随机粗糙面建模

1第一章随机粗糙面建模1.1随机粗糙面相关基本知识实际的自然背景，如地面、海面、雪地和沙漠以及各类人造表面等，均可以看成是二维随机粗糙面模型。对于一个给定的二维随机粗糙面，对光波来说可能呈现很粗糙，而对微波来说却可能呈现的很光滑，这主要是因为随机粗糙面的粗糙度是以波长为度量单位的统计参数来表征的。描述随机粗糙面的统计量除功率谱密度外，还有高度起伏的概率密度函数和均方根高度，相关函数和相关长度，结构函数，特征函数，均方斜度与曲率半径等。而在各种实际随机粗糙面模型中，有一类二维粗糙表面模型只沿着正交坐标系中的一个方向发生变化，而在另一个方向几乎不发生变化。为了便于研究，国内外的学者将这类实际粗糙表面简化成一维粗糙表面模型[1-3]。尽管一维粗糙表面是最简单的粗糙表面模型，但是研究一维粗糙表面模型的电磁散射特性仍然具有重要的实际意义和广泛的应用价值。本节通过介绍一维随机粗糙面的各个相关统计概念来对随机粗糙面的特性进行详细说明。1.高度起伏概率密度函数以一维情况为例，设随机粗糙面的高度起伏为)(xfz，如图1.1所示。它的概率密度函数反映了高度起伏的分布情况，用)(fp表示，则dffp)(为相对于平均平面高度为dzzz的概率。获得了高度分布的概率密度函数)(fp，就可以求出粗糙面的其它一些统计参量，如高度起伏的均值、高度起伏的均方根等。0100200300400500-3-2-1012z/x/图1.1一维粗糙面示意图高度起伏的均值定义为dfffpxfEfs)()]([(1.1)sE][表示沿整个粗糙面求平均，通常我们都选取适当的参考面(一般取0z平面)，使得相对于此参考面的高度)(xf的均值为零，这会给计算带来很大的方便。2.高度起伏均方根粗糙面的高度起伏均方根是反映粗糙面粗糙程度的一个基本量，它的最原始定义为2222])([)(})]([{)]([dfffpdffpfxfExfEss(1.2)通常可以通过数值计算得到：以适当间隔对粗糙面进行离散，设采样点数为N，取样间隔为x，根据经验，x一般选择为1.0x(为入射波波长)，然后对离散值)(ixf进行数值计算，计算公式为2211[()()]1NiifNfN(1.3)23.相关函数对于特定分布的粗糙表面，单一的均方根并不能唯一描述粗糙面的特性，相关函数表明随机表面上任意两点间的关联程度，定义自相关函数为)]()([)(RxfxfERG(1.4)上式中当0R，2)0(G。进一步定义归一化自相关函数，即相关系数为22)]()([)()(RxfxfERGR(1.5)这里，2是表面的高度起伏均方差。一般随机粗糙面上的两点距离R增大，自相关函数减小。相关函数的形状取决于表面的类型，减小的快慢取决于表面两点不相关的距离。高斯分布的相关函数)/exp()(222lRRG(1.6)其中l为相关长度。12Rxx。指数分布相关函数可以定义为)/exp()(2lRRG(1.7)相关系数)(R在0R时具有最大值1，随着R的增大，)(R逐渐减小，当R时，0)(R。我们把)(R降至e/1时的R值称为表面相关长度，记为l，即el/1)(。表面相关长度是描述随机粗糙面各统计参量中的一个最基本量，它提供了估计表面上两点相互独立的一种基准，即如果表面上两点在水平距离上相隔距离大于l，那么该两点的高度值从统计意义上说是近似独立的。在极限情况下，即当表面为光滑表面(镜面)时，面上每一点与其它各点都是相关的，相关系数1)(R，相关长度l。4.功率谱密度将非归一化的)(RG相关函数进行Fourier变换，就可以得到高度起伏的功率谱密度)(kS，即dRikRRGkS)exp()(21)((1.8)同样，相关函数也可以表示为)(kS的逆Fourier变换dkikRkSRG)exp()()((1.9)高斯分布随机粗糙面的功率谱密度为)4/exp(2)(222lklkS(1.10)指数分布的随机粗糙面的功率谱密度为222()(1)lSkkl(1.11)5.