北京大学量子力学课件-第29讲

第二十九讲Ⅰ.变分法A.体系的哈密顿量在任一满足物理要求的试探波函数上的平均值必大于等于体系基态能量0EHˆHB.Ritz变分法基本思想：根据物理上的考虑，给出含一组参量的试探波函数※求出能量平均值),,,r(21),,(HHˆ21※对，求极值，从而确定显然，（基态能量）例：求氦原子的基态能量(即外有两个电子)氦原子的哈密顿量为（忽略）,,21,,020100201E),,(Hsl2122212222212rrerezrezμ2μ2Hˆ从物理上考虑，当二个电子在原子中运动，它们互相屏蔽，使每个电子感受到原子核的作用不是两个单位的正电荷，而是比它小。究竟是多少？很自然可把它当作待定参量，利用Ritz变分法来求基态能量的近似值。因类氢离子的基态波函数为0azr21303ar3100e)az(ea1)z,r(则满足所以，取试探波函数为22ezμa0224ee),r(n2022n222na2eλ)λ,r(φ)reλμ2(00303021a)rr(ea)(显然，于是)λ(ψa2eλ)λ(ψ)reλμ2(022i22i2220eμa21212221222221222rdrd)()rrerezrez()()(H*)]165z(λ2λ[ae2020)]165z(2λ2[(aeλH02165z0220ae)165z()165zλ(HERitz变分，是由给定（函数形式给定），即，仅改变参量，使取极小（但函数形式不变），所以只能得到近似的本征函数和本征值的上限。eV38.77)eV975.78(实验值为),,,r(21,2,1HⅡ.量子跃迁要处理的问题是：体系原处于的本征态（或叠加），而后有一与有关的微扰作用到该体系。于是体系可能从一个态以一定几率跃迁到另一态，称这一现象为量子跃迁。处理这样的问题就需要利用含时间的微扰论（1）含时间的微扰论0Hˆt)t(Hˆ1与有关，体系的哈氏量原为，随有一微扰时，体系处于的本征态，相应的定态为Hˆt)Pˆ,r(Hˆ0t)t,r(VHˆti)t,r(VHˆ)t(Hˆ00t)t,r(e)r()t,r(ktiEk0k)r(k0Hˆ当然，仍可按的定态展开。但由于不是的定态，所以展开系数是与有关。Hˆtit,rVHˆHˆ00HˆnnHˆt'n'n'n)t,r()t(a)t(于是有)EE(0'n0n'nn)t(aeV)t(adtdi'n'nti'nnnnnrd)r()t,r(V)r(V'n*n'nn时，体系处于因此，在时刻，测量发现体系处于态的几率为0tt00ktiEk0ke)r()t,r(tt1ti1nk)1(kn01nkdte)t(Vi1)t(at)t,r(n21ti1ttnk22)1(knnkdte)t(V1)t(aP1nk0（2）常微扰下的跃迁率：在某些实验中，在作用时间内,微扰常常是不依赖于的（）tt01tink)1(kndteVi1)t(a1nkrd)r()r(V)r(Vk*nnknktinknke1V10)0(a)1(kn单位时间跃迁几率（称为跃迁速率或跃迁率）它表明：①跃迁率与时间无关。通常称为Fermi黄金定则;②当一定大后，跃迁贡献主要是来自同初态能量相同的末态。)E(V2w0kf2nkρπ0k0nEEtB.周期性微扰下的跃迁率设：微扰随时间作周期性变化与t无关在一级近似下)ee(Vtcos)r(VVtiti2000V11nkt0ti)1(kndt)t(Vei1a1nk根据前面分析，当t足够大时，引起体系从的态发生跃迁到的态的总跃迁率，是.于是有跃迁率为)e1e1()2V(1nkt)(inkt)(ink0nknk0Hˆ)r(0kφ0Hˆ0n0nk)EE()2V(2w0k0nf2nk0C．辐射场下原子的跃迁率当微扰影响较小时，一级近似很好现考虑原子被置于一个纯辐射场中在原子区域中，无外电场。21t0tink12nkdte)t(V1P1nk02V)AˆePˆ(m21Hˆ0因。于是有（电磁场弱，忽略项）由于满足令A0tAc1A2222de)(AA)crnt(i0)(An0APAmeVm2PHˆ022A且有（由于为实）在电磁波很弱的条件下，一级微扰很小，则可以证明即受激辐射和退激发跃迁几率相等。