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第10卷第3期大气与环境光学学报Ｖｏｌ．10Ｎｏ．32015年5月ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＡＴＭＯＳＰＨＥＲＩＣＡＮＤＥＮＶＩＲＯＮＭＥＮＴＡＬＯＰＴＩＣＳＭａｙ2015ＤＯＩ：10．3969／ｊ．ｉｓｓｎ．ｌ673－6141．2015．03．007基于ＭＡＴＬＡＢ洛伦兹线型非线性拟合算法实现徐秀敏，张玉钧＊，何莹，尤坤，王立明，周毅，高彦伟，刘建国（中国科学院安徽光学精密机械研究所中国科学院环境光学与技术重点实验室，安徽合肥230031）摘要：可调谐半导体吸收光谱（ＴＤＬＡＳ）技术具有高选择性、高分辨率和速度快等优点，已经在环境检测、工业过程检测等方面得到广泛应用。主要分析洛伦兹线型拟合，研究Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ－Ｍａｒｑｕａｒｄｔ算法的原理及实现步骤，基于Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ－Ｍａｘｑｕａｘｄｔ算法实现吸收谱线的洛伦兹线型拟合。对六组不同浓度的0Ｏ2标准气体进行浓度反演，反演浓度与实际浓度的相关系数达0．9928，表明洛伦兹线型拟合可以准确反演出气体的浓度，对ＴＤＬＡＳ技术中浓度的反演具有实际的指导意义。关键词：可调谐半导体吸收光谱；Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ－Ｍａｒｑｕａｒｄｔ算法；浓度反演；线型拟合中图分类号：ＴＰ271文献标识码：Ａ文献编号：1673－6141（2015）03－0246－06ＡｌｇｏｒｉｔｈｍＩｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｏｆＬｏｒｅｎｔｚＬｉｎｅｔｙｐｅＮｏｎｌｉｎｅａｒＦｉｔｔｉｎｇＢａｓｅｄｏｎＭＡＴＬＡＢＸＵＸｉｕｍｉｎ，ＺＨＡＮＧＹｕｊｕｎ＊，ＨＥＹｉｎｇ，ＹＯＵＫｕｎ，ＷＡＮＧＬｉｍｉｎｇ，ＺＨＯＵＹｉ，ＧＡＯＹａｎｗｅｉ，ＬＩＵＪｉａｎｇｕｏ（ＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＥｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔＯｐｔｉｃｓａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＡｎｈｕｉＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＯｐｔｉｃｓａｎｄＦｉｎｅＭｅｃｈａｎｉｃｓ，ＣｈｉｎｅｓｅＡｃａｄｅｍｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ，Ｈｅｆｅｉ230031，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｅｃａｕｓｅｏｆｔｈｅａｄｖａｎｔａｇｅｓｏｆｈｉｇｈｓｅｌｅｃｔｉｖｉｔｙ，ｈｉｇｈｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎａｎｄｆａｓｔｓｐｅｅｄ，ｔｈｅｔｕｎａｂｌｅｄｉｏｄｅｌａｓｅｒａｂｓｏｒｐｔｉｏｎｓｐｅｃｔｒｏｓｃｏｐｙ（ＴＤＬＡＳ）ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｉｓｗｉｄｅｌｙｕｓｅｄｉｎｓｕｃｈａｓｐｅｃｔｓａｓｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌｔｅｓｔｉｎｇａｎｄｉｎｄｕｓｔｒｉａｌｐｒｏｃｅｓｓｔｅｓｔｉｎｇ．