组合设计便获得通用性。y§2二次正交旋转组合设计及其统计分析设研究因素为m个，分别以Z1,Z2,…,Zm,表示。在进行设计时，首先确定每个因素的上、下水平，进而计算零水平，以及变化间距。某因素零水平及变化间距的计算式为§2二次正交旋转组合设计及其统计分析2.1二次正交旋转设计的一般方法Z0j＝(Z1j+Z2j)/2Δj＝(Z2j－Z0j)/γ式中γ为待定参数，其值可以从表13－24中查出。对每个因素Zj各水平的取值进行线性变换，以实现其编码xαj＝(Zαj－Z0j)/Δj这样，就将有单位的自然变量Zj变成了无单位的规范变量xj(j＝1,2,…,m)，并可编制出因素水平的编码值表（表13－26）。表13-26二次正交旋转设计因素水平编码值表编码Z1Z2…Zm+γZ21Z22…Z2m+1Z01+Δ1Z02+Δ2…Z0m+Δm0Z01Z02…Z0m-1Z01-Δ1Z02-Δ2…Z0m-Δm-γZ11Z12…Z1m试验因素Z1,Z2,…,Zm经因素水平编码后，以变量x1,x2,…,xm表示，选用适当的二水平正交表，即可设计出二次回归正交旋转组合方案。为了方便设计与统计分析，现将常用的二因素和三因素二次正交旋转组合设计的结构矩阵列于表13－27和表13－28。§2二次正交旋转组合设计及其统计分析处理号x0x1x2x1x2x1′x2′mc111110.50.5211-1-10.50.531-11-10.50.541-1-111.50.5mγ511.414001.5-0.561-1.41400-0.5-0.57101.4140-0.51.5810-1.4140-0.51.5m091000-0.5-0.5101000-0.5-0.5111000-0.5-0.5121000-0.5-0.5131000-0.5-0.5141000-0.5-0.5151000-0.5-0.5161000-0.5-0.51688488表13-27二元二次正交旋转组合设计的结构矩阵2jjx§2二次正交旋转组合设计及其统计分析处理号x0x1x2x3x1x2x1x3x2x3x1′x2′x3′mc111111110.4060.4060.4062111-11-1-10.4060.4060.406311-11-11-10.4060.4060.406411-1-1-1-110.4060.4060.40651-111-1-110.4060.4060.40661-11-1-11-10.4060.4060.40671-1-111-1-10.4060.4060.40681-1-1-11110.4060.4060.406mγ911.682000002.234-0.594-0.594101-1.682000002.234-0.594-0.59411101.6820000-0.5942.234-