北京大学量子力学课件-第10讲

第十讲Ⅰ.束缚能级与反射振幅极点的关系束缚态S矩阵的极点在一维情况下，对应的极点应是反射振幅。(1)半壁δ位阱的散射由波函数连续，及其导数的关系（在处）0x)ax(V0x)x(V0axika220ika20ikaekasinkmV2ekasinkmV2eR代入R分母得其中imE2imE2k220asinhmV2e20a200mV2yyyytanh0ay00ay这与直接求解双对称势的奇宇称所得的确定本征值的方程完全一致。(2)有限深方位阱：（）其中,a0ax00ax,0xV)x(V0aksin)kk(iakcoskk2aksin)kk(iR122111121220)VE(m2k21mE2k若位势有束缚态，则，而为R或S的极点。令，ik20)EV(m20aksin)k(iakcoski21221112ak12acottan或Ⅱ.一维谐振子的代数解法：若粒子在中运动。令，则2x21)x(VmΚωEuu)xωm21dxdm2(22222（1）能量本征值定义二个无量纲的算符则有]xˆpˆ)m(i[maˆx12]xˆpˆ)m(i[maˆx12211Hˆaˆaˆ211Hˆaˆaˆ于是，有二个重要结论：A.B.可得若是的本征态，相应本征值为，即则1]aˆ,aˆ[)21aˆaˆ()21aˆaˆ(Hˆ)Hˆ(aˆaˆHˆnuHˆnEnnnuEuHˆ)uaˆ)(E(u)Hˆ(aˆ)uaˆ(Hˆnnnn也是的本征态，本征值为同样有也是的本征函数，相应本征值为，即增加能量。nuaˆHˆnE)uaˆ)(E(u)Hˆ(aˆ)uaˆ(HˆnnnnnuaˆHˆnE本征值恒为正。因此必存在能量最小的本征态这与为最低能量所对应的本征态的假设相冲突，因此由0u0E0uaˆ0E0u0uaˆ0000uEuHˆ0u)21aˆaˆ(。所以，最低能量为任一激发态，在算符的连续作用下，最终必须到态。若经，则的本征值应为0u2121nuaˆ0unu0nnuuaˆnu)21n(，也即。所以，称为声子数算符。谐振子的能量本征值取它的能级是等间距的。0n0nnu)aˆ()21n(u)aˆ()21aˆaˆ(uHˆ0n0nu)aˆ(nu)aˆ(aˆaˆaˆaˆNˆ)21n((2)能量本征函数谐振子的能量本征态，可由作用而获得现求归一化系数假设：是归一化的，相应本征值那aˆ0nnuaˆuSu)21s(suaˆ)211s(所以，至此，对谐振子势下的本征值，本征态都已求出，问题已完全解决。由本征态可求出的任何信息都可由此得到。1suaˆus1s!nu)aˆ(u0nn为要得到在坐标空间中的解析表达式，由其中，是无量纲量，。所以0uaˆ0)dd(2100uuddxm]xˆmpˆ)m(i[21aˆ21x21于是有由归一化2/x212/410222eemu2/02Aeu2/2102eu!nu)aˆ(u0nn221nn2e)dd(!n21而算符2222edde)dd(22222edde)1)(dd()dd(222222222eddeedde)1(2222222edde)1(2nn2nn22edde)1(dd所以，其中它是一多项式，最高幂次为n，系数为；宇称为，被称为厄密多项式（HermitPolynomials）。22nn2n21nn222eedde)1(!n2)x(uxHe!n2n221n222edde)1()x(Hnnnnn2n1（3）讨论和结论A.当粒子运动于谐振子势中，其能量取分立值为一个声子所带的能量。相应的归一化波函数（而）。22xm21)21n(nnu)21n(uHˆ)21aˆaˆ(Hˆ1]aˆ,aˆ[0nnu)aˆ(!n1u0uaˆ0在坐标空间中具体而言xHe!n2)x(un221nn222edde)1()x(Hnnnnx)m(2x21022eux2e2)x(u2x21122]1)x(4[e8)x(u22x21222B.显然是偶函数，而是改变奇偶性的算符，所以的宇称为，即每条能级的宇称是确定的。C.零点能与测不准关系：当体系处于最低态，则对于任何实数A＋B＝C，则有0u)dd(21aˆ)x(unn10202xuxˆpˆm2121Hˆ0AB4C2于是有而所以但由测不准关系要求4m2m22141xˆpˆ2220202x02020xxxx02x02xx0xpppp2px0x02px0x0因而，只有才不违背测不准关系。这表明，处于谐振子势中的粒子，最低能量不能小于。这与经典不同，经典粒子可停在原点，能量为0。D．可以证明：un有n个节点（它是第n+1条解级）2px0x021xHe!n2)x(un221nn2这表明，在和能级之间不可能有另外能级，所以解是完全的。E.