[高等教育]计量经济学-2一元线性回归分析

1第二章一元线性回归模型2主要内容回归分析概述双变量线性回归模型的参数估计双变量线性回归模型的假设检验双变量线性回归模型的预测案例3§2.1回归分析概述一、变量间的关系及回归分析的基本概念二、总体回归函数（PRF）三、随机扰动项四、样本回归函数（SRF）4一、变量间的关系及回归分析的基本概念1.变量间的关系（1）确定性关系或函数关系：研究的是确定现象非随机变量间的关系。2,半径半径圆面积f一个（或多个）变量的变化能完全决定另一个变量的变化：利息率一定，存入本金与到期本息5存在密切联系但并非完全决定居民收入与消费密切相关，但不能完全决定消费广告费支出与销售额密切相关，但不能完全决定销售额（2）统计依赖或相关关系（非确定性关系）：研究的是非确定现象随机变量间的关系。,,,,施肥量阳光降雨量气温农作物产量f6回归分析(regressionanalysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。其用意：在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。这里：前一个变量被称为被解释变量（ExplainedVariable）或因变量（DependentVariable），后一个（些）变量被称为解释变量（ExplanatoryVariable）或自变量（IndependentVariable）。2、回归分析的基本概念7回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括：根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得回归方程；对回归方程、参数估计值进行检验；利用回归方程进行分析、评价及预测。8二、总体回归函数回归分析关心的是根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。910在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望轨迹称为总体回归线（populationregressionline），或更一般地称为总体回归曲线（populationregressioncurve）。)()|(iiXfXYE称为（双变量）总体回归函数（populationregressionfunction,PRF）。•相应的函数：11含义：回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。•函数形式：可以是线性或非线性的。•如，将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时:iiXXYE10)|(为一线性函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系数（regressioncoefficients）。12三、随机扰动项总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，家庭平均的消费支出水平。但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水平有偏差。称为观察值围绕它的期望值的离差（deviation），是一个不可观测的随机变量，又称为随机干扰项（stochasticdisturbance）或随机误差项（stochasticerror）。)|(iiiXYEYiu13E(Y|Xi)称为系统性（systematic）或确定性（deterministic)部分；其他为随机或非确定性（nonsystematic)部分ui。iuiu14称为总体回归函数（PRF）的随机设定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。iuiu15随机误差项主要包括下列因素：在解释变量中被忽略的因素的影响；变量观测值的观测误差的影响；模型关系的设定误差的影响；其他随机因素的影响。随机干扰项的意义将各种次要变量作了综合处理，保证了分析的可操作性。16四、样本回归函数（SRF）问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？例：在总体中有如下一个样本，能否从该样本估计总体回归函数PRF？家庭消费支出与可支配收入的一个随机样本Y800110014001700200023002600290032003500X59463811221155140815951969207825852530•该样本的散点图（scatterdiagram)：画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体，可以该直线近似地代表总体回归线。该直线称为样本回归线（sampleregressionlines）。18记样本回归线的函数形式为：iiiXXfY10ˆˆ)(ˆ称为样本回归函数（sampleregressionfunction，SRF）。19•样本回归函数的随机形式/样本回归模型：样本回归函数也有如下的随机形式：由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此也称为样本回归模型（sampleregressionmodel）。iiiiieXYY10ˆˆˆˆiuˆ式中，ie称为（样本）残差（或剩余）项（residual），代表了其他影响iY的随机因素的集合，可看成是的估计量。iuˆiu▼回归分析的主要目的：根据样本回归函数SRF，估计总体回归函数PRF。根据iiiiieXeYY10ˆˆˆ估计iiiiiuXuXYEY10)|(iu21§2.2双变量线性回归模型的参数估计一、参数的普通最小二乘估计（OLS）二、双变量线性回归模型的基本假设三、最小二乘估计量的性质四、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计23回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数（模型）PRF。估计方法有多种，其中最广泛使用的是普通最小二乘法（ordinaryleastsquares,OLS）。