中考数学第23题的分类试题

中考数学第23题的分类试题一、动点问题（一）、因动点产生的面积关系例1、在平面直角坐标系中，△BCD的边长为3cm的等边三角形,动点P、Q同时从点A、O两点出发，分别沿AO、OB方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s,当点P到达点O时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s),解答下列问题:(1)求OA所在直线的解析式;(2)当t为何值时,△POQ是直角三角形;(3)是否存在某一时刻t，使四边形APQB的面积是△AOB面积的三分之二?若存在,求出相应的t值;若不存在，请说明理由．例2、如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动(不与B，C重合)，连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．记CD的长为t．(1)当t＝31时，求直线DE的函数表达式；(2)如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；（二）因动直线产生的面积关系例3．如图所示，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，－5）和（－2，4）．（1）求这条抛物线的解析式．（2）设此抛物线与直线y=x相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于x轴的直线x=m（0m5+1）与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）．（3）在条件（2）的情况下，连接OM，BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．QPPAxyBOy=xNPx=mMAxyBO同步练习1、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线L从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动，设直线L与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方）．（1）求A，B两点的坐标；（2）设△OMN的面积为S，直线L的运动时间为ts（0≤t≤6），试求S与t的函数表达式；（3）在（2）的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？2.正方形ABCD的边长为４，BE∥AC交DC的延长线于E。（1）如图１，连结AE，求△AED的面积。（2）如图２，设P为BE上（异于B、E两点）的一动点，连结AP、CP，请判断四边形APCD的面积与正方形ABCD的面积有怎样的大小关系？并说明理由。（3）如图３，在点P的运动过程中，过P作PF⊥BC交AC于F，将正方形ABCD折叠，使点D与点F重合，其折线MN与PF的延长线交于点Q，以正方形的BC、BA为Ｘ轴、Ｙ轴建立平面直角坐标系，设点Q的坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式。3、如图，在矩形ABCD中，9AB，33AD，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQBD∥，交CD边于Q点，再把PQC△沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，PQR△与矩形ABCD重叠部分的面积为y．（1）求CQP的度数；（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？（3）①求y与x之间的函数关系式；②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的727？DQCBPRABADC（备用图1）BADC（备用图2）二、存在性问题(一）、因动点产生的直角三角形问题例4．如图，对称轴为直线72x的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．例5.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边长OA、OC的长分剔为12cm、6cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且18a+c=0.(1)求抛物线的解析式；(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向点C移动.①移动开始后第t秒时,设△PBQ的面积为S,试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;②当S取得最小值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标,如果不存在,请说明理由.1、已知抛物线24yxxm与x轴相交于AB，两点（B点在A点的左边），与y轴的负半轴相交于点C,6AB（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使AOPCOP△≌△？如果存在，请确定点P的位置，并求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由．72xB(0,4)A(6,0)EFxyOQPCAxyBOBOxyAAC2、如图,抛物线63)1(2mxmxy与x轴交于点A、B两点，抛物线的对称轴为直线x=1,(1)求m的值及抛物线的解析式；(2)过A的直线与抛物线的另一交点C的横坐标为2.直线AC的解析式；(3)点Q是抛物线上的一个动点,在x轴上是否存在点F,使得以点A、C、F、Q为顶点四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，已知二次函数223yaxax的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，其顶点为D，直线DC的函数关系式为3ykx，又tan1OBC．（1）求二次函数的解析式和直线DC的函数关系式；（2）抛物线上是否存在一点P，使△PBC以BC为直角边的直角三角形？若存，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．4、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴为直线x=2,该抛物线与x轴交干A、B两点（B在A的右侧）,与y轴交于点C,且B、C的坐标分别为（3,0）、(0,3).（1）求此抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，使△PAC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．