四年级奥数详解答案-第4讲-幻方

四年级奥数详解答案第4讲第四讲幻方一、知识概要1.幻方是一种特殊的数阵图，就是把一个正(长)方形平均分成若干格，要求把若干个连续的自然数填入方格中，且使每行、每列、每条对角线上的数的和都相等。这个“相等的和”就叫幻和。9个方格(3×3个)的叫三阶幻方，16个方格(4×4)的叫四阶幻方，25个方格(5×5)的就叫五阶幻方，依此类推。2.三阶幻方的特点：①幻和二九个数之和÷3②幻和二中心数×3③九个连续的自然数中，第五个数是中心数，第一、三、七、九是中心数四角上的数(注意：最大数和最小数填在相对的位置上)二、经典例题精讲1.将1～9九个数字填在图中的方格中，使每行、每列、每条对角线上的数的和都相等。分析指导：这是一个三阶幻方，中心数(5)填中间，第一、三、七、九四个数就中心数四角上的数。如图所示：(这里我们不难看出一个特点：最大数都填在最小数的相对位置上。如：8219)2.将1～16这十六个数分别填在四阶方阵的各个小格中，使其构成一个四阶幻方。分析指导：这是一个四阶幻方。四阶幻方有个特殊的方法—保持两条对角线上的数不变(先按从左到右、从上到下的顺序把1～16填好)，然后，1列和4列、2列和3例互相对换，最后，再将1行和4行、2行和3行对调。这样两次对换后，四阶幻方就成了。如下图所示。这种方法，也可以这样理解：除了两条对角线上的数，剩下的四列、四行的数就构成两个重叠的矩形，8个数字就在8个顶点位置，然后按矩形对角线方向交换位置即成。如下图所示：3.将1～9这九个自然数填入图中的方格内，使每行、每列及对角线上的三个数中，两端之和减去中间数所得差都相等(差阵图)。分析指导：这是个特殊的数阵图，叫差阵图。这里有个数的方法—从1～9这九个自然数中选数，按照口诀“二四为足，六八为肩，左三右七，上九下一，五居中间”，把数填入每个方格中即成。结果如下图所示：4.将1～13中的12个数字，填入图中的空格中，使每一横行四个数之和相等，每竖列三数之和也相等。分析指导：设每行的和为S，每列的和为A，1～13中没选入的那个数为a，则依题意有：3S=4A=(1+2+3+…+13)-a=91-a3和4互为质数(91-a)一定是12的整数倍12的整数倍有：12、24、36、48、60、72、84a=7从而可知：S=(91-7)÷3=28，A=80÷4=21；四数之和为28的有：13+10+4+112+11+3+29+8+6+5；三数之和为21的有：13+6+212+5+411+9+110+8+3。结果填法，如图所示三、练习巩固与拓展1.把3～11这九个数填入图中的方格中，使它构成一个九宫差阵(即每行、每条、每条对角线上的数，两端之和减去中间数差都相等。)2.在图中的空格内各填入一个数字，使得每行、每列、每条对角线上方格中的四个数都是1、2、3、43.在下列各图的空格里，填上适当的数，使横行、竖行及两条对角线上三个数的和都相等。(数字不能重复)4.将4、5、6、10、11、16、17、18这九个数填入九宫格中，使每行、每列及每条对角线上三个数的差都相等。见下图：5.将21～29这九个数填入下图中，使每行、每列、每对角线上三个数的差都相等。6.将3、6、9、12、15、18、21、24、27这九个数填入九宫格里，使每行、每列及每条对角线上三个数的和都相等。7.将2～17这十六个数填入下面各方格里，使每行、每列及每对角线上四个数的和都相等。8.将1、3、5、7、9……29、31这十六个奇数填入图中的方格里，使每行、每列及每对角线上四个数的和都相等。9.将1～16这些自然数填入图中的○内，使五个正方形的四个顶点上的○内的数之和都等于34.10.将1～9这九个数填入图中的空格中，使每二行组成的三位数是第一行的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍。第四讲练习巩固与拓展答案1.根据3、4、5、6……11的顺序，按照“二四为足，六八为肩，左3右7，上九下一，五层中部”的口诀填即成。2.这道题有两个突破口：其一是第一行，因为两端为1、2，加上第三列有个“3”，所以可以确定第二格为4，第三格为3，其二是第四列，由于第三行有个“3”，因而，第四列中间上格填“3”无疑，下格是4。3.(提示：幻和要为3的倍数)4.提示：4+5+6+10+11+12+16+17+18=99幻和=335.提示：21+22+…+29=(21+29)×9÷2=225幻和=225÷3=756.提示：3+6+9+12+15+18+21+24+27=135幻和=135÷3=457.提示：(2+3+…+17)=152幻和=152÷4=38见图：8.1+3+5+…+31=256幻和=256÷4=649.(1+2+3+…+16)=136四个顶点上的数的和为136÷4=34(初步确定后再作调整，使中间那个重复的正方形的四数之和也等于34。10.提示：(1+9)×9÷2=45幻和=45÷3=15基本确定位置再适当调整，考虑倍数关系，第一行的“个位”有两种可能：2或3，相应第二行的“个位”是6或4，第三行的“个位”是9或6，经尝试，2、4、6合符要求。