利息理论 第8章 利率风险的度量

第八章利率风险的度量与防范内容1．到期期限2．平均到期期限3．马考勒持续期4．修正持续期5．凸度6、利率风险的防范1．到期期限一般而言，期限越长的债券，其价格受利率变动的影响越大，因此，衡量债券利率风险最传统的方法或最原始的指标就是计算债券到期期限。如10年期债券的到期年限为10年。这个指标的作用有限，能区分10年期债券不同于20年期债券，但不能区分票息不同的两种10年期债券，故是一种很粗糙的方法。2．平均到期期限。对于两个到期期限完全相同但息票不同的债券，它们实际的利率风险是不相同的。为此，一个改进的方法或好一点的指标便是计算债券的平均到期期限，即以债券未来的付款作为权数计算债券的平均到期时间。设为时刻1,2,…，n的付款额，根据等时法有12,nRRR..nttnttRtRt11.例两种面值100元的5年期债券，年票息率分别为5%和8%，试计算平均到期年限。解：平均到期年限为60.41005555510055554535251111nttnttRtRt42.41008888810058584838281112nttnttRtRt3．马考勒持续期马考勒在考虑货币时间价值的基础上，于1938年提出了持续期的概念。所谓马考勒持续期，是指未来一系列付款的时间与付款的现值为权数计算的加权平均到期期限。假设债券在未来一系列付款额为，1—n表示未来付款的到期期限，马考勒持续期被定义为12,nRRR.。ntttntttntttRtvPRvRtvd1111其中：P是未来付款的现值，即债券的价格。.马考勒持续期就是以未来付款的现值为权数所计算的付款到期时间t的加权平均数.其值越大，说明未来付款的加权到期时间越长，从而债券的利率风险越大。马考勒持续期仍然是一个时间概念，可以用年、月等时间单位计量现将对求导，可得。dintttntttRvRtvdiddidd11)(2121121ntttntttntttntttRvRtvRvtRvv211112ntttntttntttntttRvRtvRvRvtv2v讨论其中表示付款到期时间t的方差，由于方差，所以上式必然为负。可见，是的减函数。市场利率越高，马考勒持续期越短，从而债券价格对市场利率变动的敏感性越小，债券的利率风险越小。若,则，故等时法实际是忽略利息的期限的特例；202di0itd特例：债券的息票率为5%，市场利率为15%的债券。402080100年持续期一般情况，债券的到期时间越长，马考勒持续期越大，但特例中，到期时间超过20年时，到期时间越长，债券的利率风险越小。债券的息票率对马考勒持续期的影响。2015100.10.20.30.4息票率持续期年随着债券息票率的不断上升，马考勒持续期减少的速度越来越慢。这表明，债券的利率风险随着债券息票率的上升而不断减小，但减小的幅度越来越小。例：假设债券的面值为F，期限为n，到期时按面值偿还，年票息率为r，若市场通行的年实际利率为i，试求债券的马考勒持续期。解：由公式可知该债券的马考勒持续期为ntttntttRvRtvd11ntntntntFvrFvFnvrFtv11ntntntntvvrnvtvr11ninninvranvIar)(例：一笔贷款的本金为L，期限为n，年实际利率为i，按年等额分期偿还，每年末的偿还金额为R，试求出这笔贷款的马考勒持续期。解：ininnttnttnttnttaIavtvRvRtvd)(11114．修正持续期修正持续期与马考勒持续期不同。它不再是一个时间概念，是一个强度概念，反映了市场利率变化对债券价格影响强度。如果假设未来的一系列付款（R1，R2，R3，…，Rn）表示债券的未来收益，则债券价格（未来收益的现值）可表示为：nttttnttRiRviP11)1()(.若用表示市场利率变化时债券价格的单位变化速率，则有可见也是利率i的减函数。b)()(iPiPbb含义债券价格的单位变化率反映了债券价格随市场利率变化的速度。其值越大，债券价格波动幅度越大。市场利率的较小波动，有可能引起债券价格的大幅波动，因此，债券利率风险大。反之，债券利率风险小。由于ntttRvdidiP1)(ntttRtv11ntttRtvv1)(iPdviddviPiPdviPiPb1)()()()(可见，债券价格的单位变化速率是债券的马考勒持续期除以（1+i），所以亦称为修正持续期。从上式可知，修正持续期同马考勒持续期一样也是市场利率的减函数。