对树叶质量问题的数学建模

对树叶质量问题的数学建模摘要植物是自然界的基本组成部分，对维持生态环境的平衡起着至关重要的作用。因此，本文特别对树叶的相关问题进行了建模分析。针对问题一，本文从大量的生物学数据或生物模型中提取出叶片特征参数，将这些特征转化为功能特征作为建模约束条件；通过对功能特征参数中生物量的统计分析，形成生长方程，建立结合植物生理特征的植物叶片动态生长模型；通过建立外在或内在影响与功能特征间的关系，为模拟外在或内在因素决定植物叶片生长过程提供支持，并通过叶片形态的变化反映外部环境或内部调节的改变。最终得出叶子具有各种形状的原因。针对问题二，分别建立叶镶嵌模型和分枝模型。针对水平分布，从镶嵌角入手，通过数据分析和一定的生物学基础，以考察在不同镶嵌角下叶片的覆盖面积，以发现在该种叶片的实际镶嵌角下覆盖面积最大，发现叶片分布的位置对叶形有一定影响。针对高度分布，首先建立2D分枝模型，研究树冠高度与光照强度的关系。其次，对假设模糊化处理后再建立3D分枝模型，结论发现树冠高度、东西方向距树干的距离与光照强度有关系。得到叶子之间将相互重叠的部分最小化可以最大限度的接触到阳光，树叶的分布以及树干和枝杈的体积会影响到叶子的形状。针对问题三，通过分析树的轮廓参数x和叶形参数y，运用SPSS进行回归分析，从而得出xy387.0279.2的关系，进而证明叶形（一般特征）和树的轮廓以及分枝结构有关。针对问题四，借助问题二中所建立的叶镶嵌模型，得出一棵树的树叶总质量约为：nnnaRccnnnnnqbcrkmqMn0sin002122，并通过具体数据验证此解析式的实用性。关键词：动态生长模型，叶镶嵌模型，分枝模型，回归分析一、问题重述植物是自然界的基本组成部分，对维持生态环境的平衡起着至关重要的作用。从现实出发，针对植物生长过程中外观的变化影响研究至关重要。“树叶有多重？”怎么估计树叶的实际重量？如何分类树叶？建立了一个数学模型来描述和分类的树叶。考虑并回答下列问题：·树叶为什么有各种形状？·形状的“最小化”投影重叠，以便有最大限度地阳光照射吗？树叶及其分支机构在“量”的分布效应的形状？·说到树叶的轮廓，与树叶的形状/分支结构有关吗？·你将如何估计树叶质量？树叶的质量和树的尺寸特点之间有关系吗？二、问题分析问题一：针对树叶为什么有各种形状的问题，我们将从时间与空间两房面进行解答。问题二：针对叶子之间相互重叠部分的最小化，是否可以最大限度的接触到阳光以及树叶的分布以及树干和枝杈的体积对叶子形状的影响问题。我们欲从局部区域中叶片的水平分布和树冠上叶片的高度分布两种空间分布情况来探研叶片的形状影响。问题三：针对树叶的轮廓与树叶的形状/分支结构是否有关的问题，我们拟用回归分析模型，来得到叶子形状与树的轮廓之间的函数关系。问题四：针对如何估计树叶质量以及树叶的质量和树的尺寸特点之间是否有关系的问题，我们准备根据叶镶嵌原理进行求解。三、模型的假设与符号说明3.1模型的假设（1）假设叶片的分布是有限的；（2）假设每片树叶的形状是轴对称的；（3）假设在实验中测得的数据是实际和有效的；（4）假设树叶的质量大致确定由最外层枝叶（即是最好的分支机构），内叶的整体质量几乎没有影响。3.2符号说明序号符号表达含义1H树冠高度2d东西方向距树干的距离3D光照强度4x树的轮廓参数5y叶形参数6M一棵树的树叶的总质量为7Q叶子总数四、模型的建立与求解4.1问题一的求解4.1.1描述叶片形状的特征参数：4.1.1.1列举空间功能特征参数如下：（1）长宽比通过长宽比可以直观的确定叶片是否狭长、是否贴近圆形。，对于一个叶片，可称能将它包围起来且沿其结合点与叶尖连线方向的最小矩形为其外接矩形。如图所示，其中矩形EFHG为该叶片的最小外接矩形，而长宽比就是外接矩形的长L）或（GHEFLL与宽W（EGW或FHW）的比值。