三角函数值域的求法

南县一中肖胜军有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各类考试考察的热点之一，这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。掌握这类问题的解法，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。一、合理转化，利用有界性求值域例1、求下列函数的值域：（1）1sincosyxx（2）cos3cos3xyx（3）22sin2sincos3cosyxxxx（4）3sin()4cos()44yxx解析：（1）根据11sincossin222xxx可知：1322y（2）将原函数的解析式化为：3(1)cos1yxy，由cos1x可得：122y(3)原函数解析式可化为：21sin22cos2sin2cos222sin(2)4yxxxxx可得：2222y（4）根据222222sincossin(),axbxabxabab可得：55y二、单调性开路，定义回归例2、求下列函数的值域：（1）1sin2yx（2）cos(sin)yx（3）2cos3sin,63yxxx（4）22cos5sin1yx116sin0sin222xx解析：（1）由-1知：1sin1,cos1cossincos1cos(sin)122xxx（2）由-有（）125sin()663366xxx（3）y=2由知：由正弦函数的单调性：1y222533(4)2(1sin)5sin12(sin)0,248yxxx三、抓住结构特征，巧用均值不等式2222min9sin430,()sin0sin0,44()9sin29sin12sinsin449sinsin()12sin9xxxfxxxxxxfxxxxxxxxxxxxxfxxx例、若求的最小值解析：由得：根据均值不等式：当即时，例4、sincos(),sin已知其中、为锐角，求tan的最大值22sinsin()sin()coscos()sinsincos()sin()cos2sincos(),tan()2tantan()tantan12tantan()11tantan()12tan42tantan112tantantan2解析：由即有于是：当即时，有max2tan4（）四、易元变换，整体思想求解5sincossincosyxxxx例、求函数的值域222112sin()sin22sin()12sin()424241sin()2sin()4422sin()142yxxxxxxx解法一：max1sin()1242xy当时，222max1sincos2sin()2,2,sincos4211(1)12,22212,22txxttxxxtyttty解法二：设，则，t故当时有222222222maxsin,cos,sincos2,sincos122sincos1,,222122sincossincos222,,22221222xmnxmnxxmxxmnxmnmyxxxxmmnmmmmy解法三、构造对偶式转化为某一变量的二次函数在闭区间内求最大值设则由，得故当时，有五、方程架桥，问题转化221sin3sin62sinsin(4)sin320sin,132011xxyxxyxytxtty例：求函数的最大值、最小值。解析：将问题转化为求一元二次方程在闭区间上有解的充要条件：原函数解析式转化为：令则t在，上有解,故有：2(4)44112(1)0(1)0yyff（3-2y）0或(1)(1)0ff803y解得：六、运用模型、数形结合222sin82cos471383031474733xyxkkk例：求函数的值域。解析：函数的值域可看作求过点P(2,2)的单位圆切线的斜率k的最大、最小值设切线PA的方程为：y-2=k(x-2)即：kx-y-2k+2=0设原点到切线的距离d,则d=12k-2即：d=即解得：k=故所求函数的值域为：，