材料力学(强度计算)

强度和变形计算一、应力二、轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律三、金属材料的拉伸、压缩的力学性质四、轴向拉压杆件的强度问题五、剪切、挤压问题的实用计算六、圆轴扭转强度计算七、弯曲应力一、应力概念杆件截面上某一点处的内力集度称为该点的应力应力APpm图a所示杆m-m截面上K点处的应力，在K点周围取一微小面积A，设A面积上分布内力的合力为P，则p为△A上的平均应力一般来说，截面上的内力分布并不是均匀的，因而，我们将微面积A趋向于零时的极限值称为K点的内力集度，即K点的应力pAPAPpAddlim0应力p是一个矢量。通常情况下，它既不与截面垂直，也不与截面相切。为了研究问题时方便，习惯上常将它分解为与截面垂直的分量σ和与截面相切的分量τ。σ称为正应力，τ称为切应力。对于正应力σ规定：拉应力（箭头背离截面）为正，压应力（箭头指向截面）为负；对于切应力τ规定：顺时针（切应力对研究部分内任一点取矩时，力矩的转向为顺时针）为正，逆时针为负。应力二、轴向拉压杆件的变形应变胡克定律轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律轴向拉（压）杆横截面上的正应力轴向拉（压）杆横截面上的内力是轴力，方向与横截面垂直。由内力与应力的关系，我们知道：在轴向拉（压）杆横截面上与轴力相应的应力只能是垂直于截面的正应力。而要确定正应力，必须了解内力在横截面上的分布规律，不能由主观推断。应力与变形有关，要研究应力，可以先从较直观的杆件变形入手。轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律可以看到所有的纵向线都仍为直线，都伸长相等的长度；所有的横向线也仍为直线，保持与纵向线垂直，只是它们之间的相对距离增大了。由此，可以作出平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但沿轴线发生了平移。由材料的均匀连续性假设可知，横截面上的内力是均匀分布的，即各点的应力相等轴向拉（压）杆横截面上只有一种应力——正应力，并且正应力在横截面上是均匀分布的，所以横截面上的平均应力就是任一点的应力。即拉（压）杆横截面上正应力的计算公式为AFN对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截面上。AFNmaxmax轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律轴向拉（压）杆斜截面上的应力2sin2sincossinpp2coscosp轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律应力集中杆件截面尺寸的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。应力集中对杆件是不利的，实验表明：截面尺寸改变的越急剧，应力集中的现象越明显。因此，在设计时应尽可能不使杆的截面尺寸发生突变，避免带尖角的孔和槽，在阶梯轴和凸肩处要用圆弧过渡，并且要尽量使圆弧半径大一些。另外，应力集中对杆件强度的影响还与材料有关。轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律轴向拉(压)杆的变形及其计算杆件在受到轴向拉(压)力作用时，将主要产生沿轴线方向的伸长(缩短)变形，这种沿纵向的变形称为纵向变形。同时，与杆轴线相垂直的方向（横向）也随之产生缩小(增大)的变形，将与杆轴线相垂直方向的变形称为横向变形。设直杆原长为l，直径为d。在轴向拉力（或压力）P作用下，变形后的长度为l1，直径为d1，如图所示。轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律轴向拉伸（或压缩）时，杆件长度的伸长（或缩短）量，称为纵向变形，以Δl表示，Δl=l1-l拉伸时，Δl＞0；压缩时，Δl＜0纵向变形与杆件的原始长度有关，不能反映杆件的变形程度。通常用单位长度上的变形称为相对变形或线应变，以ε表示，即ll轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律杆件在发生纵向变形的同时，也发生了横性变形，通常把横向尺寸的缩小（或增大）量，称为横向变形，以Δd表示，即Δd=d1-d拉伸时，Δd＜0；压缩时，Δd＞0对应的单位横向尺寸上的变形称为横向线应变，以ε′dd'线应变是无量纲的量，其正负号规定与杆的纵向变形相同。轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律实验表明：当轴向拉（压）杆的应力不超过材料的比例极限时，横向线应变ε′与纵向线应变ε的比值的绝对值为一常数，通常将这一常数称为泊松比或横向变形系数。用ν表示。'ε′=－νε泊松比轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律胡克定律变形的计算建立在实验的基础上，实验表明：工程中使用的大部分材料都有一个弹性范围。在弹性范围内，杆的纵向变形量l与杆所受的轴力FN，杆的原长l成正比，而与杆的横截面积A成反比，即：AlFlN引进比例常数E（E称为材料的弹性模量，可由实验测出）后，得AElFlN轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律EE或从上式可以推断出：对于长度相同，轴力相同的杆件，分母EA越大，杆的纵向变形l就越小，可见EA反映了杆件抵抗拉（压）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。若将式的两边同时除以杆件的原长l，并将代入，于是得上式是胡克定律的另一表达形式。它表明：在弹性范围内，正应力与线应变成正比。比例系数即为材料的弹性模量E。轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律材料名称E值（单位GPa）ν值低碳钢（Q235）200~2100.24~0.2816锰钢200~2200.25~0.33铸铁115-1600.23~0.27铝合金70-720.26~0.33混凝土15-360.16~0.18木材（顺纹）9-12砖石料2.7~3.50.12~0.20花岗岩490.16~0.34工程中常用材料的弹性模量E见表5-1轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律拉压杆的位移等直杆在轴向外力作用下，发生变形，会引起杆上某点处在空间位置的改变，即产生了位移。轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律P1=30kN，P2=10kN,AC段的横截面面积AAC=500mm2,CD段的横截面面积ACD=200mm2，弹性模量E=200GPa。试求：（1）各段杆横截面上的内力和应力；（2）杆件内最大正应力；（3）杆件的总变形。轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律解：(1)、计算支反力210,0xRAFFFF21(1030)RAFFF=－20kN(2)、计算各段杆件横截面上的轴力AB段：FNAB=FRA=－20kNBD段：FNBD=F2=10kN轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律(3)、画出轴力图，如图（c）所示。(4)、计算各段应力AB段：3201040500NABABACFMPaABC段：3101020500NBDBCACFMPaACD段：3101050200NBDCDCDFMPaA(5)、计算杆件内最大应力3max101050200MPa轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律（6）计算杆件的总变形ABBCCDNABABNBDBCNBDCDACACCDlllLFlFlFlEAEAEA333312010100(2001050010101001010100)500200整个杆件伸长0.015mm。=0.015mm轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律三、材料在拉伸(压缩)时的力学性能材料在拉伸与压缩时的力学性能材料的力学性能：是材料在受力过程中表现出的各种物理性质。在常温、静载条件下，塑性材料和脆性材料在拉伸和压缩时的力学性能。标准试样若k为5.65的值不能符合这一最小标距要求时，可以采取较高的值（优先采用11.3值）。材料拉伸时的力学性能试样原始标距与原始横截面面积关系者,有为比例试样。