人教版九年级数学上册知识点总结：第二十四章圆

人教版九年级数学上册知识点总结第二十四章圆24.1.1圆知识点一圆的定义圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。知识点二圆的相关概念（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（3）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。（4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。24.1.2垂直于弦的直径知识点一圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知识点二垂径定理（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为MD，AB是弦，且CD⊥AB，垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如上图所示，直径MD与非直径弦AB相交于点C，CD⊥ABAC=BCAM=BMAD=BD注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。24.1.3弧、弦、圆心角知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。CMABDoAC=BCAM=BM⌒⌒⌒⌒⌒垂足为C⌒（3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。24.1.4圆周角知识点一圆周角定理（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。（2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。（3）圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。知识点二圆内接四边形及其性质圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。圆内接四边形的性质：(1)圆内接四边形的对角互补。(2)四个内角的和是360°(3)圆内接四边形的外角等于其内对角24.2点、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系知识点一点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。（2）用数量关系表示：若设⊙O的半径是r，点P到圆的距离OP=d，则有：点P在圆外d＞r；点p在圆上d=r；点p在圆内d＜r。知识点二（1）经过在同一条直线上的三个点不能作圆（2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。知识点三三角形的外接圆与外心（1）经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。（2）外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。知识点四反证法（1）反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。（2）反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论；③由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。24.2.2直线和圆的位置关系知识点一直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。（2）直线与圆的位置关系可以用数量关系表示若设⊙O的半径是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：直线l和⊙O相交d＜r；直线l和⊙O相切d=r；直线l和⊙O相离d＞r。知识点二切线的判定和性质（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。（3）切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。知识点三切线长定理（1）切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（3）注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。知识点四三角形的内切圆和内心(1)三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。(2)三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。(3)注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。(4)直角三角形内切圆半径的求解方法：①直角三角形直角边为a.b，斜边为c，直角三角形内切圆半径为r.a-r+b-r=c,得2cbar。②根据三角形面积的表示方法：21ab=rcba)(21,cbaabr.24.3正多边形和圆知识点一正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。知识点二正多边形的性质（1）各边相等，各角相等；（2）都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，每一条对称轴都经过n边形的中心。（3）正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。（4）所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称图形，正n边形的中心就是对称中心。（5）正n边形的每一个内角等于nn180)2(，中心角和外角相等，等于n360。24.4弧长和扇形面积知识点一弧长公式L=180Rn在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2πR，所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式L=360n×2πR=180Rn。知识点二扇形面积公式在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=πR2，所以圆心角为n°的扇形的面积为S扇形=3602Rn。比较扇形的弧长公式和面积公式发现：S扇形=lRlRRRnRns21,21211803602扇形所以知识点三圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积122rlrls圆锥侧。圆锥的全面积为2rrlsss底圆锥侧圆锥全。中考回顾1.(2017甘肃天水中考)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4,则S阴影=(B)A.2πB.πC.πD.π2\(2017四川中考)如图,AB是☉O的直径,且AB经过弦CD的中点H,已知cos∠CDB=,BD=5,则OH的长度为(D)A.B.C.1D.3.(2017甘肃兰州中考)如图,在☉O中,,点D在☉O上,∠CDB=25°,则∠AOB=(B)A.45°B.50°C.55°D.60°4.(2017山东青岛中考)如图,AB是☉O的直径,点C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,则∠BCD的度数为(B)A.100°B.110°C.115°D.120°5.(2017湖北黄冈中考)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC的度数为(B)A.30°B.35°C.45°D.70°6.(2017福建中考)如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定与∠ACD互余的角是(D)A.∠ADCB.∠ABDC.∠BACD.∠BAD7.(2017贵州黔东南州中考)如图,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=15°,半径为2,则弦CD的长为(A)A.2B.-1C.D.4模拟预测1.如图,点A,B,C在☉O上,∠ABO=32°,∠ACO=38°,则∠BOC等于(B)A.60°B.70°C.120°D.140°解析:如图,过点A作☉O的直径,交☉O于点D.在△OAB中,∵OA=OB,∴∠BOD=∠OBA+∠OAB=2×32°=64°.同理可得,∠COD=∠OCA+∠OAC=2×38°=76°,∴∠BOC=∠BOD+∠COD=140°.故选D.2.如图,AB是☉O的弦,半径OA=2,∠AOB=120°,则弦AB的长是(B)A.2B.2C.D.33.如图,四边形ABCD内接于☉O,F是上一点,且,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC.若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为(B)A.45°B.50°C.55°D.60°4.如图,☉O是△ABC的外接圆,∠B=60°,☉O的半径为4,则AC的长等于(A)A.4B.6C.2D.85.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=∠BOD,则☉O的半径为(B.)A.4B.5C.4D.3∵∠BAC=∠BOD,∴,∴AB⊥CD.∵AE=CD=8,∴DE=CD=4.设OD=r,则OE=AE-r=8-r.在Rt△ODE中,OD=r,DE=4,OE=8-r.∵OD2=DE2+OE2,∴r2=42+(8-r)2,解得r=5.6.若☉O的半径为1,弦AB=,弦AC=,则∠BAC的度数为15°或75°.7.如图,△ABC是☉O的内接三角形,点D是的中点,已知∠AOB=98°,∠COB=120°.则∠ABD的度数是101°.8.如图,将三角板的直角顶点放在☉O的圆心上,两条直角边分别交☉O于A,B两点,点P在优弧AB上,且与点A,B不重合,连接PA,PB.则∠APB为45°.9.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,☉P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),☉P的半径为,则点P的坐标为(3,2).10.如图,已知AB是☉O的直径,AC是弦,过点O作OD⊥AC于点D,连接BC.(1)求证:OD=BC;(2)若∠BAC=40°,求的度数.(1)证明:(证法一)∵AB是☉O的直径,∴OA=OB.又OD⊥AC,∴∠ODA=∠BCA=90°.∴OD∥BC.∴AD=CD.∴OD=BC.(证法二)∵AB是☉O的直径,∴∠C=90°,OA=AB.∵OD⊥AC,即∠ADO=90°,∴∠C=∠ADO.又∠A=∠A,∴△ADO∽△ACB.∴.∴OD=BC.(2)解:(解法一)∵AB是☉O的直径,∠A=40°,∴∠C=90°∴的度数为:2×(90°+40°)=260°.(解法二)∵AB是☉O的直径,∠A=40°,∴∠C=90°,∴∠B=50°.∴的度数为100°.∴的度数为260°.