2016数学建模A题系泊系统设计

系泊系统的设计摘要本题要求观测近海观测网的组成，建立模型对其中系泊系统进行设计，在不同风速和水流的情况下确定锚链，重物球，钢管及浮标等的状态，从而使通讯设备的工作效果最佳。求解的具体流程如下：针对问题一，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，从而求出结果。针对问题二，需要调节重物球的质量，使通讯设备在36𝑚𝑠⁄时能够正常工作。为了确定重物球的质量，首先将实际风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，与题目中已知数据进行比较。在钢桶倾斜角度达到临界角度时，计算锚链与海床的夹角并于题中数据进行比较，计算重物球的质量。在浮标完全没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，从而确定满足条件的重物球的质量范围。针对问题三，要求在不同条件下，求出系泊系统中各物体的状态。以型号I锚链为例，当水流方向与风速方向相同时，系统条件最差，分析在不同水深条件下的系泊系统设计。由题中已知条件确定系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力分析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设计。关键词：悬链线多目标非线性规划一、问题重述近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。问题1某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。问题3由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。二、模型假设1.不考虑流体对锚链的作用，忽略锚链本身的伸长，锚链沿长度均匀分布；2.假设风是二维的，只存在平行于水平面的风速，不存在垂直方向上的分量；三、符号说明符号含义F浮0浮标的浮力F浮钢管的浮力F浮1钢桶的浮力F浮2重物球的浮力F风近海风荷载𝐹0浮标近海水流力𝐹1钢桶近海水流力𝐹2重物球近海水流力𝐺0浮标重力𝐺钢管重力𝐺1钢桶重力𝐺2重物球重力𝐺3锚链重力浮浮标游动区域h浮标吃水深度四、问题分析4.1问题一分析问题一对于系泊系统的受力物体进行分析，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，从而求出结果。4.2问题二分析问题二需要调节重物球的质量，使通讯设备在36𝑚𝑠⁄时能够正常工作。为了确定重物球的质量，首先将实际风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，并与已知数据进行比较。在钢桶倾斜角度达到临界角度时，计算锚链与海床的夹角并与题目要求进行比较，计算重物球的质量。在浮标完全没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，综合确定满足条件的重物球的质量范围。4.3问题三分析问题三要求在不同条件下，求出系泊系统中各物体的状态。以型号I锚链为例，当水流方向与风速方向相同时，系统条件最差，分析在不同水深条件下的系泊系统设计。