这就是说，市场利率越高，修正持续期越小；反之，市场利率越低，修正持续期越大，则利率变化也越大。b例:假设年实际利率为5%，试计算永续年金的马考勒持续期和修正持续期。解：2105.0105.005.01)(205.005.011aIaRvRtvdtttttt2005.01211)()(idiPiPb5．凸度尽管修正持续期是金融分析的重要工具，但它只度量了利率与债券价格之间的近似线性关系，单纯用修正持续期度量债券的利率变化风险是不大准确的，故又出现了一个更优越的指标来计算这种线性近似所产生的误差，即债券的凸度。.凸度被定义为债券价格对利率的二阶导数与债券价格的比率。它更加精确地度量利率与债券价格之间的变化关系。凸度越大的债券，其抗利率风险能力越强。221)()(diPdPiPiPc。iPABi减少时，PB上升的幅度小于PA上升的幅度。i增加时，PA下降的幅度小于PB下降的幅度。其中债券的凸度是市场利率的减函数，即在其他条件不变的情况下，市场利率越高，债券的凸度越小，市场利率越低，债券的凸度越大。tnttntttRvttRvdidiP12122)1()(结论理想的债券应该具有较小的修正持续期和较大的凸度。例某债券的面值为1000元，期限为5年，年票息率为10%，到期时按面值偿还。若市场利率为12%，试计算其价格、马考勒持续期、修正持续期和凸度。解：债券的价格马考勒持续期91.927)12.01(1000100512.05aP1354.412.15100012.11001515tttPd修正持续期凸度6923.312.11354.41idb)()(iPiPc5125212.165100012.1)1(1001ttttP4774.18一些结论凸度度量了市场利率变化时持续期的稳定性。债券的凸度是对债券价格曲线弯曲程度的一种度量。债券的凸度越大，债券价格曲线的弯曲程度越大，从而用修正持续期度量债券的利率风险所产生的误差越大。持续期和凸度是当前运用最为广泛的度量利率风险的指标，但在运用这些方法时，应该特别注意其局限性。马考勒持续期从本质上讲仍然是一个时间概念，而修正持续期是一个强度概念，并且它们的计算都是在一定假设前提下进行的。即收益率曲线是平坦的或者收益率曲线只会发生平移。因此，修正持续期通常会低估债券的利率风险，此时，必须考虑凸度对债券价格的影响。6、利率风险的防范1）问题的提出在负债结构一定的条件下，如何安排资产结构，从而使得资产结构与负债结构正好平衡。以消除和减弱利率风险产生的不利影响。实例：银行发行一种一年期的存款单，金额为100万元，该银行在投资这笔资金时可能遇到两种风险：第一：如果投资期限太长，银行可能遇到利率上升的风险。（投资者可能抽走资金，银行不得不把未到期投资变现）第二：如果投资期限太短，银行可能遇到利率下降的风险。（当利率下降时，再投资收益率会下降）2）方法---免疫策略合理安排资产的投资期限，降低利率风险。1、按当前的利率计算，资产的现值应该等于负债的现值。（资产正好支付负债）2、资产的修正持续期等于负债的修正持续期。（资产的价值和负债的价值发生同步变化，从而保证资产的价值不会低于负债的价值）3、资产的凸度大于负债的凸度。（当市场利率变化时，资产的价值大于负债的价值。利率上升时，资产价值下降的幅度小于负债价值下降的幅度；利率下降时，资产价值上升的幅度大于负债价值上升的幅度；）某人在10年以后需要偿还一笔债务，按当前的市场利率6%计算，这笔债务的现值为1000元，到期的偿还值为1000元。为了防范利率风险，债务人购买价值为1000元的债券实施免疫策略，假设可供选择的债券有三种。10(16%)1790.85债券A：面值为1000元，期限为10年，息票率为6.7%；债券B：面值为1000元，期限为15年，息票率为6.988%；债券C：面值为1000元，期限为30年，息票率为5.9%；分析1、市场利率不变可以选择任何一种债券，无利率风险。2、市场利率发生变化选择B，因债券B的修正持续期正好等于债务的修正持续期。市场利率变化时，债券B的变化不大。3、构造债券组合使组合债券的修正持续期正好等于债务的修正持续期。习题1、一笔贷款的期限为5年，按年等额分期偿款，试求该笔贷款的马考勒持续期和修正持续期。2、假设实际年利率为5%，试计算永续年金的马考勒持续期和修正持续期。3、假设年实际利率为8%，试计算10年期、息票率为8%的债券的马考勒持续期和修正持续期。