勾股定理定理第二讲题

第六讲勾股定理（二）87勾股定理（二）知识梳理一、勾股定理的逆定理1.如果三角形的三边长a、b、c满足222cba，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．二、命题1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．三、互逆命题1．概念：在两个命题中，如果第一个命的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．2．说明：（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．四、互逆定理1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．2．说明：（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．关注成长每一天88（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理．典型例题（一）勾股定理的逆定理题型一：判定三角形的形状【例1】（2006•临安市）请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，A∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），B∴c2=a2+b2，C∴△ABC为直角三角形．D问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：；（2）错误的原因是：；（3）本题正确的结论是：．【即时练习】1.△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边的分别用a、b、c来表示，且其满足关系：，试判断△ABC的形状．2.已知a，b，c为△ABC的三边，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）=﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．3.如图，正方形ABCD的边长为4，M是AB的中点，且AN=AD，问△CMN是什么三角形并加以证明．第六讲勾股定理（二）89题型二：勾股数【例2】若正整数a、b、c满足方程a2+b2=c2，则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：，，，，根据以上规律，回答以下问题：（1）商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？（2）写出各数都大于30的两组商高数；（3）用两个正整数m、n（m＞n）表示一组商高数，并证明你的结论．【即时练习】1.观察下表：列举猜想3，4，532=4+55，12，1352=12+137，24，2572=24+25…13，b，c132=b+c请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值．关注成长每一天902.（1）一位同学从勾股数“3，4，5”中发现，，由此他发现最小数是奇数的勾股数的构造方法．你发现了吗？请你写出一下几组勾股数组：5，_________，_________；7，_________，_________；9，_________，_________；（2）写出一般规律的表达方式，（用字母n表示，n为正整数）_________，_________，_________．3.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2﹣1，c=m2+1，那么a、b、c为勾股数．你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一些勾股数．题型三：求面积【例3】如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AB=12，BC=13，CD=4，AD=3，求四边形ABCD的面积．【即时练习】1.如图，已知AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12，求四边形ABCD的面积．2.如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为cm2．第六讲勾股定理（二）913.如图，已知在四边形ABCD中，E、F分别为AD、DC的中点，AD∥BC，AD：DC=1：，AB=10、BC=6、EF=4．（1）求AD的长；（2）△DEF是什么三角形？请你给出正确的判断，并加以说明；（3）求四边形ABCD的面积．题型四：勾股定理及其逆定理的综合应用【例4】（2011•牡丹江）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．练习：1．（2008•天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（）A、1个B、2个C、3个D、4个2．如图，点D是△ABC内一点，△ABD绕点B顺时针方向旋转600得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5．（1）判断△DEC的形状，并说明理由；（2）求∠ADB的度数．关注成长每一天923．如图，已知CA⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD．（1）试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并说明你的结论；（2）若AC=5，BD=12，求CE的长．（提示：连接CD）4．如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠B=90°，求∠DAB度数．5．（2007•内江）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论．第六讲勾股定理（二）93（二）命题与互逆命题题型一：命题与互逆命题【例1】说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余（2）等边三角形的每个角都等于60°（3）全等三角形的对应角相等（4）到一个角的两边距离相等的点，这个角的平分线上（5）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个短点的距离相等【即时练习】1、已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则a+b＞0；②若a≠b，则a2≠b2；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．④菱形的对角线互相垂直．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A、4个B、3个C、2个D、1个题型二：互逆定理【例2】列举三个互逆定理。练习：1．命题“如果一个数能被10整除，那么这个数也一定能被5整除”的逆命题是，这个逆命题为（填“真命题”或“假命题”）2．命题“矩形的对角线相等”的逆命题是．3．（2011•凉山州）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式：．反馈练习关注成长每一天94A组一、选择题1．小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿钱再去图书馆，小芳到家用了6分钟，从家到图书馆用了8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个（设公园到小芳家及小芳家到图书馆都是直线）（）A．锐角B．直角C．钝角D．不能确定2．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为．3.若△ABC的三边a、b、c满足cbacba262410338222则此三角形的形状为____________4.一个三角形的三边之比是3:4:5则这个三角形三边上的高之比是（）A．20:15:12B．3:4:5C．5:4:3D．10:8:25．下列命题：（1）在△ABC中，若∠A=∠C﹣∠B，则△ABC为直角三角形．（2）若直角三角形有两条边的长分别为3和4，则第三边一定为5．（3）在△ABC中，若a2=b2﹣c2，则△ABC为直角三角形．（4）三边长之比为1：1：的三角形是等腰直角三角形．（5）因为（）2+（）2≠（）2，所以以，，为边的三角形不是直角三角形．其中正确的有（）个．A、2个B、3个C、4个D、5个6．三角形的三边长分别为a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定7．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A．B．C．D．8．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，第六讲勾股定理（二）95其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A、CD、EF、GHB、AB、EF、GHC、AB、CD、GHD、AB、CD、EF9、（2006•南通）如图，已知正方形ABED与正方形BCFE，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（）A、10个B、12个C、14个D、16个10、（2009•遂宁）如图，已知△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD的长为cm．B组11、（2007•绵阳）若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形②以的长为边的三条线段能组成一个三角形③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形④以的长为边的三条线段能组成直角三角形其中所有正确结论的序号为．12、（2006•丽水）如图，以△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，如果S1+S2=S3，那么△ABC的形状是三角形．13、（2006•青岛）如图，P是正△ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为PP′=，∠APB=度．关注成长每一天9614、如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°．15、（2003•哈尔滨）若在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm，则∠ADC的度数是度．16、（2004•龙岩）张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345…a22﹣132﹣142﹣152﹣1…b46810…c22+132+142+152+1…（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a=，b=，c=；（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．C组17、（2010•本溪）如图a，∠EBF=90°，请按下列要求准确画图：1：在射线BE、BF上分别取点A、C，使BC＜AB＜2BC，连接AC得直角△ABC；第六讲勾股定理（二）972：在AB边上取一点M，使AM=BC，在射线CB边上取一点N，使CN=BM，直线AN、CM相交于点P．（1）请用量角器度量∠APM的度数为；（精确到1°）（2）请用说理的方法求出∠APM的度数；（3）若将①中的条件“BC＜AB＜2BC”改为“AB＞2BC”，其他条件不变，你能自己在图b中画出图形，求出∠APM的度数吗？18、阅读理解题：（1）如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=BC．求证：∠BAC=90°．证明：∵BD=CD，AD=BC，∴AD=BD=DC，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°，∴∠BAD+∠CAD=90°，即∠BAC=90°．（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）