磁偶极矩

磁偶极矩(magneticmoment)房增科（2007-11-20）1定义]1[载流平面线圈的电流强度I和线圈面积S的乘积叫做载流线圈的磁矩。用m表示线圈的磁矩，n表示线圈平面法线方向的单位矢量，则nISm。（1）磁矩是一个矢量，它的方向与线圈平面法线方向一致。载流线圈的磁矩一般计算方法为ldrIm21（2）2磁偶极矩产生的场和磁标势（1）利用磁势法来求解]2[如图1所示，建立坐标系，与x轴对称的两个电流元Idl在考察点0,,rP产生的合成矢位只有分量。则该环形电流所产生的矢势为sin4220rIaee（3）考虑到2aIeSImz得rmremAr144020（4）则磁偶极子m产生的磁感应强度B为rmAB140mrrm0304（5）其中34rrmm称为磁标势。（2）利用毕—萨定律来求解]4,3[建立如图3所示直角坐标系，半径为a，通有稳定电流I的带电圆环平放在xoy平面，由对称性可知空间各点的磁感应强度关于Z轴对称。若求得在XOZ平面上的磁场分布就可求得空间任意点的磁感应强度。设),,(zyxP为XOZ平面上任意点在圆环上任一点RrdIdla,,0Prxyz图12dA1dAey图2处的)0,,(yxQ取电流元lId为djialId)cossin(（6）电流元到P的矢径r为kRjaiaRrcos)sin()cossin(（7）将这（6）和（7）式代入毕—萨定律得到P点的磁感应强度kBjBiBRaaRdkRaajRaiRarrlIdBzyxO202322203)cossin2(])cossin(sincoscoscos[44（8）式中的10cos2ARaIBx，0yB，10020sin22ARaIAIaBz（9）其中02222/122223220)2()2(2)cossin2(axaxzaxaxzERaaRdA（10）]2[)2(1)cossin2(cos2222222/1222023221EaxaxzaxzKaxaxzaxRaaRdA（11）根据文献[4]最后的计算结果为])([])([22222221220EaxzaxzKaxzxzIBx])([])([122222221220EaxzaxzKaxzIBz（12）其中EK,分别为第一，二类完全椭圆积分axazxaxkkkEkkK24]64341[2]64941[222224242(13)对于0A，我们若忽略4k及其高级项，则得RrIdlaxyz图3),,(zyxP)0,,(yxQ2/32220)(axzA（14）对于1A，因为2k项相互抵消，故保留4k项，忽略6k及其高级项，得2/12221)(138axzA（15）我们将(14)式和(15)代入（9）式有2/522220)(43azxxzIaBx2/52222202/322220)(43)(12azxxIaazxIaBz（16）（12）式和（16）式都是我们所求得的载流线圈外任意一点处的磁感应强度。其中（16）式是当1k时，环形电流所产生的磁感应强度。特别的，当0x时2/32220)(120azIaBBzx（17）这正是在普通物理中所求得的环形电流轴线上的磁感应强度表达式。下面来讨论两个特殊点处的情况。（1）在圆心处，0z，由（17）式得aIB200（18）（2）在远离线圈处，即az，rz，则轴线上各点的B值近似为3032022zISzIaB（19）其中（18）式和（19）式中B的方向均沿线圈的法线方向。3外磁场中的磁偶极子]2[磁偶极子在外磁场eB中的势函数为eBmU此式与电偶极子在外电场中的能量EpU完全相对应。磁偶极子在外磁场eB中所受的力为eeeeBmBmBmBmUF)()(（20）在这里我们运用了0eB，这是由于产生外场的电流一般都不出现在磁矩m所在的区域内。磁偶极子将倾向于朝磁场方向转动，它所受的力矩为sincoseemBmBU考虑力矩的方向，我们得eBm（21）（20）式和（21）式的形式与电偶极子在外电场中相应的公式完全对应。参考书目：[1]徐龙道.物理学词典北京：科学出版社2004,164[2]郭硕鸿.电动力学北京：高等教育出版社1995,115-118[3]李永平,张帆环形电流的磁场分布济南大学学报1998,vol.8num.4[4]王竹溪,郭敦仁特殊函数概论北京：科学出版社1979,621