三角函数的图像和性质

基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题第5课时三角函数的图像和性质基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题1．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图像，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性．基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题【知识梳理】1．周期函数一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零实数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数y＝f(x)叫作周期函数，不为零的实数T叫作这个函数的周期．对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的．最小正周期f(x＋T)＝f(x)最小正基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图像定义域RRxx≠π2＋kπ，k∈Z值域[－1,1][－1,1]R基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题单调性2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上递增，2kπ＋π2，2kπ＋3π2k∈Z上递减[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增，[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上递增最值当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝2kπ－π2(k∈Z)时，ymin＝－1当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝(k∈Z)时，ymin＝－1无最值2kπ＋π基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题奇偶性对称中心(kπ，0)，k∈Z对称中心kπ＋π2，0，k∈Z对称中心kπ2，0k∈Z对称性对称轴lx＝kπ＋π2，k∈Z对称轴lx＝kπ，k∈Z无对称轴周期2π2ππ奇函数奇函数偶函数基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题【基础自测】1．函数y＝tanπ4－x的定义域为()A.xx≠kπ－π4，k∈ZB.xx≠2kπ－π4，k∈ZC.xx≠kπ＋π4，k∈ZD.xx≠2kπ＋π4，k∈Z解析：由π4－x≠kπ＋π2，k∈Z可知x≠－kπ－π4，又k∈Z，故选A.答案：A基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题2．下列函数中，在π2，π上是增加的是()A．y＝sinxB．y＝cosxC．y＝sin2xD．y＝cos2x解析：y＝sinx和y＝cosx在π2，π上是减少的，y＝sin2x在π2，π上不单调，y＝cos2x在π2，π上是增加的．答案：D基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题3．函数f(x)＝sinx－cosx的最大值为()A．1B.2C.3D．2解析：因为f(x)＝2sinx－π4≤2，故选B.答案：B基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题4．(教材改编题)y＝1＋cosx，x∈[0,2π]的图像与y＝0的交点的个数为________．解析：画出y＝1＋cosx，x∈[0,2π]的图像可知．答案：1基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题5．函数y＝3sinx－1的最大值为________，取得最大值时对应的自变量x的集合为________．解析：当sinx＝1，即x＝2kπ＋π2，k∈Z时，ymax＝2.答案：2xx＝2kπ＋π2，k∈Z基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题◆一个性质如果函数y＝f(x)的周期为T，那么函数y＝f(ωx)的周期为T|ω|.◆两点防范(1)求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑．注意区分下列两题的单调增区间不同：①y＝sin2x－π4；②y＝sinπ4－2x.(2)利用换元法求三角函数最值时，注意三角函数的有界性，注意新元的范围．基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题考向一三角函数的定义域与值域(1)(2013·珠海模拟)函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx的定义域为________．(2)(2013·西安模拟)当x∈π6，7π6时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值是________，最大值是________．【审题视点】(1)由2sinx－10且1－2cosx≥0求解；(2)利用同角三角函数基本关系式转化成sinx的二次函数求解．基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题【解析】(1)要使函数有意义，必须有2sinx－10，1－2cosx≥0，即sinx12，cosx≤12.解得π6＋2kπx56π＋2kπ，π3＋2kπ≤x≤53π＋2kπ(k∈Z)，∴π3＋2kπ≤x5π6＋2kπ(k∈Z)．故所求函数的定义域为π3＋2kπ，5π6＋2kπ(k∈Z)．基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题(2)因为x∈π6，7π6，所以－12≤sinx≤1，y＝3－sinx－2cos2x＝2sin2x－sinx＋1＝2sinx－142＋78，所以当sinx＝14时，ymin＝78；当sinx＝1或－12时，ymax＝2.【答案】(1)π3＋2kπ，5π6＋2kπ(k∈Z)(2)782基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题【方法总结】(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题1．(1)函数y＝2sinx－1的定义域为________．(2)函数y＝f(cosx)的定义域为2kπ－π6，2kπ＋2π3(k∈Z)，则函数y＝f(x)的定义域为________．解析：(1)由2sinx－1≥0得sinx≥12，又sinx≤1，∴12≤sinx≤1，∴2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6(k∈Z)．基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题(2)由2kπ－π6≤x≤2kπ＋2π3，得－12≤cosx≤1，所以函数y＝f(x)的定义域为－12，1.答案：(1)2kπ＋π6，2kπ＋5π6(k∈Z)(2)－12，1基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题考向二三角函数的奇偶性与周期性(2012·高考北京卷)已知函数f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．【审题视点】化f(x)为Af(ωx＋φ)＋b的形式后求解．基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题【解】(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－π4－1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题(2)函数y＝sinx的单调递增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)．由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，x≠kπ(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为kπ－π8，kπ和kπ，kπ＋3π8(k∈Z)．基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题【方法总结】(1)判断函数的奇偶性，首先要看函数的定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，进而确定其奇偶性．(2)求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.③利用图像．基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题2．已知函数f(x)＝sinπx－π2－1，则下列说法正确的是()A．f(x)是周期为1的奇函数B．f(x)是周期为2的偶函数C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数解析：T＝2ππ＝2，且f(x)＝sinπx－π2－1＝－cosπx－1，∴f(x)为偶函数．答案：B基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题考向三三角函数的单调性求下列函数的单调区间：(1)y＝12sinπ4－2x3；(2)y＝－sinx＋π4.【审题视点】(1)要将原函数化为y＝－12sin23x－π4再求之．(2)可画出y＝－sinx＋π4的图像，利用图像求解．基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题【解】(1)y＝12sinπ4－2x3＝－12sin2x3－π4.故由2kπ－π2≤2x3－π4≤2kπ＋π2⇒3kπ－3π8≤x≤3kπ＋9π8(k∈Z)为单调递减区间；由2kπ＋π2≤2x3－π4≤2kπ＋3π2⇒3kπ＋9π8≤x≤3kπ＋21π8(k∈Z)为单调递增区间．∴单调递减区间为3kπ－3π8，3kπ＋9π8(k∈Z)，单调递增区间为3kπ＋9π8，3kπ＋21π8(k∈Z)．基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题(2)y＝－sinx＋π4的图像如图，单调递增区间为kπ＋π4，kπ＋3π4(k∈Z)，单调递减区间为kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)．【方法总结】求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数．基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题3．求下列函数的单调递增区间：(1)y＝cos2x＋π6；(2)y＝3sinπ3－x2.解：(1)设u＝2x＋π6，则y＝cosu当2kπ－π≤u≤2kπ(k∈Z)时，y＝cosu随u的增大而增大．又∵u＝2x＋π6随x的增大而增大(x∈R)，∴当2kπ－π≤2x＋π6≤2kπ(k∈Z)，即kπ－712π≤x≤kπ－π12(k∈Z)时，基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题y随x的增大而增大，∴y＝cos2x＋π6的单调递增区间为：kπ－712π，kπ－π12(k∈Z)．(2)设u＝π3－x2，则y＝3sinu，当2kπ＋π2≤u≤2kπ＋3π2(k∈Z)时，y＝3sinu随u的增大而减小，基础知识梳理聚焦考向透析课时规范训练感悟经典考题又∵u＝π3－x2随x的增大而减小(x∈R)，∴当2kπ＋π2≤π3－x2≤2kπ＋3π2(k∈Z)，即－4kπ－7π3≤x≤－4kπ－π3(k∈Z)时，y随x的增大而增大