结构函数对于具有分形特征的随机粗糙面，例如分数布朗运动(fractalBrownmotion,fBm)随机粗糙面和Weierstrass[4]分形函数所描述的随机粗糙面，其高度起伏的导数不连续，方差发散。而结构函数是一个平稳随机过程，因此研究其特性常选用结构函数，结构函数定义为表面上两点高度差的均值，即])]()([[)(2RxfxfERD(1.12)它与相关函数实际是等效的，对于平稳随机过程，结构函数与相关函数的关系为)](1[2)(2RGRD(1.13)采用结构函数的一个优点是它与测量表面高度所选取的参考面无关，从而给计算带来了3方便。6.特征函数特征函数定义为粗糙面高度起伏的概率密度函数的Fourier变换。这样一维特征函数的定义式是1()()exp()2spfisfdf(1.14)它提供了粗糙表面对波的相位调制的测度，同样包含了高度起伏概率密度的信息。7.均方根斜率均方根斜率定义为表面上每一点的斜率的均方根值，即])[(2dxdfEs(1.15)它与谱函数之间的关系为2/122/12])([]}[{dkkSkSEs(1.16)1.2随机粗糙面建模的蒙特卡洛方法研究随机背景的电磁散射特性，首先必须对粗糙表面进行建模。通过上一节的简单介绍，我们了解了随机粗糙面功率谱的概念，利用功率谱密度，随机粗糙面可以采用蒙特卡洛(MonteCarlo)方法[5]来模拟生成，蒙特卡洛方法又称线性滤波法。其基本思想是在频域用功率谱对其进行滤波，再做逆快速傅里叶变换(InverseFastFourierTransform,IFFT)得到粗糙面的高度起伏。1.2.1一维粗糙面由于粗糙表面被认为是由大量的谐波叠加而成，谐波的振幅是独立的高斯随机变量，其方差正比于特定波数的功率谱)(jkS。按照这种思路，可以由下列函数生成长度为L的一维粗糙表面样本[5]，即njxikNNjjnekFLxf2/12/)(1)((1.17)其中)2/,,12/(NNnxnxn表示粗糙表面上第n个采样点，)(jkF与)(nxf称为Fourier变换对，定义为[(0,1)(0,1)]/21,,12()()(0,1)0,/22jjNiNjNFkSkNjNk(1.18)其中定义离散波数jk的表达式为Ljkj/2，k定义为谱域相邻的谐波样本的空间波数差，)(jkS为粗糙表面的功率谱密度。)1,0(N表示均值为0，方差为1的正态分布的随机数。当0j时，)(jkF满足共轭对称关系)()(jjkFkF。这样可以保证进行Fourier逆变换后所得到的粗糙表面的轮廓)(nxf是实数。此外，在利用Fourier逆变换实现粗糙表面时，表面总长度L至少应当有5个相关长度，这样可以减少谱的重叠。由于合成过程的表面长度是有限的，表面自相关函数并不完全衰减到零，因此会有某种振荡存在。因此，为了反变换重新得到功率谱，需要对实数序列进行加窗处理，以避免边缘效应和谱的重叠问题。利用(1.10)式与(1.17)和(1.18)式，就可以模拟一维高斯随机粗糙面。图1.2(a)与1.2(b)给出了不同均方根高度、相关长度的一维高斯粗糙面样本数值模拟图形。高斯粗糙面是一种最为典型的粗糙面，从模拟图形可以看出，均方根高度和相关长度是4粗糙面模拟中最基本而且极其重要的两个参数，它们的变化对粗糙面的起伏高度、起伏频繁程度都有很大的影响。从图1.2(a)和1.2(b)可以看出，当相关长度相同时，均方根高度越大，粗糙面的起伏程度就越大；而均方根高度固定时，相关长度越小，粗糙面变换就越剧烈，即变化的周期就越小。