递推关系：我们将导出基本的递推关系1.2.)21n()21n(0nnu)aˆ(!n1aˆuaˆ1nu1n01nnu)aˆ(!n1aˆaˆuaˆ3.4.1nunnnuaˆaˆm2xu)u21nu2n(11n1nnnuaˆaˆ2mudxd)u21nu2n(1n1n§3.9相干态（1）湮灭算符的本征态令于是有aˆcccVVaˆnnncubVnnncuaˆbVaˆnnnunb1nnnubc可得由归一化得!ncbbcbnbnnnn01cV1220220cnnc*ceb!ncbrdVV2210ceb所以相应于本征值为的归一化本征态我们看到，，没有共同的本征态，但其线性组合aˆc02102122ueu!nceVaˆccnnnccxˆpˆ]xˆpˆ)m(i[maˆx12有本征态。这类态称为相干态。它有性质：A.在该态中位置和动量满足最小测不准关系21xpxdxu!scxˆu!ncedxVxˆVxss,ns*nncc*c*2dx)usus(m!scu!ncess,nss*nnc*112122同理有nnnnc))!n(c!nc(m!nce*12112)cc(m*2dxu!scpˆu!ncedxVpˆVpss,nsx*nnccx*cx*2)cc(mi*2于是有)ccc(mdxVxˆVx*c*c22222212)ccc(mdxVpˆVp*cx*cx22222212mxxx2222∴2222mpppxxx21xpxB.相干态随时间的演化若处于谐振子势的粒子，在时，处于相干态，则时，体系的波函数为0tcVtc/tHˆicVe)t,x(V0212nn/tHˆincue!nce021212nnt)n(incue!ncetice/tiVe2于是这表明的本征值在时为，而在时刻为我们有平均值)Ve(ceVeaˆtitice/titice/ti22aˆ0tctticedx)t,x(Vaˆ)t,x(Vaˆc*c我们也有平均值dx)t,x(V]xˆpˆmi)[t,x(Vmcx*c12]xˆpˆ)m(i[mx12ticedx)t,x(Vaˆ)t,x(Vaˆc*c]xˆpˆ)m(i[mx12所以，ti*ec)aˆaˆ(m)t(xˆ2)tcos()(x0)ecce(mti*ti2其中cm)(x20i)aˆaˆ(m)t(pˆx2)tsin()(xm0i)ecce(mti*ti2它随的演化很接近经典谐振子的运动。tC.本征值为实的相干态正是受迫振动的基态这时，体系的哈密顿量为于是，我们有其中FxxmmpˆHˆx222212202202221212xm)xx(mmpˆHˆx20mFx如令则令0xxX20222221212xmXmmpˆHˆXX]Xˆpˆ)m(i[mAˆX121]Aˆ,Aˆ[]Xˆpˆ)m(i[mAˆX12)AˆAˆ()AˆAˆ(xmHˆ212121202XnnXnXnVAˆ)E(V)Hˆ(AˆVAˆHˆ20221xmHˆHˆXnnXnXnVAˆ)E(V)Hˆ(AˆVAˆHˆ它的基态满足而00XVAˆ]Xˆmpˆ)m(i[AˆX2121)]xxˆ(mpˆ)m(i[X02121所以即这表明这时02xmaˆ0200XV)xmaˆ(XXVxmVaˆ0002cXVV002xmc所以，是哈密顿量的相干态。XV0222212xmmpˆHˆx第四章量子力学中的力学量§4.1表示力学量算符的性质（1）一般运算规则：一个力学量如以算符表示。它是一运算代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从Oˆ)z,y,x()z,y,x(Oˆ)z,y,x()z,y,x(Oˆ例：，于是/pˆiaxeOˆ)x(e)x(Oˆdxda0nnnn)x(dxd!n)a()ax()x(即将体系的几率密度振幅沿x方向移动距离a.A.力学量算符至少是线性算符；量子力学方程是线性齐次方程。由于态叠加原理，所以在量子力学中的算符应是线性算符。所谓线性算符，即例如1.Oˆc)c(Oˆ22112211OˆcOˆc)cc(OˆHˆti122211cc例如2.对不显含时间的薛定谔方程若，，则22112211tictic)cc(ti2211HˆcHˆc是线性算符仅当Hˆ)cc(Hˆ2211EHˆ11EHˆ22EHˆ2211cc量子力学不仅要求力学量算符是线性算符，而且方程是线性齐次，)cc(E22112211EcEc2211HˆcHˆc)cc(E)cc(Hˆ22112211是线性算符仅当Hˆ方程就不行。因B.算符之和：表示，对任意波函数进行变换所得的新波函数完全相等，即AOˆAOˆ1AOˆ2A)cc(AOˆcOˆc)cc(Oˆ2122112211BˆAˆOˆOˆBABˆAˆ)BˆAˆ(C.算符之积:表示，对任意波函数，有，则D.逆算符：算符将任一波函数若有另一算符使则称为的逆算符，