2)crn(it0t)(i1222nkkPˆen)(AdedtmeP1nkωωωωωnkknPP)(A)(A*A2012221*)crn(itt)(inPˆek)(Adedtmekn2012221kPˆen)(AdedtmeP)crn(itt)(inknk2012221*)crn(i*tt)(inPˆek)(Adedtmekn2012221*)crn(i*tt)(inPˆek)(Adedtmeknnk)crn(itt)(iPnPˆek)(Adedtmekn2012221同样可以证明在①弱辐射场②长波近似③辐射是非极化的（极化各向同性，等几率）条件下：单位时间跃迁几率，即跃迁率2nknk2202nkr)(u344ew12nknkrncrn其中为能量密度分布，即光强度分布。为单位时间通过垂直传播方向上的单位面积的能量分布。)(unk)(cunk200c1Aμ1H0（3）磁共振均匀磁场（在Z方向），将使电子的简并态（自旋）发生分裂，其能量差其中当电子吸收一光子，则将电子激发到较高能级，即自旋向上的态。0B,002BEEEBmeB2A.跃迁几率和跃迁率设：有一垂直于静场的磁场。于是，总磁场为若振荡场比静场小0B0BBtsinbBtcosbBzyx电子的总哈密顿量在表象，即在表象，中0Bb0HˆzSˆHˆHˆHˆ000000BB)Hˆ(BB00tiBtiBbebeHˆ设时刻，电子自旋态的本征值为。在一级近似下，从本征值为的自旋态跃迁到本征值为的自旋态的几率0t222202201000011ttBitiBtiBtdebebePB202201tt)(iBtdeb若为单位频率中的态密度，则总的跃迁几率为20022121t)(tsinbtB)(I0dPIQ(若t足够大或在共振区变化很缓慢)dt)(tsinbtIB200202121tIbB022I所以，单位时间的跃迁几率（跃迁率）为022IbWB022IHB.两能级间的震荡电子的总哈密顿量在表象，即在表象中为设时刻，电子状态或称自旋态的表示为0HˆzSˆ00BbebeBHˆBtiBtiBBt21cct于是有210021ccBbebeBccdtdiBtiBtiBB2101cbecBcitiBB2012cBcbeciBtiB1012cebBcebictiBBtiB01202010012c])B()b(B[c)BB(icBBBBB令tiec102020222])b(B)B[(BBB2])b(B)B[(42B0B20B2242220)b()B(BB所以，时，有解时，有解titiB2B20B0Bti21eeb2)b(4)B2(B2ecctitiB2B20B0Bti21eeb2)b(4)B2(B2ecc于是有普遍解为tititi2B20B0BB21eee)b(4)B2(B2b2cc2211tBcAcBcAc其中tititi22ti22tie]Bee24KKA[e4KK2BAe,/B2K00B/bB若，电子处于本征值为的本征态，其表示即为则要求0t0Hˆ0BB1004KK2BA221B24KKA22所以，1BB24KK4KK2222214KK4K2B222222224K24KKB最后有解2222224K24KK4KK2A224K2211BcAcBcActtiti2222ti2222ti22ti22e]e4K24KKe24KK4K[e4Ke4K)]t24Kcos(4K)t24Ksin(iK[4Ke)t24Ksin(e4Ki2222222222/ti222/ti22时刻，处于本征值为的本征态，其表示即为的几率为仍处于本征值为的本征态，其表示即为的几率为t0Hˆ0BB01)t24K(sin4K4P222222B0B0Hˆ0BB10我们直接看到，电子所处的态随时间在这两个态之间以一定的几率震荡。)t24K(sin4KK)t24K(cosP222222222B0BC.一级近似公式的精确性我们能直接看到，在时，精确解和一级近似解才符合。1t§8.4散射（1）一般描述：在束缚态问题中，我们是解本征值问题，以期与实验的能量测量值比较。而在散射问题中，能量是连续的，初始能量是我们给定的（还有极化）。这时有兴趣的问题是粒子分布（即散射到各个方向的强度）。所以散射问题（特别是弹性散射），主要关心的是散射强度，即关心远处的波函数。