可见，均方根高度决定着粗糙面的“纵向”变化特性，相关长度决定着粗糙面的“横向”变化特性。同样利用(1.11)、(1.17)和(1.18)式，就可以模拟一维指数随机粗糙面，图1.3(a)与1.3(b)给出了不同均方根高度、相关长度的一维指数粗糙面样本数值模拟图形。可以看出，指数粗糙面与高斯粗糙面起伏随均方根高度和相关长度的变化有着相同的特点。-40-2002040-1.0-0.50.00.51.0=0.05=0.2f(x)/x/l=1.0L=102.4(a)-40-2002040-1.0-0.50.00.51.0l=0.5l=1.5f(x)/x/=0.1L=102.4(b)图1.2一维高斯随机粗糙面模型-40-2002040-2-1012L=102.4=0.05=0.2f(x)/x/l=1.0(a)-40-2002040-1.0-0.50.00.51.0L=102.4l=0.5l=1.5f(x)/x/=0.1(b)图1.3一维指数随机粗糙面模型1.2.2二维粗糙面与一维随机粗糙面的蒙特卡洛方法建模类似，假设要产生的二维随机粗糙面在x和y方向的长度分别为xL和yL，等间隔离散点数为M和N，相邻两点间的距离分别为x和y，有xMLx，yNLy，则粗糙面上每一点(,),(/21,,mnxmxynymM)2/,,12/;2/NNnM处的高度可表示为[6]2/12/2/12/)](exp[),(1),(MMmnnNNnmmnmyxnmkkkkkkykxkikkFLLyxf(1.19)式中2/,0or,2/,0)1,0(2/,0and,2/,02)1,0()1,0(),(2),(2/1NnMmNNnMmiNNkkSLLkkFkkkknmyxnmkkkk5(1.20)同样),(yxkkS为二维随机粗糙面的功率谱密度，其中xkmLmkk/2，yknLnkk/2。与一维粗糙面的蒙特卡洛方法建模一样，为了使),(nmyxf为实数，其Fourier系数的相位必须满足条件：),(),(*kkkknmnmkkFkkF，),(),(*kkkknmnmkkFkkF。在具体计算(1.20)式通常是利用二维IFFT来实现的。二维高斯粗糙面[6]对应的功率谱为)4exp(4),(22222yyxxyxyxlklkllkkS(1.21)图1.4(a)－图1.4(c)给出了均方根高度分别为0.05,0.1,0.2的二维高斯粗糙面模型。其中，相关长度0.1yxll，x方向和y方向长度0.8yxLL，每个波长采样8个点的。可以发现，在相关长度相同的前提下，均方根高度越大，粗糙面的高度起伏变化就越大，粗糙面的轮廓所能达到的峰值和谷值就越大，这与前面一维高斯粗糙面的高度起伏变化特点是相同的。图1.5(a)－图1.5(c)给出了相关长度yxll分别为5.0、0.1和5.1的二维高斯粗糙面模型。其中，均方根高度1.0，x方向和y方向长度0.8yxLL，每个波长采样8个点。可以发现，在均方根高度相同的条件下，相关长度代表了粗糙面的变化周期，相关长度越小，粗糙面就变化越频繁，峰值与峰值之间的距离越小，这一结论仍然与一维粗糙面相同。图1.4(a)05.0,0.1yxll二维高斯粗糙面图1.4(b)1.0,0.1yxll二维高斯粗糙面图1.4(c)2.0,0.1yxll二维高斯粗糙面6图1.5(a)1.0,5.0yxll二维高斯粗糙面图1.5(b)1.0,0.1yxll二维高斯粗糙面图1.5(c)1.0,5.1yxll二维高斯粗糙面1.3实际动态粗糙海面及其建模海洋面积占全球面积的四分之三左右，为了充分利用这个丰富的天然资源，人们需要对海洋进行遥感。在国防建设方面，人们需要利用星载和机载雷达等在海洋背景下检测和识别目标。这些都需要对海洋