常见数列通项公式的求法(超好)

1常见数列通项公式的求法1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。例1．等差数列na是递增数列，前n项和为nS，且931,,aaa成等比数列，255aS．求数列na的通项公式.nan53=2.公式法：已知nS（即12()naaafn）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn。例2：已知数列}{na的前n项和sn，12nsn求}{na的通项公式。解：（1）当n=1时，011sa，当2n时12]1)1[()1(221nnnssannn由于1a不适合于此等式。∴)2(12)1(0nnnan练习：数列{an}满足an=5Sn－3，求an。答案：an=34（－14）n-13.累加法：若1()nnaafn求na：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a(2)n。例3：（1）数列{an}满足a1=1且an=an－1+3n－2（n≥2），求an。（2）数列{an}满足a1=1且an=an－1+12n（n≥2），求an。解：（1）由an=an－1+3n－2知an－an－1=3n－2，记f（n）=3n－2=an－an－1则an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1=f（n）+f（n－1）+f（n－2）+…f（2）+a1=（3n－2）+[3（n－1）－2]+[3（n－2）－2]+…+（3×2－2）+1=3[n+（n－1）+（n－2）+…+2]－2（n－1）+1=3×（n+2）（n－1）2－2n+3=3n2－n2（2）由an=an－1+12n知an－an－1=12n，记f（n）=12n=an－an－1则an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1=f（n）+f（n－1）+f（n－2）+…f（2）+a1=12n+12n－1+12n－2+…+122+1=12－12n练习：已知数列na满足211a，nnaann211，求na。答案：nan1-23=4.累乘法：已知1()nnafna求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n。例4：在数列｛na｝中，1a=1,(n+1)·1na=n·na，求na的表达式。解：由(n+1)·1na=n·na得11nnaann，1aan=12aa·23aa·34aa…1nnaa=nnn11433221所以nan12练习：已知数列na中，311a，前n项和nS与na的关系是nnannS)12(，试求通项公式na。答案：.)1-2(12(1nnan+=5.已知递推关系求na，用构造法（构造等差、等比数列）。（1）形如1nnakab、1nnnakab（,kb为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求na。①1nnakab解法：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例5.已知数列na中，11a，321nnaa，求na.解：设递推公式321nnaa可以转化为)(21tatann即321ttaann.故递推公式为)3(231nnaa,令3nnab，则4311ab,且23311nnnnaabb所以nb是以41b为首项，2为公比的等比数列，则11224nnnb,所以321nna.②1nnnakab解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再应用1nnakab的方法解决.。例6.已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。解：在11)21(31nnnaa两边乘以12n得：1)2(32211nnnnaa令nnnab2，则1321nnbb,应用例7解法得：nnb)32(23所以nnnnnba)31(2)21(32练一练①已知111,32nnaaa，求na；②已知111,32nnnaaa，求na；（2）形如11nnnaakab的递推数列都可以用倒数法求通项。例7：1,13111aaaannn解：取倒数：11113131nnnnaaaana1是等差数列，3)1(111naan3)1(1n231nan练习：已知数列｛na｝中11a且11nnnaaa（Nn），，求数列的通项公式。3常见数列求和公式及应用1、公式求和法⑴等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11⑵等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn另外，还有必要熟练掌握一些常见的数列的前n项和公式.正整数和公式有：1(1)2nknnk；21(1)(21)6nknnnk；321(1)[]2nknnk例1：已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得nnxxxxS32＝xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n212、倒序相加法则例2：已知，则解：∵由式变式训练：如已知函数f(x)对任意x∈R都有21)1()(xfxf，)1()0(nffSn)3()2(nfnf+…)1()2(nnfnnf)1(f，（*Nn），求nS3、裂项相消法一些常见的裂项方法：12112121)12)(12(1nnnn；1111()()nnkknnk；；例3：求数列,11,,321,211nn的前n项和.121121nnnnnnSaaaaSaaaa…………12112nnnnSaaaaaa……22()1xfxx111(1)(2)(3)(4)234fffffff2222222111()111111xxxfxfxxxxx11111(1)(2)(3)(4)111323422fffffffnnnn1114解：设nnnnan111则11321211nnSn＝)1()23()12(nn＝11n练习：已知11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.4、错位相减法设数列na的等比数列，数列nb是等差数列，则数列nnba的前n项和nS求解，均可用错位相减法。例4：求例5：设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab（Ⅰ）求{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nnab的前n项和nS．解：（Ⅰ）设na的公差为d，nb的公比为q，则依题意有0q且4212211413dqdq，，解得2d，2q．所以1(1)21nandn，112nnnbq．（Ⅱ）1212nnnanb．122135232112222nnnnnS，①3252321223222nnnnnS，②②－①得22122221222222nnnnS221111212212222nnn1111212221212nnn12362nn．练习：3.求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列nc的公比q；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.5、分组求和法例6、已知数列na的通项公式为,132nann求数列na的前n项和.13252222121naaaSnnn=.135222221nn=213221212nnn=.22123221nnn练习：求和：2536+47++(+3)nn……2311234nnSxxxnx……