函数的奇偶性及奇偶函数的图象

函数y=f(x)在定义域A内任取一个x∈A，且－x∈A1)都有f(－x)=f(x)2)都有f(－x)=－f(x)3)都有f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)则f(x)是偶函数则f(x)是非奇非偶函数则f(x)是奇函数问题：1）奇偶性在什么范围内考虑的？2）在定义域A内任取一个x,则－x一定在定义域A内吗？注意：1）奇偶性在整个定义域内考虑；2）定义域若不是关于原点对称的区间，则f(x)是非奇非偶函数；3）考虑函数奇偶性必需先求出定义域。例1、判断下列函数是否有奇偶性：1）f(x)=6x6+3x2+12）f(x)=－x3+x5解：此函数的定义域为R∵f(－x)=6(－x)6+3(－x)2+1=6x6+3x2+1=f(x)∴f(x)是偶函数解：此函数的定义域为R∵f(－x)=－(－x)3+(－x)5=x3－x5=－(－x3+x5)=－f(x)∴f(x)是奇函数3）f(x)=x2+2x+44）f(x)=2x解：此函数的定义域为R∵f(－x)=(－x)2+2(－x)+4=x2－2x+4∴f(x)是非奇非偶函数解：此函数的定义域为[－2,+∞)∴f(x)是非奇非偶函数)()(xfxf例2：判断函数f(x)=的奇偶性2|2|12xx解：由题02|2|012xx2211xx4011xxx且－4－101∴函数的定义域为[－1,0)∪(0,1]此时f(x)=2)2(12xxxx21xxxf2)(1)(又xx21=－f(x)故f(x)是奇函数判定函数的奇偶性的步骤：1）先求函数的定义域；若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数若定义域是关于原点对称的区间，进入第二步；2）计算f(－x)化向f(x)的解析式；若等于f(x)，则函数是偶函数若等于－f(x)，则函数是奇函数若不等于，则函数是非奇非偶函数3）结论。)()(xfxf观察下列函数的奇偶性，并指出图象有何特征？xyoy=x2－2xyoy=x3xyoy=x+1图象奇偶性图象特征（1）（2）（3）奇函数关于原点成中心对称关于y轴成轴对称偶函数非奇非偶函数简称关于原点对称简称关于y轴对称不关于原点及y轴对称定理：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于原点（y轴）对称，那么这个函数是奇（偶）函数。此定理的作用：简化函数图象的画法。例3、如图给出函数图象的一部分，用对称法作出下列函数的图象：xyoxyo1）若函数是奇函数2）若函数是偶函数例4、作出函数y=x2－|x|－6的图象解：当x≥0时，y=x2－x－6425)21(2x当x＜0时，y=x2+x－6425)21(2x425)21(425)21(22xxy00xxxyo若利用对称法作图：先作出x≥0的图象再用对称法作出另一半的图象；可知函数是偶函数例5、已知f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x2－2x，求当x＜0时，f(x)的解析式，并画出此函数f(x)的图象。xyo解：∵f(x)是奇函数∴f(－x)=－f(x)即f(x)=－f(－x)任意取x＜0时，则－x0∵x0时f(x)=x2－2x∴f(－x)=(－x)2－2(－x)=x2+2x∴f(x)=－f(－x)=－（x2+2x）xxxxy2222故00xx1)1(1)1(22xx00xx例6、已知f(x)是偶函数，而且在(－∞,0)上是增函数，问f(x)在(0，+∞)上是增函数还是减函数？解：设0＜x1＜x2＜+∞在所证区间上取值则－∞＜－x2＜－x1＜0∵f(x)在(－∞,0)上是增函数∴f(－x2)＜f(－x1)∵f(x)是偶函数∴f(x2)＜f(x1)故f(x)在(0，+∞)上是减函数1.已知f(x)是奇函数，而且在(－∞,0)上是增函数，问f(x)在(0，+∞)上是增函数还是减函数？2、作出下列函数的图象：1）y=|2x|2）y=x2+2|x|3、已知f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)=x2－2x+1，求当x＜0时，f(x)的解析式，并画出此函数f(x)的图象。