yxDCAOByxOBCAAQCAxyBO(三)、因动点产生的三角形相似问题例6．如图，直线3yx与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过BC，两点的抛物线2yaxbxc与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线2x．（1）求A点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连结AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点PBQ，，为顶点的三角形与ABC△相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．同步练习1、如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线23yxbx与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，tan∠ACO=31．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线:(0)lykxk与线段BC交于点D（不与点BC，重合），则是否存在这样的直线l，使得以BOD，，为顶点的三角形与BAC△相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由.(五)、其它二次函数的综合问题例7、如图，一元二次方程2230xx的二根12xx，（12xx）是抛物线2yaxbxc与x轴的两个交点BC，的横坐标，且此抛物线过点(36)A，．（1）求此二次函数的解析式．（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标．（3）在x轴上有一动点M，当MQMA取得最小值时，求M点的坐标．ABCPOxy2xAOBCxyxyA（3，6）QCOBP1、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2yaxbxc经过点A（3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点.（1）求该抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为D，求△BCD的面积；（3）在抛物线的对称轴上有一个动点P，当△0CP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标.2、如图，已知抛物线32mxxy与x轴的一个交点A（3，0）.(1)分别求出这条抛物线与x轴的另一个交点B及与y轴的交点C的坐标；（2）设抛物线的顶点为D，求直线CD的解析式；(3)求tan∠DAC的值.3.已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x（如图所示）与x的另一交点为A现将它向右平移m（m＞0）位，所得抛物线与x轴交于C、D点，与原抛物线交于点P（1）求点P的坐标（可用含m式子表示）（2）设△PCD的面积为s，求s关于m关系式．（3）过点P作x轴的平行线交原抛物线于点E，交平移后的抛物线于点F．请问是否存在m，使以点E、O、A、F为顶点的四边形为平行四边形．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．x1234-1-2-1-2-3123yOACDBAOBCxy中考数学第23题的分类试题1解：⑴根据题意：AP＝tcm，BQ＝tcm．△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，∴BP＝(3－t)cm．△PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°．当∠BQP＝90°时，BQ＝12BP．即t＝12(3－t)，t＝1(秒)．当∠BPQ＝90°时，BP＝12BQ．3－t＝12t，t＝2(秒)．答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．⑵过P作PM⊥BC于M．Rt△BPM中，sin∠B＝PMPB，∴PM＝PB·sin∠B＝32(3－t)．∴S△PBQ＝12BQ·PM＝12·t·32(3－t)．∴y＝S△ABC－S△PBQ＝12×32×32－12·t·32(3－t)＝233393444tt．∴y与t的关系式为：y＝233393444tt．假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的23，则S四边形APQC＝23S△ABC．∴233393444tt＝23×12×32×32．∴t2－3t＋3＝0．∵(－3)2－4×1×3＜0，∴方程无解．∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的23．2解：(1)易知△CDO∽△BED，所以BDCOBECD，即311131BE，得BE=92，则点E的坐标为E(1，97)．设直线DE的一次函数表达式为y=kx+b，直线经过两点D(31，1)和E(1，97)，代入y=kx+b得31k，910b，故所求直线DE的函数表达式为y=91031x．(注：用其它三角形相似的方法求函数表达式，参照上述解法给分)(2)存在S的最大值．求最大值：易知△COD∽△BDE，所以DBCOBECD，即tBEt11，BE=t－t2，21S×1×(1＋t－t2)85)21(212t．故当t=21时，S有最大值85．3解：（1）由题意得620bcbc解得∴此抛物线解析式为y=x2－2x－4．（2）由题意得：224yxyxx解得12121414xxyy∴点B的坐标为（4，4）将x=m代入y=x得y=m，∴点N的坐标为（m，m）．同理，点M的坐标为（m，m2－2m－4），点P的坐标为（m，0）．∴PN=│m│，MP=│m2－2m－4│，∵0m5+1，∴MN=PN+MP=－m2+3m+4．（3）作BC⊥MN于点C，则BC=4－m，OP=m．S=12MN·OP+12MN·BC，=2（－m2+3m+4），MACQBP=－2（m－32）2+252．∵－20，∴当m－32=0，即m=32时，S有最大值．4解：（1）由抛物线的对称轴是72x，可设解析式为27()2yaxk．把A、B两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0)4.2akak解之，得225,.36ak故抛物线解析式为22725()326yx，顶点为725(,).26（2）∵点(,)Exy在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326yx，∴y0，即－y0,－y表示点E到OA的距离．∵OA是OEAF的对角线，∴