北师大版九年级数学上学期期末备考压轴题专项习题：图形的相似(含答案)

期末备考压轴题专项习题：图形的相似1．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，点E为BC的中点，DE⊥CE．（1）求证：△AED∽△BCE；（2）若AD＝3，BC＝12，求线段DC的长．（1）证明：∵EC⊥DE，∴∠DEC＝90°，∵∠DAB＝∠CBA＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∠AED+∠CEB＝90°，∴∠ADE＝∠CEB，∴△AED∽△BCE．（2）∵△AED∽△BCE，∴＝，∵AE＝EB，∴AE2＝AD•BC＝36，∴AE＝EB＝6，∴DE2＝AD2+AE2＝32+62＝45，EC2＝BE2+BC2＝62+122＝180，∴CD＝＝＝15．2．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB．（1）证明：△ADC∽△ACB；（2）若AD＝2，BD＝6，求边AC的长．（1）证明：∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ADC∽△ACB．（2）解：∵△ADC∽△ACB，∴＝，∴AC2＝AD•AB＝2×8＝16，∵AC＞0，∴AC＝4．3．如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，且AF＝3DF，BF与CD的延长线交点E．（1）求证：△ABF∽△CEB；（2）若△DEF的面积为1，求▱ABCD的面积．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠CAB∥CD，∴∠ABF＝∠E，∴△ABF∽△CEB；（2）在▱ABCD中，AD∥BC，∴△DEF∽△CEB，又∵△ABF∽△CEB，∴△ABF∽△DEF，∵AF＝3DF，△DEF的面积为1，∴S△ABF＝9，∵AD＝BC＝4DF，∴S△CBE＝16，∴▱ABCD的面积＝9+15＝24．4．如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，∵∠BEF＝90°，∵∠ABE+∠EBA＝∠DEF+∠EBA＝90°，∴∠ABE＝∠DEF，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF＝1，CF＝3，∵△ABE∽△DEF，∴＝，即＝，解得：DE＝2，∵AD∥BC，∴△EDF∽△GCF，∴＝，即＝，∴CG＝6，∴BG＝BC+CG＝4+6＝10．5．已知：如图，在三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE＝∠ACD，BE、CD交于点G．（1）求证：△ABE～△ACD；（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE＝CE．（1）证明：∵∠ABE＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACD；（2）证明：∵∠ABE＝∠ACD，∠BGD＝∠CGE，∴△BGD∽△CGE，∴＝，∴＝，又∵∠DGE＝∠BGC，∴△DGE∽△BGC，∴∠GBC＝∠GDE，∵BE平分∠ABC，∴∠GBC＝∠ABE，∵∠ABE＝∠ACD，∴∠GDE＝∠ACD，∴DE＝CE．6．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，＝，对角线AC与BD交于点O，AC＝10，∠ABD＝∠ACB，点E在CB延长线上，且AE＝AC．（1）求证：△AEB∽△BCO；（2）当AE∥BD时，求AO的长．解：（1）∵AE＝AC，∴∠E＝∠ACE，∵∠ABD＝∠ACB，∴∠E＝∠ABD，∴∠EAB＝180°﹣∠E﹣∠ABE，∠OBC＝180°﹣∠ABE﹣∠ABD，∴∠EAB＝∠OBC，∴△AEB∽△BCO；（2）过A作AF⊥BC于F，过O作OG⊥BC于G，∵AE∥BD，∴∠E＝∠DBC，∠EAB＝∠ABD，∵∠ABD＝∠ACB，∴∠EAB＝∠ACE，∵∠OBC＝∠EAB，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∵tan∠ABD＝tan∠ACB＝＝＝，∵AC＝10，∴AF＝6，CF＝8，∵AE＝AC，∴EC＝2CF＝16，∵∠EAB＝∠ACE，∠E＝∠E，∴△AEB∽△CEA，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴BC＝EC﹣BE＝16﹣＝，∴CE＝BC＝，∵AF⊥BC，OG⊥BC，∴OG∥AF，∴＝，∴＝，∴AO＝．7．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）当t＝4时，求点E的坐标；（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）当t＝4时，PC＝4，过点E作CB的垂线，垂足为H，如图1所示：∵A（2，0），C（0，3），∴OA＝2，OC＝3，∵四边形OABC是矩形，∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝2，∵∠BPC+∠PBC＝90°，∠PBC+∠EBH＝90°，∴∠BPC＝∠EBH，∵∠EHB＝∠BCP＝90°，∴△PBC∽△BEH，∴＝，即＝，解得：BH＝6，∴AE＝BH＝6，∴OE＝OA+AE＝2+6＝8，∴点E的坐标是（8，0）；（2）存在，理由如下：∵∠ABE+∠ABP＝90°，∠PBC+∠ABP＝90°，∴∠ABE＝∠PBC，∵∠BAE＝∠BCP＝90°，∴△BCP∽△BAE∴＝，∴＝，∴AE＝t，当点P在点O上方时，如图2所示：若＝时，△POE∽△EAB，∵OP＝3﹣t，OE＝2+t，∴＝，解得：t1＝，t2＝（舍去），∴OP＝3﹣＝，∴P的坐标为（0，），当点P在点O下方时，如图3所示：①若＝，则△OPE∽△ABE，＝，解得：t1＝3+，t2＝3﹣（舍去），OP＝t﹣3＝3+﹣3＝，P的坐标为（0，﹣），②若＝，则△OEP∽△ABE，＝，整理得：t2＝﹣9，∴这种情况不成立，综上所述，存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似，P的坐标为：（0，）或（0，﹣）．8．