北京大学量子力学课件-第25讲

第十五讲第二十五讲Ⅰ.Einstein-Podolsky-Rosen佯谬和Bell不等式不等式(1)Einstein-Podolsky-Rosen佯谬()y爱因斯坦，帕多尔斯基和罗森认为：两个粒子构成个量子力学态对个粒子的测量粒子构成一个量子力学态。对一个粒子的测量将直接得知另一个粒子的状态。将接得知另个粒子的状态例：2121xxx,x该态在动量表象中的表示为2121ppp,p爱因斯坦等认为，当测量第一个粒子的坐标，测得值为则第二个粒子的坐标必为0x0x测得值为，则第二个粒子的坐标必为；测量第二个粒子的动量，测得值为，那第一0x0x0p个粒子的动量必为。所以，0p都是物理实在（即都有确定值），且坐标和动量可同时具有确定值iip,x坐标和动量可同时具有确定值。这与两个自旋为的粒子处于自旋210S的态是等价的。考虑两个自旋为的粒子处于自旋单态。21考虑两个自旋为的粒子处于自旋单态。在初始时，它们在一起，而后分开很大的距离，21在初始时，它们在起，而后分开很大的距离，但仍处于自旋单态。一旦测量第一个粒子的自旋那直接允许我们去推断第个粒子的自旋旋，那直接允许我们去推断第二个粒子的自旋，它始终与第一个粒子的自旋相反。它始终与第个粒子的自旋相反。量子力学否认这些假设，认为即使两个粒子离开很远对第个粒子的测量将影响第二子离开很远，对第一个粒子的测量将影响第二个粒子的状态；另外，粒子本身并没有这种实身实在性（即粒子的所有物理量都有确定值）。（2）ii（2）BellInqualities两个自旋为的粒子系统处于自旋单态21两个自旋为的粒子系统处于自旋单态1z),,(210,0)(1nˆ),,(21这是一个纠缠态。显然，在这个态中，测量第一个粒子（在方向）得到某一结果，则知道第二个粒子随之测量（在方向）的结果。zz知道第二个粒子随之测量（在方向）的结果。现考虑对它们的自旋沿不同方向进行相继测量第个粒子沿方向测量第个粒子沿zˆ量。第一个粒子沿方向测量，第二个粒子沿方向测量。它们的测量结果都为。aˆbˆ1如，方向相同，则平均值为。如方向相不同这相关联测aˆbˆ1ˆbˆ如，方向相不同，这一相关联测量的平均值为ab0,0bˆˆaˆˆ0,0)bˆ,aˆ(C210,0ba0,0)b,a(C21)bˆˆ(不失般性假设在方向cos)baˆ(ˆˆ证：不失一般性，假设在方向，在平面aˆzbxz在平面1212121bzbzˆˆˆˆ()bˆ,aˆ(C)ˆˆˆˆbzbz2121令与轴间的夹角为，则bˆz令与轴间的夹角为，则cosˆsinˆ(1)bˆaˆ(C22cossin(2)b,a(C2z2x)cosˆsinˆ)cossin2z2xA对两个处于自旋单态的粒子在三个cosA.对两个处于自旋单态的粒子，在三个不同方向测量它们的自旋。不同方向测量它们的自旋。根据定域隐变量理论，它们的关联测量平均值的关系为均值的关系为1)ˆbˆ(C)ˆˆ(C)bˆˆ(C1)cˆ,b(C)cˆ,aˆ(C)b,aˆ(C这称为Bll不等式这称为Bell不等式。而对这一关联测量平均值的关系，量子力学的预言为)cˆbˆcos()cˆaˆcos()bˆaˆcos()cˆ,bˆ(C)cˆ,aˆ(C)bˆ,aˆ(C若在测量时取个方向共面ˆbˆˆ若在测量时，取三个方向共面，且cˆ,b,aˆ且bˆaˆ,ba,2cˆaˆcˆbˆ于是cos2coscos)cˆ,bˆ(C)cˆ,aˆ(C)bˆ,aˆ(C实验结果与量子力学的预言符合。。B.对两个处于自旋单态的粒子，在四个不同方向测量它们的自旋同方向测量它们的自旋。根据定域隐变量理论，它们的关联测量平均值的关系为2)cˆ,aˆ(C)bˆ,aˆ(C)cˆ,aˆ(C)bˆ,aˆ(C这为另一个Bell不等式。而根据量子力学，的平均值的绝对值g而根据量子力学，的平均值的绝对值应为)cˆaˆcos()bˆaˆcos()cˆaˆcos()bˆaˆcos(g显然，当共面，并取,bˆ//aˆaˆ,cˆ,bˆ,aˆ,bˆaˆ,,4bˆaˆcˆaˆ2cˆaˆ,这时这时222221g这与定域隐变量理论所推得的不等式是不相符合的相符合的。若取共面，aˆ,cˆ,bˆ,aˆbˆaˆcˆaˆ,ba,cabˆˆ3cˆaˆ则有,ba3ca则有3333coscos33coscoscoscosg同样，实验的测量结果是与量子力学的预言符合言符合。实验证实了定域隐变量理论是不正确的。Einstein-Podolsky-Rosen的假设是不成立的Einstein-Podolsky-Rosen的假设是不成立的Ⅱ.全同粒子交换不变性－波函数具有确定的交换对称性交换对称性各种微观粒子有一定属性。实验证明每一种粒子，都是完全相同的（如两个氢原子中的质子或电子都样）经典物理中我们能按质子或电子都一样）。经典物理中，我们能按轨道来区分同一类粒子。但从量子力学的观点来看，情况就发生变化它的描述不能用轨道概念而只能用波函化。它的描述不能用轨道概念，而只能用波函数或根据一些力学量完全集来描述粒子所处状数或根据些力学量完全集来描述粒子所处状态。即个粒子处于态；个粒子处于态或这些态的叠加态上但它不可能告1n12n或这些态的叠加态上。但它不可能告你，那一个粒子处于态，那一个粒子处21你那个粒子处于态那个粒子处于态。如2如)r()r(2121)r()r(1221对它进行测量是分不清两者的差别。