ＴｈｅＬｏｒｅｎｔｚｌｉｎｅｔｙｐｅｆｉｔｔｉｎｇ，ｔｈｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅａｎｄｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｓｔｅｐｓｏｆＬｅｖｅｎｂｅｒｇ－Ｍａｘｑｕａｘｄｔａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ａｎｄｔｈｅｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎｒｅｓｅａｒｃｈｅｓｏｆＬｏｒｅｎｔｚｌｉｎｅｔｙｐｅｆｉｔｔｉｎｇｏｆａｂｓｏｒｐｔｉｏｎｌｉｎｅｓｂａｓｅｄｏｎＬｅｖｅｎｂｅｒｇ－Ｍａｒｑｕａｒｄｔａｌｇｏｒｉｔｈｍａｒｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ａｆｔｅｒｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎｉｎｖｅｒｓｉｏｎｏｆｓｉｘｇｒｏｕｐｄｉｆｆｅｒｅｎｔｃｏｎ？ｃｅｎｔｒａｔｉｏｎｓｏｆＣＯ2ｓｔａｎｄａｒｄｇａｓ，ｔｈｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｂｅｔｗｅｅｎｉｎｖｅｒｓｉｏｎｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅａｃｔｕａｌｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎｉｓ0．9928．ＴｈｅｒｅｓｕｌｔｓｈｏｗｓｔｈａｔＬｏｒｅｎｔｚｌｉｎｅｔｙｐｅｆｉｔｔｉｎｇｃａｎｉｎｖｅｒｔｇａｓｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎａｃｃｕｒａｔｅｌｙ，ｗｈｉｃｈｈａｓｐｒａｃｔｉｃａｌｇｕｉｄｉｎｇｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅｆｏｒｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎｉｎｖｅｒｓｉｏｎｉｎｔｈｅＴＤＬＡＳｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｕｎａｂｌｅｄｉｏｄｅｌａｓｅｒａｂｓｏｒｐｔｉｏｎｓｐｅｃｔｒｏｓｃｏｐｙ；Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ－Ｍａｒｑｕａｒｄｔａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎｉｎｖｅｒｓｉｏｎ；ｌｉｎｅｔｙｐｅｆｉｔｔｉｎｇ收稿日期：2014－04－24；修改日期：2014－05－08基金项日：国家重大科学仪器设备开发专项（2012ＹＱ220Ｕ902）、国家“十二五”科技支撑计划（2013ＢＡＫ06Ｂ08）、国家自然科学基金面上项目（41071150）、“十二五”农村领域国家科技计划课题（2012ＢＡＪ24Ｂ02）资助＊通信联系人．￡｝－ｍａｉｌ：ｙｊｚｈａｎｇ＠ａｉｏｆｍ．ａｃ．ｃｎ第3期徐秀敏，等：基于ＭＡＴＬＡＢ洛伦兹线型非线性拟合算法实现2471弓｜言，（1）可调谐半导体激光吸收光谱（ｔｕｎａｂｌｅｄｉｏｄｅ其中，Ｓ（ｃｍ－2．ａｔｍ－1）为吸收线线强，仅为温度ｌａｓｅｒａｂｓｏｒｐｔｉｏｎｓｐｅｃｔｒｏｓｃｏｐｙ，ＴＤＬＡＳ）技术主要是ｔ的函数；ｉ＾ａｔｍ）为压强；Ｃ为吸收气体占总利用可调谐半导体激光器的窄线宽和波长随注入气体的摩尔数之比，即体积比；Ｗｃｍ）为吸收光电流改变的特性实现对分子的单个吸收线进行测程？，々（ｃｍ）为归一化的吸收线型函数，为频率和量，现在巳经发展成为了非常灵敏和常用的大气温度的函数．中痕量气体的监测技术［1—】。它具有高选择性、基于／（…分段背景基线拟合获得Ｊ0（ｉ／），吸收高灵敏度、响应速度快等主要特点。由于上述诸谱线用表示，令多优点，ＴＤＬＡＳ技术在测量气体污染物的浓度＆检测、有毒气体泄漏检测［3】和大气质量检测等Ｍ＂）＝ｌｎ7（＾‘（2）’领域，已获得日益广泛的应用。胃＿在ＴＤＬＡＳ技术中，基于气体的吸收光谱反演浓度［5，6】，主要浓度反演步骤有背景基线拟合、…＝＜ｔ＞（ｕ－ｕ0，Ｔ）Ｓ（Ｔ）ＰＣＬ．（3）吸收谱线的导出和吸收谱线的线型拟合。由于探测本身的有限分辨性和各种噪声的影响，导出＠ａ（Ｖ）ｃ，吸收職骑纟ｍ纖補她麵，ｎｎ‘2．2洛伦兹线型谱线进行线型拟合可以抑制噪声，提高测量的准由（3）式知，谱线线型的确定对于浓度的反演踊‘注°至关重要，而谱线线型的确定又与谱线展宽机制目削，常用来近似气体吸收谱线的线型王要Ｍ有高臓型、絲纖翻ｖｏｉｇｔｍｍ，很多雜8’ｕ巳经展开［7】。在本文中，由于常温常压下洛伦兹＆线型可以很好地近似吸收谱线。故本文主要分？