图1叶形特征示意图（2）最宽处位置（WL）定义叶片结合点P（如图2－7）与叶尖Q点（图2－7）的连线为横轴，纵轴垂直于横轴，取纵轴与叶片边缘的交点为A、B，纵轴与横轴的交点为O，当AB为最长时，结合点P到点O的距离与外接矩形长度的比值为最宽处位置参数，即LLWLOP/。（3）叶基部凹陷程度当叶片的结合点不在叶片最小外接矩形上时，表明叶片的叶基是向叶片内部凹陷的，定义其凹陷程度10/DLLDPQ，。如图1所示，PQL为叶片叶基结合点P到叶尖Q的长度，L为叶片最小外接矩形的长度。另定义v为叶片凹陷因子：MPMCLLv/，由于叶形的不同，其叶片凹陷因子各不相同。（4）叶面积叶面积是叶片形态和功能的一个重要参数，无论是在对叶片接受光照进行光合作用的现实意义考虑，还是从叶片构建的逼真性上，都具有重要意义。（5）矩形度矩形度即为图像区域面积与其最小外接矩形的面积之比，当为矩形时，矩形度为1，当为圆形时，矩形度为LWR/2，对于边界弯曲，呈不规则分布的区域，矩形度为0到1。（6）圆形度圆形度反映了目标图像与标准圆形的差异程度。可由公式表达为SL4/2，其中，L为目标图像的周长，S为目标图像的面积。圆形度参数与1差异越大，其形状与圆形的差别就越明显。（7）偏心率质心到边界的最大距离与最小距离之比为偏心率，该参数反映了图像质心至边界的相对距离。（8）叶缘及叶裂特征边界线段的局部形状（用以识别叶缘及叶裂）可以用锯齿数、叶列数进行定量描述。（9）最佳匹配椭圆：最佳匹配椭圆是指能够包围目标图像的最小椭圆。（10）叶片长度：叶片的长度可以表征叶片大小。（11）特征点：如叶基点和叶尖点。（12）顶点数：决定叶片有几个叶尖。（13）多边形的凹点数：决定叶片是否有凹陷。除以上所列的叶片空间特征外，还有叶缘锯齿数目、左右对称、质心、周长等等。4.1.1.2叶形空间特征表达需要明确的是，通过以上所列的各项叶形特征参数只是叶片某一特征的数学表达，或者说，通过这种数学方式的描述便于抽象建模，只有当叶形特征在虚拟叶片模型中体现其具体功能时，才能称之为叶片轮廓模型的功能空间特征。有专家通过对植物叶片某几项叶形特征的测量和归类，基本可以做出如下推断：当有足够多的叶形特征参数来描述某一叶片时，可确定是唯一的叶形。就一个叶片而言，叶尖、叶基、叶缘、叶脉为其基本构成部分。由图2、3可知：一些基本叶形可由长宽比、最宽处位置、叶基部凹陷程度、叶面积、叶基部凹陷因子v这5个叶形特征参数进行表达：图2基本叶形图3长宽比对应叶形线形：长宽比为5，WL为0.5，D为1，（如沿阶草）。剑形：长宽比大于5，WL大于0.7，D为1，（如石菖蒲）。椭圆形：长宽比为1.5～2，WL约为0.5，D为1，（如大叶黄杨）。卵圆形：长宽比为1.5～2，WL大于0.5，D为1，（如女贞）。长椭圆形：长宽比为3～4，WL约为0.5，D为1，（如金丝梅）。圆形：长宽比为1，WL小于0.5，D为，（如莲）。倒阔卵形：长宽比约为1，WL小于0.5，D为1，（如玉兰）。披针形：长宽比约为3～4，WL大于0.5，D为1，（如柳）。心形：长宽比约为1～2，WL为0.1～0.4，D为0.8～1,则v为1～2。至于其它形状的，尚有三角形、肾形、菱形、偏斜形、戟形、箭形、心形、倒卵形的，倒披针形的等等。当植物叶片符合单叶脉、左右对称时，其基本叶形如上图1所示，结合叶片的长宽比、最宽处位置、叶基部凹陷程度与叶基部凹陷因子等空间特征对叶片的上半部分分析可知，叶片轮廓会通过P、C、A、Q四点。如图1所示，以O点作为坐标原点，因各项功能特征参数都为比值，则取最小外接矩形长度L为基本单位，则P、C、A、Q四点由功能特征进行运算表达如下：其中C点的横坐标为)1(WLDxc，纵坐标)1(Dvyc，则)0,()2/0(WLdQratioWLLA，，通过以上举例可知，当忽略某些叶形特征，就可以通过几项简单易测的叶形特征的组合表达具有不同形状特征的植物叶片。4.1.2时间特征自然界中的植物并非一成不变，而是伴随着时间的推移经历从无到有、从小到大和从生到死的往复循环。