如图，AB＝16cm，AC＝12cm，动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移到点A为止，（点P到达点C后，点Q继续运动）（1）请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长，并写出定义域．（2）当t等于何值时，△APQ与△ABC相似？解：（1）由题意得：y1＝2t（0≤t≤6），y2＝16﹣t（0≤t≤16）；（2）当0≤t≤6时，①若QP∥BC，则有△AQP∽△ABC，∴＝，∵AB＝16cm，AC＝12cm，AP＝2tcm，AQ＝（16﹣t）cm，∴＝，解得：t＝，②∵∠A＝∠A，若∠AQP＝∠C，则有△AQP∽△ACB∴＝，∴＝，解得：t＝6.4（不符合题意，舍去）；当6≤t≤16时，点P与C重合，∵∠A＝∠A，只有当∠AQC＝∠ACB时，有△AQC∽△ACB，∴＝，∴＝，解得：t＝7，综上所述：在0≤t≤6中，当t＝时，△AQP∽△ABC，在6≤t≤16中，当t＝7时，△AQC∽△ACB．9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED．（1）求证：△AEF∽△BDF；（2）若AE＝4，BD＝8，EF+DF＝9，求DE的长．（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠AEF＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴△AEF∽△BDF．（2）解：∵△AEF∽△BDF，∴＝＝＝，∵DF+EF＝9，∴EF＝3，DF＝6，∴BF＝＝＝10，AF＝＝＝5，∴AD＝5+6＝11，∴AB＝＝＝∵＝，∴＝，∵∠AFB＝∠EFD，∴△AFB∽△EFD，∴＝，∴＝，∴DE＝．10．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，AE与BD相交于点F．（1）△ADF与△EBF相似吗？请说明理由；（2）如果E是BC的中点，那么AF与EF有怎样的数量关系？为什么？解：（1）结论：△ADF∽△EBF．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BE，∴△ADF∽△EBF．（2）结论：AF＝2EF．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BE∵BE＝EC，∴AD＝2BE，∴＝＝2，∴AF＝2EF．11．如图，在▱ABCD中，G是DC的延长线上点，AG分别交BD和BC于点E、F．若AB＝12，AE＝8，CG＝3．（1）求证：△GDA∽△ABF；（2）求EF的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠AGD＝∠FAB，∠DAG＝∠BFA，∴△GDA∽△ABF；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝12，AB∥CD，∴DG＝CD+CG＝12+3＝15，∠AGD＝∠EAB，∵∠DEG＝∠BEA，∴△DEG∽△BEA，∴＝，即：＝，解得：GE＝10，∴AG＝AE+GE＝8+10＝18，∵△GDA∽△ABF，∴＝，即：＝，解得AF＝，∴EF＝AF﹣AE＝﹣8＝．12．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE、CD交于点O，OC＝3OD，OB＝3OE．（1）如果AE＝6，求AC的长；（2）如果△ADE的面积为1，求△BDE的面积．解：（1）∵OC＝3OD，OB＝3OE，∴＝＝，∴DE∥BC，∴＝＝，△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵AE＝6，∴AC＝18．（2）∵＝＝，∴AD：DB＝1：2，∴S△BDE＝2S△ADE＝2．13．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，过A作AE⊥AD交BC的延长线于点E，M为DE的中点．（1）求证：ME2＝MC•MB；（2）如果BA2＝BD•BE，求证：（1）证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∵DM＝ME，∴AM＝MD＝ME，∴∠MAD＝∠MAD，∴∠MAC+∠DAC＝∠B+∠BAD，∵∠BAD＝∠CAD，∴∠MAC＝∠B，∵∠AMC＝∠AMB，∴△AMC∽△BMA，∴＝，∴AM2＝MC•MB，∵ME＝MA，∴ME2＝MC•MB．（2）证明：∵△MAC∽△BMA，∴＝，∴＝，∴＝，∵AB2＝BD•BE，∴＝，∵∠B＝∠B，∴△BAD∽△BEA，∴∠BAD＝∠E，∵∠AMB＝∠E+∠MAE＝2∠E，∠BAC＝2∠BAD，∴∠BAC＝∠AMB，∵∠B＝∠B，∴△BAC∽△BMA，∴＝，∴AB2＝BC•BM，∴＝＝．14．已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上的一点，点E是AC的中点，EF∥AB，EG∥BD，FG与AC交于点Q．（1）求证：△FEG∽△ACD；（2）求证：＝．（1）证明：∵点E是AC的中点，EG∥BD，EF∥AB，∴EG∥CD，EG＝CD；EF∥AB，EF＝AB∵AB＝AC∴EG＝CD，EF＝AC∴＝∵AB＝AC∴∠B＝∠ACB∵EF∥AB，EG∥CD∴∠FEC＝∠BAC，∠GEC+∠DCA＝180°∴∠FEG＝∠FEC+∠GEC＝180°﹣2∠ACB+180°﹣∠ACD＝360°﹣∠ACB﹣（∠ACB+∠ACD）＝360°﹣180°﹣∠ACB＝∠ACD∴△FEG∽△ACD；（2）证明：∵△FEG∽△ACD∴∠FGE＝∠ADC∵EG∥BD∴∠FGE＝∠QFC∴∠ADC＝∠QFC又∵∠B＝∠ACB∴△QFC∽△ADB∴＝∵AB＝AC∴＝．15．从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，当∠BCD＝40°时，CD为△ABC的完美分割线；（2）如图2，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，求完美分割线CD的长．解：（1）当∠BCD＝40°时，∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD是等腰三角形，∵∠BCD＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC∴△BCD∽△BAC，∴CD是△BAC的完美分割线；故答案为：40°；（2）∵△BCD∽△BAC，∴＝，∵AC＝AD＝