高等代数线性方程组

线性方程组第三章线性方程组线性方程组主要内容：消元法n维向量空间线性相关性矩阵的秩线性方程组有解的判断定理线性方程组有解的结构线性方程组§1消元法§1消元法考虑一般的线性方程组snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111当s=n时，若D≠0，则方程组有唯一解，并可由Cramer法则求解。当s=n时，若D=0，利用Cramer法则无法判断方程组是否有解。当s≠n时，没有求解线性方程组的有效方法。线性方程组§1消元法●线性方程组的矩阵表示法snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111bAx其中snssnnaaaaaaaaaA212222111211nxxxx21sbbbb21系数矩阵未知向量右端向量线性方程组§1消元法用一个非零的数乘以某一个方程；●线性方程组的初等变换把某一个方程的倍数加到另一个方程；互换两个方程的位置；用一个非零的数乘以矩阵的某一行；●矩阵的初等行变换把矩阵某一行的倍数加到矩阵的另一行；交换矩阵中某两行的位置；方程组的初等变换相当于对系数矩阵做相应的初等行变换。方程组的初等变换是否会改变线性方程组的解？定理：方程组的初等变换将一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。线性方程组§1消元法●增广矩阵由线性方程组的系数和右端常数组成的矩阵ssnssnnbaaabaaabaaa21222221111211称为该线性方程组的增广矩阵。AbA线性方程组与增广矩阵是一一对应的定理：对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换化为，则以为增广矩阵的线性方程组与原线性方程组同解。ABB一个线性方程组的增广矩阵可通过初等行变换化为怎样的简单形式？线性方程组§1消元法定理：任何一个s×n阶矩阵A，都可通过一系列初等行变换化为一个阶梯形矩阵。定理：线性方程组与以下形式的阶梯形线性方程组同解。)0(000001222222111212111iirrnrnrrrnnrrnnrrcddxcxcdxcxcxcdxcxcxcxc线性方程组§1消元法当时，该线性方程组无解。01rd当时，该方程组有解，并分两种情况：01rd(i)若r=n，则阶梯形方程组为)0(2222211212111iinnnnnnnncdxcdxcxcdxcxcxc方程组有唯一解。线性方程组§1消元法(ii)若rn，则阶梯形方程组为)0(11,2211,222221111,11212111iirnrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrcdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxcxcxc可改写为)0(11,211,222222111,111212111iinrnrrrrrrrnnrrrrnnrrrrcxcxcdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxc方程组有无穷多解。自由未知量线性方程组例题：例1、解线性方程组例2、解线性方程组1424524132321321321xxxxxxxxx§1消元法05631242725432143214321xxxxxxxxxxxx线性方程组§1消元法000221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理：在齐次线性方程组中，如果sn，那它必有非零解。例3、解齐次线性方程组05630242025432143214321xxxxxxxxxxxx线性方程组§2n维向量空间§2n维向量空间●n维向量定义：数域P中n个数组成的有序数组称为数域P上的n维向量，其中ai称为该向量的第i个分量。),,,(21naaa●向量相等如果两个n维向量),,,(),,,,(2121nnbbbaaa的对应分量都相等，即),,2,1(,nibaii就称这两个向量相等，记作线性方程组§2n维向量空间●向量的运算加法：),,,(2211nnbababa减法：),,,(2211nnbababa数乘：Pkkakakakn),,,,(21向量加法满足以下四条运算规律交换律：)()(结合律：有零元：O零向量：O=(0，0，…，0)有负元：O)(负向量：-=(-a1，-a2，…，-an)线性方程组§2n维向量空间向量数乘满足以下两条运算规律有单位元：1结合律：)()(kllk分配律：kkk)(分配律：lklk)(向量加法与数乘共同满足以下两条运算规律由以上运算规律可推导出向量加法与数乘的以下运算性质O0)1()1()2(OOk)3(OkOk或当且仅当0)4(定义：若V是数域P中n维向量的全体，若考虑到上面定义的加法和数量乘法，则称V为数域P上的n维向量空间，记为Pn。线性方程组§3线性相关性§3线性相关性●向量组的线性关系定义：设s,,,,21是Pn中的向量，若存在数域P中的一组数skkk,,,21使得sskkk2211则称是向量组s,,,21的一个线性组合，或称向量可被向量组s,,,21线性表出。