由题中已知条件确定系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力分析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设计。五、模型建立与求解5.1问题一模型5.1.1问题分析问题一,系泊系统整体受力平衡，浮标受到恒定风力时，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，最后利用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度,从而求出结果。5.1.2模型建立Step1.系泊系统受力分析对于浮标，它受到水的浮力，自身重力，风载荷及第一根钢管对浮标的力。此题中海水静止，故所有近海水流力为0。将钢管对浮标的力在分别水平方向和竖直方向上进行分解，具体受力如图所示，由浮标所受的力平衡得到：图浮标受力分析图{𝐹𝑥,0=𝐹风+𝐹0（水平方向）𝐹𝑦,0=𝐹浮0−𝐺0（竖直方向）式中，𝐹𝑥,0、𝐹𝑦,0分别为钢管对浮标的力再水平方向和竖直方向的分立。对于钢管，将第一节钢管对浮标的力设为𝐹0，后续第k+1节钢管对第k节钢管的力为F𝑘，将钢管的力进行分解，钢管的受力情况如图所示，因此：图钢管受力分析图{𝐹𝑥,𝑘=𝐹𝑥,𝑘+1+𝐹𝑘（水平方向）𝐹𝑦,𝑘+𝐹浮=𝐹𝑦,𝑘+1+𝐺（竖直方向）式中，F浮为钢管收到的浮力，由于钢管体积较小，在水中钢管的浮力与重力相比很小，可忽略不计；𝐹𝑥,𝑘，𝐹𝑦,𝑘分别为第k跟钢管对前一根钢管在水平方向和竖直方向的分力。对于钢桶，它受到第四根钢管的力，水的浮力，自身重力以及锚链的拉力和重物球的拉力，具体受力如图所示，则：图钢桶受力分析图{𝐹𝑥,𝑘+1=𝐹𝑥,𝑘+𝐹1（水平方向）𝐹浮1+𝐹浮2+𝐹𝑦,𝑘=𝐹𝑦,𝑘+1+𝐺1+𝐺2（竖直方向）式中，F𝑥,𝑘+1和F𝑦,𝑘+1分别表示锚链的拉力在水平方向和竖直方向上的分力。对于系泊系统，由浮标、钢管和钢桶得水平受力分析可得：𝐹风=𝐹𝑥,0=𝐹𝑥,1=𝐹𝑥,2=𝐹𝑥,3=𝐹𝑥,4=𝐹𝑥,5=0.625×𝑆𝑣2其中，S为物体在风向法平面的投影面积，v为风速。由竖直方向受力分析得：𝐹𝑦,0=𝐹浮0−𝐺0𝐹𝑦,0=𝐹𝑦,1+𝐺𝐹𝑦,1=𝐹𝑦,2+𝐺𝐹𝑦,2=𝐹𝑦,3+𝐺𝐹𝑦,3=𝐹𝑦,4+𝐺𝐹浮1+𝐹浮2+𝐹𝑦,4=𝐹𝑦,5+𝐺1+𝐺2设浮标的吃水深度为h，则：𝐹浮0=𝜌𝑔𝜋𝑟2ℎ𝐺0=𝑚0𝑔𝐺=𝑚𝑔𝐺2=𝑚2𝑔𝐹浮1=𝜌𝑔𝜋𝑟22𝑙0𝐹浮2=𝜌𝑔𝑚2𝜌重其中，𝜌为海水密度，题中为1.025×103𝑘𝑔𝑚3⁄；𝑔为重力加速度，本题取9.8m𝑠2⁄；𝑟为浮标底面积半径，本题中为1m；𝑚0为浮标质量，为1000kg；𝑚为每节钢管的质量，为10kg；𝑚2为重物球的质量，本题中为1200kg，𝑟2为钢桶底面半径，𝑙0为钢桶的长度，钢管长度与钢桶相等。将重物球当作铁球处理，则重物球的密度为ρ重=7.86×103𝑘𝑔𝑚3⁄，由题中已知条件可知，可以递推出：𝐹𝑦,0=𝜌𝑔𝜋𝑟2ℎ−1000𝑔𝐹𝑦,1=𝜌𝑔𝜋𝑟2ℎ−1010𝑔𝐹𝑦,2=𝜌𝑔𝜋𝑟2ℎ−1020𝑔𝐹𝑦,3=𝜌𝑔𝜋𝑟2ℎ−1030𝑔𝐹𝑦,4=𝜌𝑔𝜋𝑟2ℎ−1040𝑔𝐹𝑦,5=𝜌𝑔𝜋𝑟2ℎ−1140𝑔−𝑚2𝑔+𝜌𝑔𝑚2𝜌重+𝜌𝑔𝜋𝑟22𝑙0Step2.