纯就植物叶片而言，以时间为轴，在生长激素的调节下，细胞无论是在体积还是质量上都迅速增长，其最直观的变化是叶片面积、长度、宽度和重量逐渐增长。无论是长宽比、最宽处位置、叶基部凹陷程度、叶面积还是叶基部凹陷因子，当时间发生变化时，它们并不是静止不动的，而是伴随着时间的变化产生规律性的改变这种规律就是时间特征。4.1.2.1生长方程生长方程是需要对大量植物叶片的叶形特征参数进行统计，在搜集大量数据的基础上，建立基于数据统计分析和合乎机理规律的统计模型。由此两者结合构建生长方程，主要包括Logistic、Gompertz、Richards等。4.1.2.1.1Logistic生长方程Logistic生长方程的定义如下：ptkeMtY1)(（1）其中：)(tY表示随时间变化的叶片空间特征，如叶脉长度、最宽处位置、宽度等等；M表叶片各项空间特征的最大值；k表示各项空间特征的初始值参数，决定初始值的大小；p表示生长速率参数；叶片某项叶形特征在整个生长过程使生长曲线呈现“S”形，如图4中的曲线为其生长曲线。图4Logistic生长曲线不论初值如何，当t时，MtY)(。当2/)(MtY和0)(tY两个关键点，其描述的是一种增长趋势，当增长到2/M时，作为拐点，增长速度减缓，到M时，停止增长。Logistic生长方程在描述植物叶片长度和最宽处位置的生长变化时相对较为理想。4.1.2.1.2Richards生长方程：植物的生长过程类似于S型曲线所描述的，但是由于受植物品种、植种环境等诸多因素的影响，这种S曲线又会有诸多的变化。Richards生长方程的定义如下：)1/(1-1)(qptkeMtY）（（2）其中：)(tY表示随时间变化的叶片空间特征，如叶脉长度、最宽处位置、宽度等等；M表示叶片各项空间特征的最大值；k表示各项空间特征的初始值参数，决定初始值的大小；p表示生长速率参数；q表示异速生长参数，决定曲线形状。由Richards生长方程的公式可知，)(tY是单调增函数，而pqkInt)1(，)1/(1)(qMqtY为该生长方程的拐点，该点上的斜率为曲线最大斜率，也就是生长率最大值为)1/(qqMndtdY。由其公式性质可知，该生长方程是由4个生长参数组成，而非Logistic生长方程中的两个经验生长参数。通过异速参数q的控制，可有效的改变S型曲线的形状（如图5所示），大大增加了Richards生长方程的通用性，使其在描述多种植物的生长过程中都有较好的效果体现。当0q时为BrodyhMischerlis方程，)1()(ptkeMtY；当3/2q时为yBertalanff方程，3)1()(ptkeMtY；当1q时为Gompertz方程，)1exp()(ptkeMtY；当2q时为Logistic方程，1)1()(ptkeMtY。图5Richards生长曲线由此可知，Richards生长模型能够准确的表达多种生长模型以及其之间的过渡模型，因此得以广泛利用，针对本文的五项空间特征都具有较好的表达效果。4.1.2.1.3时间特征获取对于拟合Richards方程，必须要以适当的时间间隔选取数据点，才能拟合出恰当合适的异速参数m，即拟合出恰当的生长曲线。在本文中，以菏豆为例，以特定的时间间隔作为数据样本。以其叶片宽度为例取数据如表一所示：表一叶片宽度时间t（天）369121518叶片宽度13.0419.625.235.2340.746由于叶片宽度的数据点分布，极其符合Logistic生长方程所描述的生长曲线，因此利用MATLAB软件对以上所提供数据拟合叶脉生长方程的相关参数，得到叶脉的非线性回归生长方程：tetY328.054.16123.51)(（3）得到叶片宽度和时间的生长方程后，可用此种方法得到大豆叶片其它空间特征的生长方程。综上所述，从空间与时间这两方面的联合论述，我们可知叶片的形状在随着时间与空间的变化而不断改