线性方程组§3线性相关性例1在R3中，)5,7,5(),2,1,1(),1,2,0(),0,1,1(321试问向量是否为向量组321,,的一个线性组合？例2在Pn中，任何一个n维向量),,,(21naaa都可由)1,,0,0(),0,,1,0(),0,,0,1(21n线性表出。向量1，2，…，n称为n维单位向量线性方程组§3线性相关性定义：如果向量组)2(,,,21ss中有一个向量可以由其余的向等价定义：Okkkss2211则称向量组s,,,21是线性相关的。量线性表出，那么称向量组s,,,21是线性相关的。定义：设)1(,,,21ss是Pn中的s个向量，若存在数域P中的一组不全组不全为零的数skkk,,,21使得试给出线性相关的几何意义？线性方程组§3线性相关性Okkkss2211则称向量组s,,,21是线性无关的。定义：设)1(,,,21ss是Pn中的s个向量，若不存在数域P中的一组不全为零的数skkk,,,21使得例3判断向量组)9,7,1(),0,1,2(),3,2,1(321是否线性相关。例4设向量可由向量组s,,,21线性表出，则表示法唯一的充要条件是s,,,21线性无关。线性方程组§3线性相关性判断向量组),,,(,),,,,(),,,,(21222122121111snnnnssaaaaaaaaa是否线性相关的方法：(1)设Okkknn2211(2)将其按分量写出000221122221211212111nsnssnnnnkakakakakakakakaka(3)若该奇次方程组有非零解，则原向量组线性相关，反之则线性无关。线性方程组§3线性相关性●线性关系的性质性质1向量组s,,,21中的每一个向量都可由这组向量线性表出。线性表出。性质2如果向量可由向量组s,,,21线性表出，而它的每一个向量i又可由向量组t,,,21线性表出，则可由向量组t,,,21性质3如果向量组s,,,21线性无关，则它的任一部分组也线性无关。性质4如果向量组s,,,21的某个部分组线性相关，则原向量组也线性相关。整体无关，则部分无关；部分相关，则整体相关性质5如果向量组s,,,21线性无关，而向量组,,,,21s线性相关，则可由向量组s,,,21线性表出。线性方程组§3线性相关性性质6如果向量组),,,(),,,(),,,(21222212112111stsssttaaaaaaaaa线性无关，则其同位延长向量组),,,,,(),,,,,(),,,,,(2122222121112111snstsssntntaaaaaaaaaaaa也是线性无关的。线性方程组§3线性相关性●向量组的等价性与替换定理如果Pn中的两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组是等价的。向量组等价的性质：反身性对称性传递性表示向量组之间的等价关系线性方程组§3线性相关性替换定理：设向量组(I)t,,,21线性无关，而且每一个向量is,,,21可由向量组(II)线性表出，则（1）t≤s（2）向量组(II)中存在t个向量用向量组(I)中的向量替换后得到的新sttiiit,,,,,,,2121向量组(III)与向量组(II)等价。推论1：两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量。推论2：设向量组t,,,21可由向量组s,,,21线性表出，而且ts,则向量组t,,,21必定线性相关。若个数多的向量组能由个数少的向量组线性表出，则个数多的向量组必定线性相关。推论3：n+1个n维向量必定线性相关。线性方程组§3线性相关性●极大线性无关组定义：如果向量组s,,,21的一个部分组riii,,,21是线性无关的，而且向量组s,,,21中的任一向量都可由它线性表出，则称riii,,,21是向量组s,,,21的一个极大线性无关组。例5求向量组)3,2,1,2(),4,5,2,4(),1,3,1,2(321的一个极大线性无关组。向量组的极大线性无关组不是唯一的定理一个向量组的任何极大线性无关组都含有相同个数的向量。线性方程组§3线性相关性定义一个向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩(rank)。例7求下面向量组的秩)3,6,2,0(),1,3,0,1(),3,1,1,2(),0,1,4,1(4321例8设B是矩阵A经过初等行变换得到的矩阵，则矩阵A、B的列向量具有完全相同的线性关系。例9一个向量组中的任何一个线性无关组，都可以扩充为该向量组的一个极大线性无关组。确定极大线性无关组的初等变换方法线性方程组§4矩阵的秩§4矩阵的秩定义矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩；列秩就是矩阵的列向量组的秩。例1求矩阵2100420023202121A的行秩和列秩。是否任意矩阵的行秩和列秩都相同？线性方程组§4矩阵的秩引理如果齐次线性方程组snssnnaaaaaaaaaA212222111211的系数矩阵000221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa的行秩rn，那么该齐次线性方程组有非零解。线性方程组§4矩阵的秩定理矩阵的行秩与列秩相等。定义矩阵的行秩与列秩统称为矩