为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。24一、参数的普通最小二乘估计（OLS）给定一组样本观测值（Xi,Yi）（i=1,2,…n）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.普通最小二乘法（Ordinaryleastsquares,OLS）给出的判断标准是：二者之差（残差）的平方和最小。niiiniXYYYQ121021))ˆˆ(()ˆ(25最小二乘法的思路为了精确地描述Y与X之间的关系，必须使用这两个变量的每一对观察值（n组观察值），才不至于以点概面（做到全面）。Y与X之间是否是直线关系（用协方差或相关系数判断）？若是，可用一条直线描述它们之间的关系。在Y与X的散点图上画出直线的方法很多。找出一条能够最好地描述Y与X（代表所有点）之间的直线。问题是：怎样算“最好”？最好指的是找一条直线使得所有这些点到该直线的纵向距离的和（平方和）最小。26最小二乘法的思路yx纵向距离横向距离距离A为实际点，B为拟合直线上与之对应的点xyyyuiiiiiˆˆˆˆ10纵向距离27最小二乘法的思路纵向距离是Y的实际值与拟合值之差，差异大拟合不好，差异小拟合好，所以称为残差、拟合误差或剩余。将所有纵向距离平方后相加，即得误差平方和，“最好”直线就是使误差平方和最小的直线。拟合直线在总体上最接近实际观测点。于是可以运用求极值的原理，将求最好拟合直线问题转换为求误差平方和最小的问题。28YX0******△**△7Y9Y****Y7Y9Min2)(iiYY数学形式29得到的参数估计量可以写成：XYxyxiii1021ˆˆˆ称为OLS估计量的离差形式（deviationform）。由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到的，故称为普通最小二乘估计量（ordinaryleastsquaresestimators）。其中nXXXXxniiiii1nYYYYyniiiii1例2：在上述家庭可支配收入-消费支出例中，对于所抽出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的表进行。表2.2.1参数估计的计算表iXiYixiyiiyx2ix2iy2iX2iY1800594-1350-9731314090182250094750864000035283621100638-1050-92997587011025008637841210000407044314001122-750-44533405056250019838119600001258884417001155-450-41218558020250017007428900001334025520001408-150-1592391022500254084000000198246462300159515028414022500762529000025440257260019694504021807202025001612836760000387696182900207875051138295056250026071284100004318084932002585105010181068480110250010355101024000066822251035002530135096312995101822500926599122500006400900求和21500156745769300742500045900205365000029157448平均2150156731777.074250005769300ˆ21iiixyx172.1032150777.01567ˆˆ00XY因此，由该样本估计的回归方程为：iiXY777.0172.103ˆ32模型解释变量和误差项ui的假定条件如下:(1)ui是一个随机变量，ui的取值服从概率分布。(2)E(ui)=0。(3)ui具有同方差性。D(ui)=E[ui-E(ui)]2=E(ui)2=2。(4)ui为正态分布（根据中心极限定理）。以上四个假定条件可作如下表达。uiN(0,)二、线性回归模型的基本假设33(5)ui非自相关。Cov(ui,uj)=E[(ui-E(ui))(uj-E(uj))]=E(ui,uj)=0，(ij)。(6)xi是非随机的。(7)ui与xi相互独立。Cov(ui,xi)=E[(ui-E(ui))(xi-E(xi))]=E[ui(xi-E(xi)]=E[uixi-uiE(xi)]=E(uixi)=0.(8)对于多元线性回归模型，解释变量之间不能完全相关或高度相关（非多重共线性）。在假定（1），（2），（6）成立条件下有E(yi)=E(0+1xi+ui)=0+1xi34同方差35异方差36三、最小二乘估计量的性质当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计性质。一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其优劣性：（1）线性，即它是否是另一随机变量的线性函数；37（2）无偏性，1100ˆˆEE无偏性意味着这两个估计量没有高估或低估的系统倾向。即估计量的均值或期望值是否等于总体的真实值；38（3）有效性，即估计量在所有线性无偏估计量中具有最小方差。2122012211ˆvarˆvarniiniiXXXnXX含义：估计量方差与随机项方差、自变量取值范围、样本量等有关。39这三个准则也称作估计量的小样本性质。拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量（bestlinerunbiasedestimator,BLUE）。高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markovtheorem)在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。40四、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计1、参数估计量0ˆ和1ˆ的概率分布),(~ˆ2211ixN),(~ˆ22200iixnXN412.随机误差项u的方差2的估计2又称为总体方差。u由于随机