悬链线模型对于锚链，假设其质量分布均匀，可以将锚链作为悬链线处理，从而做出以下分析,由静力学平衡条件可知，在坐标系中，锚链水平分立和垂直分力的代数和为0，可以得到：{𝐹𝑇𝑠𝑖𝑛𝜃=𝐺3+𝑓𝑦𝐹𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑓𝑥图锚链受力分析图式中，𝐹𝑇表示锚链对钢桶的拉力，𝑓𝑥、𝑓𝑦分别表示锚链的水平分力与竖直分力，𝐺3表示锚链的重力，𝜃为锚链任一点与水平方向的夹角。因此，可推导出：{𝐹𝑇𝑠𝑖𝑛𝜃=𝜆𝑠𝑔+𝑓𝑦𝐹𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑓𝑥𝜆表示锚链单位长度的质量，即线密度；𝑠为锚链在水中未触碰海底的长度。由曲线几何关系和力学关系及悬链线模型可求得，导线任一点的斜率为：𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑡𝑎𝑛𝜃=𝜆𝑠𝑔+𝑓𝑦𝑓𝑥𝑑𝑥=1√1+(𝜆𝑠𝑔+𝑓𝑦𝑓𝑥)2𝑑𝑠𝑑𝑦=𝜆𝑠𝑔+𝑓𝑦𝑓𝑥√1+(𝜆𝑠𝑔+𝑓𝑦𝑓𝑥)2𝑑𝑠式中,x、y分别表示锚链在水平方向和竖直方向的投影长度。对两式分别进行积分，并用临界点数据(𝑥=0,𝑦=0)来确定积分常数，则可得，𝑥=𝑓𝑥𝜆𝑔sh−1(𝜆𝑠𝑔+𝑓𝑦𝑓𝑥)−𝑐0𝑐1𝑦=𝑓𝑥𝜆𝑔(√1+(𝜆𝑠𝑔+𝑓𝑦𝑓𝑥)2−1)+𝑐2进一步可求得方程：𝑠=𝑓𝑥sh(𝜆𝑔𝑓𝑥𝑥)−𝑓𝑦𝜆𝑔𝑦=𝑐0𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥𝑐0+𝑐1)+𝑐2其中𝑐0=𝑓𝑥𝜆𝑔𝑐1=𝑠𝑖𝑛ℎ−1(𝑓𝑥𝑓𝑦)𝑐2=−𝑐0𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑐1)Step3.力矩分析平衡对于钢管，由于钢管的力矩平衡，可以得到：𝑙02𝑠𝑖𝑛𝜃𝑘(𝐹𝑦,𝑘+𝐹𝑦,𝑘+1)=𝑙02𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘(𝐹𝑥,𝑘+𝐹𝑥,𝑘+1+𝐹𝑘,水)其中，𝜃𝑘表示分别表示第k根钢管的倾斜角度，𝐹𝑘,水为水流对钢管的力，则：𝑡𝑎𝑛𝜃𝑘=𝐹𝑥,𝑘+𝐹𝑥,𝑘+1+𝐹𝑘,水𝐹𝑦,𝑘+𝐹𝑦,𝑘+1即为：𝑡𝑎𝑛𝜃1=𝐹𝑥,0+𝐹𝑥,1+𝐹1,水𝐹𝑦,0+𝐹𝑦,1𝑡𝑎𝑛𝜃2=𝐹𝑥,1+𝐹𝑥,2+𝐹2,水𝐹𝑦,1+𝐹𝑦,2𝑡𝑎𝑛𝜃3=𝐹𝑥,2+𝐹𝑥,3+𝐹3,水𝐹𝑦,2+𝐹𝑦,3𝑡𝑎𝑛𝜃4=𝐹𝑥,3+𝐹𝑥,4+𝐹4,水𝐹𝑦,3+𝐹𝑦,4式中，𝜃𝑘分别是钢管的倾斜角度（k取1，2，3，4），根据题中的数值，可以得到以下公式：𝑡𝑎𝑛𝜃1=𝐹风𝜌𝑔𝜋𝑟2ℎ−1005𝑔𝑡𝑎𝑛𝜃2=𝐹风𝜌𝑔𝜋𝑟2ℎ−1015𝑔𝑡𝑎𝑛𝜃3=𝐹风𝜌𝑔𝜋𝑟2ℎ−1025𝑔𝑡𝑎𝑛𝜃4=𝐹风𝜌𝑔𝜋𝑟2ℎ−1035𝑔代入数值后可求出钢管相应的倾斜角度。对于钢桶，由钢桶的力矩平衡，可以得到：𝑙02𝑠𝑖𝑛𝜃5(𝐹𝑦,𝑘+𝐹𝑦,𝑘+1+𝐺2−F浮2)=𝑙02𝑐𝑜𝑠𝜃5(𝐹𝑥,𝑘+𝐹𝑥,𝑘+1+𝐹𝑘,水)其中，𝜃5表示分别表示钢桶的倾斜角度，于是：𝑡𝑎𝑛𝜃5=𝐹𝑥,4+𝐹𝑥,5+𝐹1𝐹𝑦,4+𝐹𝑦,5+𝐺2−F浮2带入数值得：𝑡𝑎𝑛𝜃5=𝐹风𝜌𝑔𝜋𝑟2ℎ−100𝑔+𝜌𝑔𝑚2𝜌重+𝜌𝑔𝜋𝑟22𝑙0式中，𝜃5是钢桶