高中数学向量专题中档难度题目最全汇总

高中数学向量专题一．选择题（共27小题）1．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．32．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（）A．﹣1B．+1C．2D．2﹣3．已知点G是△ABC内一点，满足++=，若∠BAC=，•=1，则||的最小值是（）A．B．C．D．4．已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则的最小值为（）A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．05．已知向量，夹角为，||=2，对任意x∈R，有|+x|≥|﹣|，则|t﹣|+|t﹣|（t∈R）的最小值是（）A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且=x，则的最小值为（）A．B．2C．D．7．已知△ABC中，∠A=120°，且AB=3，AC=4，若，且，则实数λ的值为（）A．B．C．6D．8．已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（）A．B．C．D．9．已知：||=1，||=，⋅=0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设=m+n（m，n∈R），则的值为（）A．2B．C．3D．410．已知，为单位向量，且，向量满足|﹣﹣|=2，则||的范围为（）A．[1，1+]B．[2﹣，2+]C．[]D．[3﹣2，3+2]11．已知平面内任意不共线三点A，B，C，则的值为（）A．正数B．负数C．0D．以上说法都有可能13．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=4，则的最小值是（）A．﹣4B．﹣8C．﹣10D．﹣1214．已知O是正方形ABCD的中心．若=，其中λ，μ∈R，则=（）A．B．﹣2C．D．15．△ABC所在平面上一点P满足++=，则△PAB的面积与△ABC的面积比为（）A．2：3B．1：3C．1：4D．1：616．在△ABC中，若BC=8，BC边上中线长为3，则•=（）A．﹣7B．7C．﹣28D．2817．已知O是正△ABC的中心．若=，其中λ，μ∈R，则的值为（）A．B．C．D．218．设△ABC的面积为S，若，tanA=2，则S=（）A．1B．2C．D．19．已知向量，，为平面向量，||=||=2=1，且使得﹣2与﹣所成夹角为，则||的最大值为（）A．B．C．1D．+120．已知O为△ABC内一点，且有，记△ABC，△BCO，△ACO的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（）A．3：2：1B．3：1：2C．6：1：2D．6：2：121．已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）A．B．C．D．﹣122．已知向量，满足||=2，||==3，若（﹣2）•（﹣）=0，则||的最小值是（）A．2﹣B．2+C．1D．223．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点G在AD上，且是△ABC的重心，则用向量表示为（）A．B．C．D．24．设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若=，则O为△ABC的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心25．已知平面向量，，满足||=||=||=1，若•=，则（2+）（﹣）的最小值为（）A．﹣2B．﹣C．﹣1D．026．已知O是△ABC内部一点，且3=，则△OBC的面积与△ABC的面积之比为（）A．B．1C．D．227．已知向量满足：，若，的最大值和最小值分别为m，n，则m+n等于（）A．B．C．D．二．填空题（共3小题）28．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，∠ADC=45°，AD=2，BC=1，P是腰CD上的动点，则|3+|的最小值为．29．已知向量=（2，3），=（m，﹣6），若⊥，则|2+|=．30．已知在△ABC所在平面内有两点P、Q，满足+=0，++=，若||=4，||=2，S△APQ=，则•的值为．2018年09月30日186****1015的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共27小题）1．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3【分析】如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，求出A，B，C的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，∴AN=ABcos60°=，BN=ABsin60°=，∴DN=1+=，∴BM=，∴CM=MBtan30°=，∴DC=DM+MC=，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴=（﹣1，m），=（﹣，m﹣），0≤m≤，∴=+m2﹣m=（m﹣）2+﹣=（m﹣）2+，当m=时，取得最小值为．故选：A．2．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（）A．﹣1B．+1C．2D．2﹣【分析】把等式﹣4•+3=0变形，可得得，即（）⊥（），设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上，画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由﹣4•+3=0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．不妨以y=为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．3．已知点G是△ABC内一点，满足++=，若∠BAC=，•=1，则||的最小值是（）A．B．C．D．【分析】用，表示出，利用基本不等式得出|AB|2+|AC|2的最小值即可．