光线斜入射时的光栅方程及研究

光线斜入射时的光栅方程及研究摘要：通过平行光垂直入射光栅表面时的光栅衍射公式，应用理论分析及数学推导，得出平行光线斜入射光栅表面时的光栅衍射公式、光谱波长及主极大，与此同时也对缺级条件进行了讨论。这种研究对光学实验的观测,以及在进行数字化检测时通过应用是有益处的.关键词：光栅衍射、主极大、缺级目录引言................................................................11光栅的相关知识....................................................12平行光垂直光栅入射................................................12.1垂直入射时的光栅方程..........................................12.2光栅的两个重要参数............................................33平行光斜入射光栅..................................................33.1平行光斜入射时的光栅方程......................................33.2平行光斜入射时的条纹分布情况..................................63.3关于斜入射时的主极大及其级次..................................73.4光栅衍射在斜入射时出现缺级的条件及角色散......................9结束语..............................................................9参考文献...........................................................101引言波在传播过程中通常会表现出不沿直线传播而向各方向绕射的现象，我们称这种现象为衍射现象。但是一般看来光的传播总是沿着直线进行，并且在传播过程中如果遇到了不透明的障碍物时，就会投射出清楚的影子。表面上看来，光的衍射和它的直线传播好像是两种互相矛盾的现象。光的直线传播现象还表明一般的波动与光是有差别的。那么如何才能合理解释这个矛盾呢?其实是因为，光波的波长大约为m7-7-106.7~109.3，而常见的孔隙或障碍物的大小都远远超过了这个数值，从而通常显示出的现象是光是沿着直线传播的。只有光在传播的时候遇到的孔隙或是障碍物的大小的数量级与波长相差无几时，光的衍射现象才会变得明显起来。应用这种多缝衍射原理我们可以制作一种非常优良的分光元件——衍射光栅，其在很多的科学技术领域都有会用到这种元件。分光计（又名分光仪）是一种经常使用的光学测角仪器，它的主要功能有两个——产生平行光和精密测量角度。在物理学实验中，光栅测定光波长的实验就需要用到这种仪器。实验室目前常用的分光计主要有JJY型和01-FGY型两种，它们不仅是在构造方面大同小异，而且调节原理也是相同的。望远镜（用于观察和确定光线进行方向）、平行光管（获得平行光束的仪器）、载物台（光学元件可放置在上面）和读数系统（用于确定望远镜光轴与载物台的相对方位）是构成分光计的四部分。对于实验的顺利进行和完成，分光计的调节具有十分重要的意义。然而它的调节比较繁琐复杂，实验者通常在操作过程中,能够调节分光计的载物台达到光栅面与望远镜光轴垂直，也能够调节分光仪的载物台达到光栅刻痕与狭缝平行，但在测量谱线衍射角之前，却很难旋转载物台使已经调好的光栅面与平行光管光轴垂直（即入射光没有垂直照射在光栅面上）。1光栅的相关知识光栅可以分为透色光栅（可运用于透射光衍射）和反射光栅（可运用于反射光衍射）两类。其中的透射式平面光栅实际上就是通过刻划大量相互平行、相等宽度和相等间隔的刻痕制在一块透明的光学玻璃上作而成的。通常地，在光栅上，每毫米都会刻划有几百甚至几千条刻痕。当光照射在光栅上面的时候，由于散射的存在，在刻痕处光不容易透过，那么玻璃上未经刻划的部分就变成了能够透光的狭缝。由于光刻光栅的制作相当困难，并且十分昂贵，因而复制光栅和全息光栅是常用的光栅。2平行光垂直光栅入射2.1垂直入射时的光栅方程2设透射光栅的总缝数为N，缝宽为a,缝间不透光部分为b，dba称为光栅常量[4]。光线垂直光栅入射的时候，透过光栅上面每个缝的光都会发生衍射，其中这N个缝的套N衍射条纹通过透镜后将会完全重合，而透过光栅不同缝的光则会发生干涉现象。由此可知，单缝衍射以及多缝干涉的总的结果便是光栅的衍射条纹，也就是说个缝N的干涉条纹其实是要受到单缝衍射的调制。明晰锐利的明条纹最终出现在了凸透镜的后焦平面的背景之中，称为谱线。图1——栅衍射示意图平行光垂直入射时的光通过分析可得，出现亮条纹的位置符合光栅方程,...3,2,1sinsinkkbadkk（1）其中，k表示谱线的级次；为入射光的波长；为衍射角k，它表示第k级谱线方向与入射光方向之间的夹角的大小。其中在00的方向上能够观察到中央主极大条纹，也就是零级谱线。在它的两侧则会有其他级次的谱线对称性地分布着。因此,在光栅常数d已经知道的情况下,只要运用分光计把第k级光谱中某一明条纹的衍射角k测出来,那么这一条明条纹所对应的单色光的波长就能够很好地计算出来。