国际上使用的比例系数k的值为5.65。Akl0试样按照GB/T2975的要求切取样坯和制备试样。ldrlbra采用圆形试样，换算后材料在拉伸与压缩时的力学性能低碳钢为典型的塑性材料。在应力–应变图中呈现如下四个阶段：材料在拉伸与压缩时的力学性能材料在拉伸与压缩时的力学性能1、弹性阶段（oa’段）oa段为直线段，点a对应的应力称为比例极限，用表示pE正应力和正应变成线性正比关系，即遵循胡克定律弹性模量E和的关系：曲线过b点，应力变化不大，应变急剧增大，曲线上出现水平锯齿形状，材料失去继续抵抗变形的能力，发生屈服现象工程上常称下屈服强度为材料的屈服极限，用表示材料在拉伸与压缩时的力学性能2、屈服阶段（bc段）s材料屈服时，在光滑试样表面可以观察到与轴线成的纹线，称为45°滑移线。材料晶格重组后，又增加了抵抗变形的能力，要使试件继续伸长就必须再增加拉，这阶段称为强化阶段。冷作硬化现象，在强化阶段某一点f处，缓慢卸载，则试样的应力–应变曲线会沿着fo1回到o1，冷作硬化使材料的弹性强度提高，而塑性降低。材料在拉伸与压缩时的力学性能3、强化阶段（cd段）曲线最高点d处的应力，称为强度极限()b试样变形集中到某一局部区域，由于该区域横截面的收缩，形成了图示的“颈缩”现象最后在“颈缩”处被拉断。材料在拉伸与压缩时的力学性能4、局部变形阶段（de段）代表材料强度性能的主要指标：可以测得表示材料塑性变形能力的两个指标：伸长率和断面收缩率。（1）伸长率%1001lll材料在拉伸与压缩时的力学性能（2）断面收缩率%1001AAA屈服极限强度极限bs灰口铸铁是典型的脆性材料，其应力–应变图是一微弯的曲线，如图示没有明显的直线。无屈服现象，拉断时变形很小，对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以产生0.2%的塑性应变所对应的应力值作为屈服极限材料在拉伸与压缩时的力学性能其伸长率%5强度指标只有强度极限b称为名义屈服极限，用表示。2.0（2002年的标准称为规定残余延伸强度，用Rf表示，例如，Rf0.2表示规定残余延伸率为0.2%时的应力。）材料在拉伸与压缩时的力学性能材料压缩时的力学性能金属材料的压缩试样，一般制成短圆柱形，柱的高度约为直径的1.5~3倍，试样的上下平面有平行度和光洁度的要求非金属材料，如混凝土、石料等通常制成正方形。低碳钢是塑性材料，压缩时的应力–应变图，如图示。在屈服以前，压缩时的曲线和拉伸时的曲线基本重合，屈服以后随着压力的增大，试样被压成“鼓形”，最后被压成“薄饼”而不发生断裂，所以低碳钢压缩时无强度极限。材料在拉伸与压缩时的力学性能铸铁是脆性材料，压缩时的应力–应变图，如图示，试样在较小变形时突然破坏，压缩时的强度极限远高于拉伸强度极限（约为3~6倍），破坏断面与横截面大致成45°的倾角。铸铁压缩破坏属于剪切破坏。材料在拉伸与压缩时的力学性能建筑专业用的混凝土，压缩时的应力–应变图，如图示。混凝土的抗压强度要比抗拉强度大10倍左右。材料在拉伸与压缩时的力学性能安全因数、许用应力、强度条件安全因数与许用应力塑性材料，当应力达到屈服极限时，构件已发生明显的塑性变形，影响其正常工作，称之为失效，因此把屈服极限作为塑性材料极限应力。脆性材料，直到断裂也无明显的塑性变形，断裂是失效的唯一标志，因而把强度极限作为脆性材料的极限应力。根据失效的准则，将屈服极限与强度极限通称为极限应力()材料在拉伸与压缩时的力学性能u把极限应力除以一个大于1的因数，得到的应力值称为许用应力()nu大于1的因数n称为安全因数。许用拉应力()、许用压应力用()t工程中安全因数n的取值范围，由国家标准规定，一般不能任意改变。c材料在拉伸与压缩时的力学性能四、轴向拉压杆件的强度问题轴向拉压杆件的强度问题为了保障构件安全工作，构件内最大工作应力必须小于许用应力。maxNmaxAF公式称为拉压杆的强度条件利用强度条件，可以解决以下三类强度问题：1、强度校核：在已知拉压杆的形状、尺寸和许用应力及受力情况下，检验构件能否满足上述强度条件，以判别构件能否安全工作。3、计算许用载荷：已知拉压杆的截面尺寸及所用材料的许用应力，计算杆件所能承受的许可轴力，再根据此轴力计算许用载荷，表达式为：N,maxFA2、设计截面：已知拉压杆所受的载荷及所用材料的许用应力，根据强度条件设计截面的形状和尺寸，表达式为：max,NFA在计算中，若工作应力不超过许用应力的5%，在工程中仍然是允许的。轴向拉压杆件的强度问题例题已知：一