它们每一21个都不能用于对二个全同粒子的描述。全同粒子交换是不可观测的。（1）交换不变性（1）交换不变性由于体系具有交换不变性，时经交换后0t具演化到，应等于演化到再进行交换，即0tt)t,r,r(P)t,t(U)t,r,r(P0211202112由的任意性所以)t,r,r()t,t(UP021012由于的任意性，所以00P)t(U)t(UP121200P),t(U),t(UP/t)p,r,pˆ,r(Hˆie),t(U22110由于任意),(t于任意即0]Hˆ,P[12即)PrPr(Hˆ)PrPr(Hˆ11222211)P,r,P,r(H)P,r,P,r(H11222211P是运动常数。若是的本征态，则12P)t,r,r(2112P若是的本征态，则)t,r,r(2112)t,r,r()t,r,r(P2121121因此，有两种态，一种是交换下不变，称为对称态另种是交换下改号称为反对称态为对称态；另一种是交换下改号，称为反对称态)t,r,r()t,r,r()t,r,r(P21s12s21s12)trr()trr()trr(P21A12A21A12)t,r,r()t,r,r()t,r,r(P21122112显然)t,r,r()P1(1)t,r,r(211221s)t,r,r()P1(2)t,r,r(2112211A)t,r,r()P1(21)t,r,r(211221A下面一些结论是重要的：下面些结论是重要的：A.由于是一运动常数，因此一开始体系处于某种交换对称态下则以后任何时刻都处某种交换对称态下，则以后任何时刻都处于这态下；于这态下；B.与其他运动常数根本不同之处在于，体系称态称态这粒系要么处对称态，要么处于反对称态。这是粒子固有的属性，而不是人为地给－初条件所能子固有的属性，而不是人为地给初条件所能改变的；C.实验表明：具有自旋为半整数的粒子体系。当两粒子交换，波函数反号，即处于反对系。当两粒子交换，波函数反号，即处于反对称态；而自旋为整数的粒子，两者交换，波函数不变，即处于对称态。(2)全同粒子的波函数结构，泡利原理：忽略粒子间的相互作用则全同粒子的哈氏忽略粒子间的相互作用，则全同粒子的哈氏量为单粒子哈氏量之和)pˆ,rˆ()pˆ,rˆ()pˆ,pˆ,rˆ,rˆ(Hˆ22112121显然，对任何一粒子，其哈氏量的形式完全显然，对任何粒子，其哈氏量的形式完全相同22)r(V2)pˆ,rˆ(hi2iii单粒子的能量本征方程为)()()ˆˆ(h)r()r()pˆ,rˆ(hkkk)()()ˆˆˆˆ(ˆ)r,r(Eu)r,r(u)pˆ,pˆ,rˆ,rˆ(HN1N1E2121)pˆ,rˆ(h),2,1(Hˆiii它的一个特解为i)r()r()r()N,2,1(uN21EN21N21E但它不能作为体系的态函数，因体系真正的态函数必须满足定的交换对称性的态函数必须满足一定的交换对称性。A．N个费米子的波函数，泡利原理个费米子的波函数泡利原由于费米子的波函数交换一对费米子是反对称的因此它可以如此来构成对称的，因此，它可以如此来构成：取作为标准排列。)r()r()r(N21N21取作为标准排列。是经过某一置换)()()(N21N21)r()r()r(NN2211N21P来实现N21P由于对换（transposition）一对粒子，波函数改号而对某置换（Ptti）波函数改号。而对某一置换（Permutation）它相应的对换数的奇偶性是一定的。因此，置它相应的对换数的奇偶性是定的因此置换后的这一项的符号与标准排列项的符号差别取决于该置换的对换数的奇偶性取决于该置换的对换数的奇偶性。如如67123452345176812345678234517686712131415所以有5个对换其符号为负号所以有5个对换，其符号为负号。设一个置换对应的对换数为，则真P正的波函数应为)]r()r([P1AN1N1）（)]()([N1N1置换求和对所有置换求和这即行列式定义这即行列式定义)()()()r()r()r(N21111)r()r()r(AN21222)r()r()r(N21NNN例如：对N＝2)]r()r()r()r([A)r()r(A12212111)]r()r()r()r([A)r()r(A122121212122可以看出，任意两个粒子变换（即两列交换）改号若与态是完全相同的换）改号。若与态是完全相同的态，那。这表明，对两个全同的费米子120态，那。这表明，对两个全同的费米子不能处于这种态中，于是我们有下面的原理：0泡利原理（pauliexclusionprinciple）：在客观实际的体系中没有两个或多个全同费在客观实际的体系中，没有两个或多个全同费米子可处于一个完全相同的单态中（或：全同米子可处于个完全相同的单态中或全同费米子体系的态中，具有同样量子数的单态不大于）大于1）。对于个粒子，有项（有个置换），N!N!N对于个粒子，有项（有个置换），而每一项，费米子处于这个单态上的分布都交!NN是不同的，因此各项之间是正交的。!NAdd22!NArdrd2N12所以，对于个无相互作用的全同费米子体系的归化反对称波函数为N体系的归一化反对称波函数为)()()()r()r()r()r()r()r(1)(N21N21A222111)r()r()r(!N)rrr(N21N21A222N21