2019-2020年高考二轮复习数学通用版课件：第一部分-专题七-数-列-

数列题七专卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ2018等差数列的基本运算·T4等差数列的通项公式、前n项和公式及最值·T17等比数列的通项公式、前n项和公式·T17Sn与an的关系、等比数列求和·T142017等差数列的基本运算·T4数学文化、等比数列的概念、前n项和公式·T3等差数列的通项公式、前n项和公式及等比中项·T9等差数列、等比数列前n项和公式的运用、创新问题·T12等差数列的通项公式、前n项和公式、裂项相消法求和·T15等比数列的通项公式·T142016等差数列的基本运算·T3等差数列的通项公式、前n项和公式、创新问题·T17数列的递推关系、等比数列的定义及通项公式·T17等比数列的基本运算及二次函数最值问题·T15卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ纵向把握趋势卷Ⅰ3年6考，题型为选择题和填空题，难度适中．涉及等差、等比数列的基本运算，Sn与an的关系，预计2019年会以解答题的形式考查等差、等比数列的基本关系及等差、等比数列的判定与证明卷Ⅱ3年4考，题型既有选择题、填空题和解答题，涉及数学文化、等差数列与等比数列的基本运算、数列前n项和的求法．预计2019年高考题仍以考查等差、等比数列的基本运算为主，同时考查数列求和问题，且三种题型均有可能卷Ⅲ3年4考，题型既有选择题、填空题，也有解答题，涉及等差、等比数列的基本运算、数列求和问题，难度适中．预计2019年高考会以小题的形式考查等差、等比数列的性质及基本运算，难度适中横向把握重点1.高考主要考查等差数列及等比数列的基本运算，两类数列求和方法(裂项求和法、错位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主要突出数学思想的应用．2.若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在17题的位置上交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注.考法一等差、等比数列的基本运算和性质[题组全练]1．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2C．4D．8答案：C解析：设等差数列{an}的公差为d，则由a4＋a5＝24，S6＝48，得a1＋3d＋a1＋4d＝24，6a1＋6×52d＝48，即2a1＋7d＝24，2a1＋5d＝16，解得d＝4.2．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A．21B．42C．63D．84解析：设{an}的公比为q，由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，得1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2(负值舍去)．∴a3＋a5＋a7＝a1q2＋a3q2＋a5q2＝(a1＋a3＋a5)q2＝21×2＝42.答案：B3．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．8解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6＝a23，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2.又a1＝1，所以d2＋2d＝0.又d≠0，则d＝－2，所以{an}前6项的和S6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.答案：A4．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2017＋a2018＞0，a2017·a2018＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是()A．2017B．2018C．4034D．4035解析：因为a1＞0，a2017＋a2018＞0，a2017·a2018＜0，所以d＜0，a2017＞0，a2018＜0，所以S4034＝4034a1＋a40342＝4034a2017＋a20182＞0，S4035＝4035a1＋a40352＝4035a2018＜0，所以使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是4034.答案：C5．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝1－－2n3.由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝1－2n1－2＝2n－1.由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.[系统方法]1．等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量a1和公差d(公比q)．2．等差、等比数列性质问题的求解策略(1)抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，求出a1和d(q)后代入相应的公式计算．(2)数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．(3)利用数列性质进行运算时，要注意整体思想的应用(如第2题)，可以减少计算量，此方法还适用于求函数值、求函数的解析式等问题.考法二以数学文化为背景的数列问题[题组全练]1．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为()A．18B．20C．21D．25答案：C解析：依题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{an}，其中a1＝5，前30项和为390，于是有305＋a302＝390，解得a30＝21，即该织女最后一天织21尺布．2．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏解析：每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝a11－271－2＝381，解得a1＝3.答案：B3．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an.则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于()A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)解析：a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝n1·n2＋n2·n3＋…＋nn－1·nn＝n211×2＋12×3＋…＋1n－1n＝n21－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝n2·n－1n＝n(n－1)．答案：C[系统方法]解决数列与数学文化问题的3步骤读懂题意构建模型求解模型会脱去数学文化的背景，读懂题意由题意，构建等差或等比数列或递推关系式的模型利用所学知识求解数列的相关信息，如指定项、通项公式或前n项和考法三等差、等比数列的判定与证明[由题知法][典例](2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；[解]设{an}的公比为q.由题设可得a11＋q＝2，a11＋q＋q2＝－6.解得a1＝－2，q＝－2.故{an}的通项公式为an＝(－2)n.(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．[解]由(1)可得Sn＝－2×[1－－2n]1－－2＝－23＋(－1)n2n＋13.由于Sn＋2＋Sn＋1＝－43＋(－1)n2n＋3－2n＋23＝2－23＋－1n2n＋13＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．[类题通法]证明{an}是等差或等比数列的基本方法等差数列(1)利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；(2)利用等差中项，证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)等比数列(1)利用定义，证明an＋1an(n∈N*)为一常数；(2)利用等比中项，证明a2n＝an－1an＋1(n≥2)[应用通关](2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝ann.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．解：(1)由条件可得an＋1＝2n＋1nan.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得an＋1n＋1＝2ann，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得ann＝2n－1，所以an＝n·2n－1.考法四数列求和角度一公式法求和[例1](2018·厦门质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an2an＋3，n∈N*.(1)求证：数列1an为等差数列；[解]证明：由an＋1＝3an2an＋3，得1an＋1＝2an＋33an＝1an＋23，所以1an＋1－1an＝23.又a1＝1，则1a1＝1，所以数列1an是首项为1，公差为23的等差数列．(2)设T2n＝1a1a2－1a2a3＋1a3a4－1a4a5＋…＋1a2n－1a2n－1a2na2n＋1，求T2n.[解]设bn＝1a2n－1a2n－1a2na2n＋1＝1a2n－1－1a2n＋11a2n，由(1)得，数列1an是公差为23的等差数列，所以1a2n－1－1a2n＋1＝－43，即bn＝1a2n－1－1a2n＋11a2n＝－43×1a2n，所以bn＋1－bn＝－431a2n＋2－1a2n＝－43×43＝－169.又b1＝－43×1a2＝－43×1a1＋23＝－209，所以数列{bn}是首项为－209，公差为－169的等差数列，所以T2n＝b1＋b2＋…＋bn＝－209n＋nn－12×－169＝－49(2n2＋3n)．[类题通法]公式法求数列和问题需过“三关”定义关应用关运算关会利用等差数列或等比数列的定义，判断所给的数列是等差数列还是等比数列会应用等差(比)数列的前n项和公式来求解认真运算，此类题将迎刃而解角度二分组求和法求和[例2](2018·珠海模拟)已知等差数列{an}的首项为a，公差为d，n∈N*，且不等式ax2－3x＋20的解集为(1，d)．(1)求数列{an}的通项公式an；[解]易知a≠0，由题设可知1＋d＝3a，1·d＝2a，解得a＝1，d＝2.故数列{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.(2)若bn＝3an＋an－1，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn.[解]由(1)知bn＝32n－1＋2n－1－1，则Tn＝(3＋1)＋(33＋3)＋…＋(32n－1＋2n－1)－n＝(31＋33＋…＋32n－1)＋(1＋3＋…＋2n－1)－n＝311－9n1－9＋1＋2n－1n2－n＝38(9n－1)＋n2－n.[类题通法]分组求和法求数列和的关键点会用公式会观察会求和会利用等差或等比数列的通项公式，求出数列的通项公式观察数列的通项公式的特征，若其是由若干个可求其和的数列的通项公式组成，则求和时可用分组求和法求解对分成的各组数列进行求和角度三用裂项相消法求和[例3](2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；[解]因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