【解答】解：∵点G是△ABC内一点，满足++=，∴G是△ABC的重心，∴=（+），∴=（2+2+2•）=（|AB|2+|AC|2）+，∵•=|AB|•|AC|=1，∴|AB|•|AC|=2，∴AB2+AC2≥2|AB|•|AC|=4，∴2≥=．∴||≥．故选：C．4．已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则的最小值为（）A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．0【分析】根据题意，以A为原点，以AB所在对的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求出【解答】解：∵△ABC中，，AB=AC=1，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B（1，0），C（0，1）设P的坐标为（m，0）0≤m≤1，Q的坐标为（0，n），0≤n≤1，∴=（﹣1，n），=（m，﹣1），∴=﹣m﹣n=﹣（m+n）≥﹣2，当且仅当m=n=1时取等号，故的最小值为﹣2，故选：B．5．已知向量，夹角为，||=2，对任意x∈R，有|+x|≥|﹣|，则|t﹣|+|t﹣|（t∈R）的最小值是（）A．B．C．D．【分析】由题意对任意x∈R，有，两边平方整理．由判别式小于等于0，可得（﹣）⊥，运用数量积的定义可得即有||=1，画出=，=，建立平面直角坐标系，设出A，B的坐标，求得|t﹣|+|t﹣|的坐标表示，运用配方和两点的距离公式，结合三点共线，即可得到所求最小值．【解答】解：向量，夹角为，，对任意x∈R，有，两边平方整理可得x22+2x•﹣（2﹣2•）≥0，则△=4（•）2+42（2﹣2•）≤0，即有（2﹣•）2≤0，即为2=•，则（﹣）⊥，由向量，夹角为，||=2，由2=•=||•||•cos，即有||=1，则|﹣|==，画出=，=，建立平面直角坐标系，如图所示；则A（1，0），B（0，），∴=（﹣1，0），=（﹣1，）；∴=+=+=2（+表示P（t，0）与M（，），N（，﹣）的距离之和的2倍，当M，P，N共线时，取得最小值2|MN|．即有2|MN|=2=．故选：D．6．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且=x，则的最小值为（）A．B．2C．D．【分析】设，，由B，D，E，C共线可得x+y=2，可得=（）（x+y）=（5++）【解答】解：设，，∵B，D，E，C共线，∴m+n=1，λ+μ=1．∵=x，则x+y=2，∴=（）（x+y）=（5++）则的最小值为．故选：D．7．已知△ABC中，∠A=120°，且AB=3，AC=4，若，且，则实数λ的值为（）A．B．C．6D．【分析】根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系分析可得•=（λ+）•（﹣）=0，整理变形可得（λ﹣1）3×4×cos120°﹣9λ+16=0，解可得λ的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，△ABC中，∠A=120°，且AB=3，AC=4，若，且，则有•=（λ+）•（﹣）=λ•﹣λ2+2﹣•=（λ﹣1）•﹣λ2+2=0，整理可得：（λ﹣1）3×4×cos120°﹣9λ+16=0，解可得：λ=故选：A．8．已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，设θ为、的夹角，据此依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，设θ为、的夹角，据此依次分析选项：对于A、、是两个单位向量，则、的方向不一定相同，则=不一定成立，A错误；对于B、•=||||cosθ，当、不垂直时，•≠0，B错误；对于C、•=||||cosθ=cosθ≤1，C错误；对于D、、是两个单位向量，即||=||，则有2=2，D正确；故选：D．9．已知：||=1，||=，⋅=0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设=m+n（m，n∈R），则的值为（）A．2B．C．3D．4【分析】由已知建立平面直角坐标系，得到的坐标，结合=m+n求得的坐标，再由与的夹角为30°求解．【解答】解：∵||=1，||=，•=0，∴建立平面直角坐标系如图：则，，∴=m+n=（m，），又与的夹角为30°，∴，则的值为3．故选：C．10．已知，为单位向量，且，向量满足|﹣﹣|=2，则||的范围为（）A．[1，1+]B．[2﹣，2+]C．[]D．[3﹣2，3+2]【分析】由，是单位向量，•=0．可设=（1，0），=（0，1），=（x，y）．由向量满足|﹣﹣|=2，可得（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．其圆心C（1，1），半径r=2．利用|OC|﹣r≤||=≤|OC|+r即可得出．【解答】解：由，是单位向量，•=0，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），由向量满足|﹣﹣|=2，∴|（x﹣1，y﹣1）|=2，∴=2，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，其圆心C（1，1），半径r=2，∴|OC|=∴2﹣≤||=≤2+．故选：B．11．已知平面内任意不共线三点A，B，C，则的值为（）A．正数B．负数C．0D．以上说法都有可能【分析】当不共线三点A，B，C构成锐角三角形或直角三角形时，显然有；当三点A，B，C构成钝角三角形，可设C为钝角，角A，B，C所对边分别为a，b，c，则有c＞a，c＞b，并可得出=﹣accosB﹣abcosC﹣bccosA＜﹣ab（cosA+cosB+cosC）=ab[cosA+cosB﹣cos（A+B）]，说明cosA+cosB+cos（A+B）＞0即可．【解答】解：如果三点A，B，C构成的三角形为锐角三角形或直角三角形，显然；如果三点A，B，C构成钝角三角形，可设C为钝角，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则：c＞a，c＞b；则=accos（π﹣B）+abcos（π﹣C）+bccos（π﹣A）＜﹣abcosB﹣abcosC﹣abcosA=﹣ab（cosB+cosC+cosA）=﹣ab[cosA+cosB﹣cos（A+B）]=﹣ab（cosA+cosB﹣cosAcosB+sinAsinB）=﹣ab[cosA+cosB（1﹣cosA）+sinAsinB]A，B是锐角；∴cosA＞0，cosB＞0，且1﹣cosA＞0，sinAsinB＞