初中因式分解详解及提高篇

初中因式分解详解及提高篇因式分解作为初中代数中一门重要的内容，在因式分解之前的整式运算是因式分解的反方向，而一元二次方程则是以因式分解作为基础，因式分解起到了承上启下的作用，而且因式分解学习的好坏不仅影响到对方程的了解，同时对今后高中学习内容也会有或多或少的影响，学好因式分解十分重要。对于目前初中教材上老师所讲的因式分解内容只能处理一些基本的问题，对于有更深层次内容的东西则是比较难以处理，为了弥补这些缺陷，让大家更好地打牢初中的学习内容，在此我将所有的因式分解方法全部列举出来并进行详细叙述，从而让各位同学能够真正地了解因式分解。由于有些方法对于初中有一定的难度，对于不同的学生，我会对每一个方法进行说明。1.提公因式法（所有学生必须掌握）典型形式：()mambmcmabc注意上面的m是一个数也可以是一个整式，再比如()()()()()xyaxybxycxyabc2.平方差（所有学生必须掌握）典型形式：22()()ababab同样上面的ab、既可以是数也可以是一个整式3.配方法（所有学生必须掌握）对于因式分解的配方法主要是搭配平方差进行应用，比如下面的两个例子22268(+69)1(3)1(2)(4)xxxxxxx祖冲之杯奥赛题：4271xx（这个问题在下面的试根法中叙述会更好，所以在这里不给出具体做法）4.十字相乘法（所有学生必须掌握）十字相乘法是初中数学中因式分解的难点和重点，在此首先说明2x前系数为1的处理方法，我们先观察整式运算2()()()xaxbxabxab通过上面的式子可以看出x的一次项是ab，纯数的那一项是ab，所以可以进行猜测试ab、的值，一般是根据ab项进行推测，要是用ab推测会很麻烦。举个例子：268xx，在这其中先猜8的由来，8只能是18和24（分式什么的不讨论），而189不符合，所以只能是(+2)(4)xx批注：通过上面的3的叙述可以知道，其实只要能用十字相乘法解决的问题，都是可以用配方法和平方差两种方法综合起来解决，而且可以发现，利用配方法和平方差更为简单，不用动脑，但是计算量可能会大一点。当2x前的系数不为1的时候，就应该从十字相乘法的原理入手，十字相乘法的图示如下图所示：()()axmbxnaxmbxn2()abxanbmxmn图1下面可能大家会有一些疑问，为什么会是这样乘？因为我也是从学生过来的，所以当初也不是很理解，只是知道这样乘，今天我想在这里说明一下。首先我们来看看整式运算图2图2是一个整式运算的规则，其中的ax要与另一个括号里的所有数相乘，在图1中的箭头也是分别指向bxm、，同理n也是如此。那么这种前面的系数不为1到底该怎么做呢？同前面的2x系数为1一样，我们也可以从乘作为入手点，但是需要考虑的就不仅仅是纯数的加减来凑x前面的系数，因为x前面的系数与ab、也是有关的。举个例子来说2273xx，首先从积来看，212，313，总共有四组数，怎么样两两相乘之后的两个数加起来是7？可以想到23117，这说明2x和3是不会在一个括号里的因为前面的图2中可以知道，a是没有办法乘到b的，所以2x和3不会在一个括号里，也即2273(21)(3)xxxx批注：对于系数不为1的问题其实是可以化为系数为1来进行计算的，为什么这么说，就拿(21)(3)xx来说，可以提出一个2，则写成12(+)(3)2xx，具体做法如下所示：22732732()22xxxx注意猜分数的积的时候不要乱猜，比如上面的猜33224不合理的，因为x前面的系数72，怎么可能是4？，所以可以猜3331=1=32222或者，于是就可以得出27312()=2()(3)222xxxx，再把2乘进去就可以了。5.换元法（对于想考到90分以上的学生可以学习，满分120）所谓换元就是将整式中的一部分利用一个字母进行代换，从而减小因式分解的运算难度。例1：22(1)(2)12xxxx本题中要是直接展开这些式子进行因式分解会很难算，而且不容易处理式子之间的联系，那么这题该怎么处理呢？答，换元！可以发现上面括号里都有2xx这一项，所以可以令2txx，代入上式中可以知道(1)(2)125(2)tttt代换回来有2225(2)(5)(2)(5)(2)(1)ttxxxxxxxx需要注意的问题是换元在代换回来的时候要注意是否还可以进行因式分解，因为要是没有分解到不能分解，因式分解就是不正确的，所以一定要进行验证。6.试根法（对于想考到90分以上的学生可以学习，满分120）所谓试根法其实很简单，我们先来看一下因式分解最后的形式：2(5)(2)(1)xxxx可以知道，要是我们把这个式子看成一个方程，也即2(5)(2)(1)0xxxx，当x取2或者是1的时候等式都是成立的，因为0=0？，所以对于某些高次因式分解可以使用换元的方法处理，比如332xx先进行试根，假设1x，可以发现1320，等式成立，所以必有1x这一项，因为110，于是根据这个思想，我们就应该去凑1x着这一项，具体步骤如下3322222223232(1)32(1)(1)2(1)(2)(1)(2)(1)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx上面的每一步都是在凑1x这一项，只要利用提公因式法将这些式子提出即可。批注：一般题目在考试根法的时候，根的大小不会很大，一般在55左右，也可能是分数，但是不会很难猜，要是试了几次还不出来，说明这个问题不是用试根法处理，比如上面配方法里叙述的祖冲之杯那道奥数题4271xx这道题试根法就没办法做，那么这题该怎么做呢？十字相乘也没法做？前面的叙述中可以知道，其实十字相乘法可以转化为配方法和平方差法，那我们可以试试配方法和平方差结合的方法4242494571744xxxx，显然不对，因为结果太难看，一般奥数题是难，但是结果不会很难看，所以这样分是有问题的，那么该怎么分？答案:422219xxx7.双十字相乘法（对于想考到110分以上的学生可以学习，满分120）所谓双十字相乘法就是十字相乘法的延伸，它的基本形式是()()abcxyz由于前面对十字相乘法进行了很系统的讲解，在此只叙述具体该怎么做这些题目。例1：22223345abcabacbc首先观察式子，2232aabb中是不含c的，所以将其进行因式分解有2232()(2)aabbabab，此时再对c进行因式分解就涉及到双十字相乘法，同样先看积233ccc，所以按照十字相乘法的原理画出图示（不理解可以看上面十字相乘法中的图1、图2）ab3c2abc47acbc不符合题意！！！！换位置继续计算！！！！abc2ab3c45acbc符合题意！所以答案为()(23)abcabc小结：以上是十字相乘法中常用的方法，对于竞赛所用的方法也都进行和涵盖，对于整式除法由于笔者的word学的不是很好，所以没有进行叙述，感兴趣的学生可以去问老师，这个东西老师都懂，会整式除法主要是在试根法上不需要进行拼凑，这样有助于提高计算效率。