ＴｕＡ／ｒ』其中谱线均勾展宽时谱线轮廓呈洛伦兹线型洛伦兹线型，接着研究ＬｅｖｅｎｂｅｒｇＭａｒｑｕａｒｄｔ算法的原理及实现步骤，基于ＬｅｖｅｎｂｅｒｇＭａｒｑｕａｒｄｔ算法实现吸收谱线的洛伦兹线型拟合，并对六组不＝＾0＋－＿＾，（4）4（1／—ｖｃ）2－ｈｃｊ2同浓度的ｃｏ2标准气体进行浓度反演实验。率。相应地，谱线非均匀展宽时谱线轮廓呈高斯2．1ＴＤＬＡＳ技术原理线型分布，而Ｖｏｉｇｔ线型为两者的线性卷积，其机将信号产生模块产生的高频锯齿信号加在激理包括了均匀展宽与非均匀展宽。其中，高斯线光器电流控制器上，实现激光快速扫描功能，激形适用于高温低压的条件，洛伦兹线形适用于髙光输出的波长随锯齿波改变，波长扫描通过待测压低温条件。在压强为百分之一大气压量级时，气体分子的吸收峰。激光传输一段距离后由探测两种展宽相近。当压强更低时，非均匀展宽占主器接收，探测信号通过同轴电缆接入信号采集模要地位；当压强更高时，均匀展宽占主要地位。块，采集的信号／（…含有气体吸收信息。显然，在常温常压下（痕量气体检测系统的环境），根据Ｂｅｅｒ－Ｌａｍｂｅｒｔ吸收定律，频率为ｚ／、强均匀展宽占主要地位，洛伦兹线型可以很好地表度为Ｉ。入射光经过气体吸收后的透射光强为示吸收谱线，此时洛伦兹线型与Ｖｏｉｇｔ线型几乎248大气与环境光学学报10卷一致，但Ｖｏｉｇｔ线型结构远比洛伦兹线型复杂，极Ｚ对参数ａ的梯度的各个分量为大地增加了运算时间和对运算性能提出更高的要ｑｙｎ－ｉｄｙ（Ｘｉ－，ａ）求，故本文谱线线型用洛伦兹线型表示。’⑺3吸收谱线洛伦兹线型拟合的实再求一次偏导数可得现ｄ2ｘ2＝2ｙ＾1ｆｄｙ｛ｘｊ］ａ）ｄｙ（ｘｊ］ａ）由于探测本身的有限分辨性和各种噪声的影ｄ＜ｌｋｄａｉｉ＝09＜ｌｋ2如1响，导致吸收谱线不是标准的吸收线型，与真实［识＿咖；“）］＝｝’（8）吸收谱线有很大的差别，对吸收谱线进行线型拟＿叫进一■步化简为合可以抑制噪声，进一步提高气体浓度反演的准确性。因此，吸收谱线的洛伦兹线型拟合很有必行＝2Ｎ＾Ｍｘｙ，ａ）ｄｙ｛ｘｊ－，ａ）＿ｄａｋｄａｉｒ－＇Ｉｄａｋｄａｉ要，下面将详细介绍：拟合算法的选择、Ｌｅｖｅｎ－4＝0ｂｅｒｇＭａｒｑｕａｒｄｔ算法及实现步骤和洛伦兹拟合基2－ｙ（ｘｉ＼ａ）］ｄｙ＾Ｘｉ＇ａ＾＼，（9）ｄａｋｄａｉＪ于ＭＡＴＬＡＢ的实现。ｉ＝（）3．1拟合算法的选择式（9）中右边的第二项是可以忽略的，原因有二：在常温常压下，气体吸收谱线近似为洛伦兹1）相比于含有一阶导数的项足够小；2）该项对线型，由（4）式知，该函数有4个参数变量，该线型应每一点的随机测量误差，这个误差可正可负，是非线性的。常用的非线性拟合算法有最速下降当对ｉ累加求和时，该项就相互抵消了，故得出法、逆黑塞矩阵算法和Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ－Ｍａｒｑｕａｘｄ算法，护？＾ｄｙ｛ｘ．；ａ）ｄｙ｛ｘ．；ａ）其中当参数现值与最佳参数距离较远时，适用于最3＾＝＾一＾ｄ＾￣‘（）速下降法，4参数现值与最佳参数距离较近时，适，，－ｖ2．Ａ．／0ｆ＿ｎｆｎ＿1ｕＸ．用于逆黑塞矩阵算法，而Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ－Ｍａｒｑｕａｒｄ算】ｄａｋ2ｄａｋｄａｔ。法是前两种算法的结合，在迭代过程中，随着优在非线性依赖的情況下，求Ｘ2的最小值必须值函数的变化在两种算法之间平滑变动，在实际迭代进行，对ａ给定一个初始值，然后设计一个中非常有效，巳经成为非线性最小二乘法问题的迭代过程，不断优化ａ，直到Ｘ2不再明显增长。在标准。逆黑塞矩阵算法中，ａ的优化增值知（即下一个ａ3．2ＬｅｖｅｎｂｅｒｇＭａｒｑｕａｒｄｔ算法及实现步骤值将为ａ＋8ａ）满足由（4）式知，洛伦兹线型的非线性依赖于四3个参数砒、Ａ、Ｗ和？，线性拟合与非线性拟合Ｊ＾ａｉ＝￣？（11）1＝0的出发点是一样的，就是建立一个模型，使实际ｒ＾而在最速下降法中，5ａ为值与模型拟合值尽可能的接近，都是定义优值函数Ｘ2，通过求它的最小值来确定最佳拟合参数。ｄｅｎ＝ｃａｎｓｔ讀．（12）设需要拟合的线型为＾1甘咖、．，令ｃｏｎｓｔ＝－＂一，其中＼用来调ｃｏｎｓｔ的大小，Ａａｕｙ＝ｙ（ｘ＾ａ）‘（5）此时逆黑塞矩阵算法和最速下降法的表达式很相其中ａ＝｛如，八…？｝，则优值函数为似，在某种条件下就可以互相转换。2／、，、12，、定义一个新矩阵Ｍ，令均＝ａｊｊｉｌ＋Ｘ2⑷＝＿ｙ（ｘｉ；ａ）］2．（6）、、，、古ｉ＝0Ａ），＝
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