2017高中数学抽象函数专题汇总

三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21xx,使得)()(21xfxf，求函数f(x)的值域。解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若f(0)=0，则f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21xx，使得)()(21xfxf成立矛盾，故f(0)≠0，必有f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此，0)2()(2xfxf,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)0.四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例6、设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足,xxxfxf11,求f(x)的解析式。解:(1)1),x0(xx1)x1x(f)x(f且----,12)11()1(:x1-xxxxfxxfx得代换用（2）:)1(x-11得中的代换再以x.12)()x-11f(xxxf---（3）1)x0(xx2x21xx)x(f:2)2()3()1(223且得由例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:①f(n)0,n∈N;②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2∈N*;③f(2)=4同时成立?若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x(x∈N*)小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.练习：1、.232|)x(f:|,x)x1(f2)x(f),)x(f,x()x(fy求证且为实数即是实数函数设解:02)x(xf3x,x1)x(f2)x1(f,xx12与已知得得代换用，.232|)x(f|,024)x(9f02得由3、函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0，（1）求(0)f的值；（2）对任意的11(0,)2x，21(0,)2x，都有f(x1)+2logax2成立时，求a的取值范围．解：（1）由已知等式()()(21)fxyfyxyx，令1x，0y得(1)(0)2ff，又∵(1)0f，∴(0)2f．（2）由()()(21)fxyfyxyx，令0y得()(0)(1)fxfxx，由（1）知(0)2f，∴2()2fxxx．∵11(0,)2x，∴22111111()2()24fxxxx在11(0,)2x上单调递增，∴13()2(0,)4fx．要使任意11(0,)2x，21(0,)2x都有12()2logafxx成立，必有23log4ax都成立.当1a时，21loglog2aax,显然不成立．当01a时，213(log)log24aax，解得3414a∴a的取值范围是34[,1)4．五、单调性问题（抽象函数的单调性多用定义法解决）.练习：设f(x)定义于实数集上，当x0时，f(x)1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。证明：设R上x1x2，则f(x2-x1)1，f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于f(x1)，因为f(x1)的正负还没确定)。取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f（0）=0,令x0,y=0，则f(x)=0与x0时，f(x)1矛盾，所以f(0)=1，x0时，f(x)10,x0时，-x0，f(-x)1,∴由0)(1)(1)()()0(xfxfxfxff得，故f(x)0，从而f(x2)f(x1).即f(x)在R上是增函数。（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性）练习：已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－21)=0,当x－21时，f(x)0.求证：f(x)是单调递增函数；证明：设x1＜x2,则x2－x1－21－21,由题意f(x2－x1－21)0,∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－21)－1=f［(x2－x1)－21］0,∴f(x)是单调递增函数.练习4、已知函数f(x)对任何正数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x1时,f(x)1。试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性。解:0)x(f,0)x(f,0)x(f)xx(f)x(fRx2故又有对，则则且设,1xx,xx,Rx,x1221211)xx(f)x(f)x(f)xx(f)x(f)xxx(f)x(f)x(f121112111212，所以f(x1)f(x2),故f(x)在R+上为减函数.练习6、.已知函数()fx的定义域为0,1，且同时满足：(1)对任意0,1x，总有()2fx；(2)(1)3f，(3)若120,0xx且121xx，则有1212()()()2fxxfxfx.(I)求(0)f的值；(II)求()fx的最大值；(III)设数列na的前n项和为nS，且满足*12(3),nnSanN.求证：123112332()()()()2nnfafafafan.解：（I）令120xx，由(3),则(0)2(0)2,(0)2fff，由对任意0,1x，总有()2,(0)2fxf（II）任意12,0,1xx且12xx，则212101,()2xxfxx22112111()()()()2()fxfxxxfxxfxfxmax()(1)3fxf(III)*12(3)()nnSanN1112(3)(2)nnSan1111133(2),10nnnnaanaa111112113333333()()()()()23()4nnnnnnnnfafffff111143333()()nnff，即11433())(nnfafa。22112211414414444112133333333333()()()()2nnnnnnnfafafafa故113()2nnfa1213131()1()()()2nnfafafan即原式成立。六、奇偶性问题解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关系（2）已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（D）A.x=1B.x=2C.x=－21D.x=21解析：f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称.注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F（x）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于x=1对称。例15：设)(xf是定义在R上的偶函数，且在)0,(上是增函数，又)123()12(22aafaaf。求实数a的取值范围。解析：又偶函数的性质知道：)(xf在),0(上减，而0122aa，01232aa，所以由)123()12(22aafaaf得1231222aaaa，解得30a。（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：)21()1()1()1(afaffaf或等；也可将定义域作一些调整）例16：定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．解答：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)----①令y=-x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，∴f(x)是奇函数．(2)解：f(3)=log23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)，k·3x＜-3x+9x+2，32x-(1+k)·3x+2＞0对任意x∈R成立．令t=3x＞0，即t2-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．221()(1)2,2101(0)20,20,100,()02(1)80122令其对称轴当即时，符合题意；1+k当时2对任意恒成立解得-1kfttktxkkfktftkk故：3122(3)(392)0时，xxkfkf对任意x∈R恒成立。说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t2-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：分离系数由k·3x＜-3x+9x+2得,1221323,1323xxxxuk而要使对xR不等式231.3xxk恒成立，只需k122七、周期性与对称性问题（由恒等式．．．简单判断：同号看周期，异号看对称）编号周期性对称性1axfaxf→T=2aaxfaxf→对称轴axyfxa是偶函数；axfaxf→对称中心（a,0）yfxa是奇函数2xbfxaf→T=abxbfxaf→对称轴2bax；xbfxaf→对称中心)0,2(ba；3f(x)=-f(x+a)→T=2af(x)=-f(-x+a)→对称中心0,2a4xbfxaf→T=2abxbfxaf→对称中心0,2ba5f(x)=±xf1→T=2af(x)=b-f(-x+a)→对称中心2,2ba6f(x)=1-0)(1xfaxf→T=3a结论：(1)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|(2)函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|(3)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b|(4)应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:y=f(a+x)与y=f(b-x)关于2abx对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点)0,2(ab对称（可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x为对称轴）3、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且11()()22fxfx,则(1)(2)(3)(4)(5)fffff解析：法一：因f(x)为奇函数且关于12x对称，T=2,可借助图象