如果入射光不再是单色光而变为复色光的时候，则由式（1）可以看出，其衍射角k将随着光的波长的变化而各不相同，于是复色光便会被分解，在中央处3（此时0,0kk处），波长不同的光将会聚集在一起，从而组成了中央明条纹，称为零级谱线。中央明纹两侧则对称性的分布着...3,2,1k级的谱线，并且按照波长的不同，对于级次相同的谱线来说，会随着波长的增大而散开，也就是衍射角会逐渐变大，形成光栅光谱。实验室中常用的复色光源是水银灯，它的主要特征谱线共8条。由上式（1）可以知道，在知道光栅常量d的情况下，只需要测出k级衍射条纹的衍射角k的大小，便能够计算得出光波波长。反之，如果光波波长是已知的，也可通过计算求出光栅常量d。2.2光栅的两个重要参数分光元件光栅、棱镜的重要参数之一是角色散D。现在只要将式1关于求导，可以得出光栅的角色散D的大小，其数学表达式为它表示两单色谱线之间在单位波长间隔内的角距离。作为一种优良的分光元件，另外一个重要的参数则是R分光本领，它可以用来表示光栅分辨光谱谱线的一种能力。设现有波长分别为和d的两种不同的光波，经过光栅衍射后形成的两条光谱谱线恰好刚能被分开，则R光栅的分辨本领为dR由瑞利判据可以知道，两条谱线刚能被分辨的条件是：当一条光谱谱线强度的极大值与另一条光谱谱线强度的第一极小值重合。由此可以得出：kNR其中为光谱级数k，是光栅刻线的总数。N。3平行光斜入射光栅3.1平行光斜入射时的光栅方程cosdkddD4在实验中往往会直接通过肉眼来观察调节光栅和平行入射光(平行光管)之间的垂直情况，很显然这非常粗糙。而且,光栅所附的玻璃两个表面也并不能保证严格的平行,大约有21-3的夹角。因此，在一般斜入射条件下,测量光谱波长的公式的重要性将会显得尤为明显。很显然，当平行光线不垂直光栅入射的时候，位于光栅平面内的光波的相位分布情况将会随着光波的入射方式的变化而发生变化。（G---光栅，L---透镜，E---衍射屏，f---透镜的焦距，O---透镜的焦点）图2——衍射光路图平行光斜入射光栅时的如图2所示，平行光束首先会以某一个确定的入射角从光栅的左面射向G，然后光束中透过G的部分经过L，最后在E上便出现衍射图样。其中E刚好在L的焦平面上（和则分别是入射光线和衍射光线与光栅法线之间的夹角）。如下页图3所示，平行光线首先从光栅的左面以角（为光栅法线与入射光线方向之间的夹角，称为入射角）斜向上入射到光栅上，为衍射角，其中衍射光线向下（此时斜入射光线与衍射光线是位于光栅法线同侧）的k级衍射角记为k，而衍射光线向上（此时斜入射光线与衍射光线是位于光栅法线的异侧）的k级衍射角则记为k-。则通过计算可以得出相应光线的光程差分别为：53sinsin2sinsinkddkddkk...2,1,0k但由于光栅双面反射的影响，光栅平面法线的角位置在实验中是很难精确测出的，以致难以准确测得。然而我们经过计算可以从(2)、（3）得kkkkkkkkkkkkdkdksinsinsincoscos2cossinsinsinsinsinsin图3——平行光斜入射时光栅衍射示意图利用1cossin22消去可得1sinsinsincoscos2sinsinsinsinsin222kkkkkkkkkkkkdk6则22coscos2sinsinsinsinsinkkkkkkkkkd(4)这便是通过测量相应入射线的偏转角与衍射线的偏转角来测量谱线波长的公式。在该式中所涉及的角度仅仅是光线的偏转角，是通过分光计很容易测量的量。为了能够避开精确调整光栅与入射光之间相互垂直的困难，可直接应用公式（4)计算平行光斜入射时入射光谱线波长，从而大大提高了测量结果的精确度。3.2平行光斜入射时的条纹分布情况我们已经知道，当光垂直光栅入射时,光栅衍射条纹的分布对于中央零级条纹来说是左右对称的，中央主极大恰好位于透镜焦点的o处，而在中央主极大（透镜焦点）的两侧则会对称性的分布着其他的主极大，并且位于两侧的主极大的条纹数目是一样多。另外在入射光波的波长与光栅常数d已知的条件下，可以确定最高衍射条纹的级数maxk，即衍射条纹的最高级次是入射光波长的倒数1与光栅常数d的乘积（dkmax），那么就能够看到总数为12maxk条的主极大。但是在平行光斜入射光栅的时候，由（2）（即入射光线和衍射光线位于光栅法线的同侧）可得kdksinsin1（5）根据（5）式，当1sin90kk时，即，此时1k取得能够观测到的条纹级数的最大值)sin1(max1dk(6)但这时的光却不能到达衍射屏E上，那么当max1k为整数时，能观察到的最大条纹级数应该为1max1k，当max1k为小数时，舍去小数部分，即为观察到的最大条纹级数。由（3）（即入射光线和衍射光线不再位于光栅法线同侧）可知kdksinsin2（7）则此时能够观察到的最大条纹级数的取值为7sin1max2dk（8）由式（6）与式（8）可得，当平行光线以一定入射角斜入射时，两侧的21kk和取值若要相同，那么衍射角kk和的取值是不同的，即相对于透镜焦点o的两侧，同级条纹是不对称的。且max1k随着的增加而增大，max2k随着的减小而减小，而且焦点两侧的不对称分布随着的改变都会产生一定变化。当0时，即入射光线与光栅互相垂直，我们可以由式（5）、（7）和式（6）、（8）得出：dkkkdkkkkmax2max1max21sin此时，原来的不对称分布就变成了对称分布。3.3关于斜入射时的主极大及其级次图4——光强分布示意图0单缝衍射公式在（即平行光线斜入射光栅）时就会变为：暗条纹明条纹kka212sinsin...2,1,0k（9）光栅衍射在某一点的光强的表达式为：vNvuuIIsinsinsin2220(0I为入射光光强)（10）8结合