江苏省专转本高数模拟试题与解析第一套

江苏省2013年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（一）高等数学注意事项：1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。1、0x是xxxf1sin)(的（）A、可去间断点B、跳跃间断点C、第二类间断点D、连续点2、若2x是函数)21ln(axxy的可导极值点，则常数a（）A、1B、21C、21D、13、若CxFdxxf)()(，则dxxxf)(cossin（）A、CxF)(sinB、CxF)(sinC、CF(cos)D、CxF)(cos4、设区域D是xoy平面上以点)1,1(A、)1,1(B、)1,1(C为顶点的三角形区域，区域1D是D在第一象限的部分，则：dxdyyxxyD)sincos(（）A、1)sin(cos2DdxdyyxB、12DxydxdyC、1)sincos(4DdxdyyxxyD、05、设yxyxuarctan),(，22ln),(yxyxv，则下列等式成立的是（）A、yvxuB、xvxuC、xvyuD、yvyu6、正项级数(1)1nnu、(2)13nnu，则下列说法正确的是（）A、若（1）发散、则（2）必发散B、若（2）收敛、则（1）必收敛C、若（1）发散、则（2）不定D、若（1）、（2）敛散性相同二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。7、02limsinxxxeexxx8、函数xxfln)(在区间e,1上满足拉格朗日中值定理的9、11211xx10、设向量1,4,3、k,1,2；且、互相垂直，则k11、交换二次积分的次序dyyxfdxxx21101),(12、幂级数1)12(nnxn的收敛区间为三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。13、设函数axxxfxFsin2)()(00xx在,内连续，并满足：0)0(f、(0)6f，求a。14、设函数)(xyy由方程tttytxcossincos所确定，求dxdy、22dxyd。15、计算3tansecxxdx。16、计算10arctanxdx。17、已知函数),(sin2yxfz，其中),(vuf有二阶连续偏导数，求xz、yxz2。18、求过点)2,1,3(A且通过直线12354:zyxL的平面方程。19、将函数222)(xxxxf展开为x的幂级数，并写出它的收敛区间。20、求微分方程0xxyye满足1xye的特解。四、证明题（每小题9分，共18分）21、证明方程：0133xx在1,1上有且仅有一根22、设(),0,()1,0,xxfxxx其中函数()x在0x处具有二阶连续导数，且(0)0,(0)1，证明：函数()fx在0x处连续且可导。五、综合题（每小题10分，共20分）23、已知曲边三角形由xy22、0x、1y所围成，求：（1）、曲边三角形的面积；（2）、曲边三角形饶X轴旋转一周的旋转体体积。24、设)(xf为连续函数，且1)2(f，dxxfdyuFuyu)()(1，)1(u（1）、交换)(uF的积分次序；（2）、求(2)F。江苏省2013年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（一）高等数学一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。1、0x是xxxf1sin)(的（）A、可去间断点B、跳跃间断点C、第二类间断点D、连续点解析：函数()fx在0x处连续的定义为00lim()()xxfxfx。实际上包含三个条件（1）函数()fx在0x处必须有定义；（2）函数()fx在0x处的极限存在；（3）函数()fx在0x处的极限值必须等于函数值；当上述三个条件不全满足时的点即为函数()fx的间断点。而初等函数在定义区间之内均是连续的，所以，没有定义的点一定是间断点，分段函数的分段点是可能的间断点。根据点0x处的极限情况来加以分类：相等：可去间断点左右极限均存在：第一类不相等：跳跃间断点若有一个为：无穷间断点左右极限至少有一个不存在：第二类均不为无穷，函数不停振荡：振荡间断点而001lim()limsin0xxfxxx，即函数在0x处没有定义，但左右极限均存在且相等，故本题答案选A2、若2x是函数)21ln(axxy的可导极值点，则常数a（）A、1B、21C、21D、1解析：该题考察函数()fx极值点的必要条件，若0xx处可导且为极值点，则0()0,fx故本题(2)0y，即2(1)012xaax，于是12a，故本题答案选C3、若CxFdxxf)()(，则dxxxf)(cossin（）A、CxF)(sinB、CxF)(sinC、CF(cos)D、CxF)(cos解析：该题考察不定积分的基本概念以及凑微分法。求()fx的不定积分就是找那些导数为()fx的所有函数全体，不定积分求解正确与否，只要反过来求导是否为被积函数即可。sin(cos)(cos)cos(cos)xfxdxfxdxFxC故本题答案选D4、设区域D是xoy平面上以点)1,1(A、)1,1(B、)1,1(C为顶点的三角形区域，区域1D是D在第一象限的部分，则：dxdyyxxyD)sincos(（）A、1)sin(cos2DdxdyyxB、12DxydxdyC、1)sincos(4DdxdyyxxyD、0解析：该题考察函数奇偶性（对称性）的二重积分在对称区域上的积分性质。设积分区域D关于x轴对称，(1)若(,)fxy关于y是奇函数，则有(2)若(,)fxy关于y是偶函数，则有其中1D是D的上半区域。类似的，若积分区域D关于y轴对称，(1)若(,)fxy关于x是奇函数，则有(2)若(,)fxy关于x是偶函数，则有其中1D是D的右半区域。oxy1D2D3D4D;0d),(Dyxf,d),(2d),(1DDyxfyxf如图将D分为4部分4321,,,DDDD,则:(cossin)ddDxyxyxy2121ddsincosddDDDDyxyxyxxy4343ddsincosddDDDDyxyxyxxy,ddsincos21Dyxyx;0d),(Dyxf,d),(2d),(1DDyxfyxf故本题答案选A5、设yxyxuarctan),(，22ln),(yxyxv，则下列等式成立的是（）A、yvxuB、xvxuC、xvyuD、yvyu解析：该题考察二元显函数偏导数的求法，偏导数的本质就是将其中一个变量当作常量对另一个变量的导数。2222111uyxxyxyy，22221(,)lnln()2vxyxyxy，22221122vyyyxyxy，即yvxu，故本题答案选A6、正项级数(1)1nnu、(2)13nnu，则下列说法正确的是（）A、若（1）发散、则（2）必发散B、若（2）收敛、则（1）必收敛C、若（1）发散、则（2）不定D、若（1）、（2）敛散性相同解析：该题考察正项级数的收敛性质，比较审敛法。若正项级数1nnu收敛，则1nknu(1)k一定收敛，因为当n足够大时，0nknuu，由比较审敛法知1nknu收敛。若正项级数1nnu发散，则1nknu(1)k的敛散性不能确定。如131nun与231nun。（请读者自行验证）故本题答案选C(其它选项可以举反例)二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。7、02limsinxxxeexxx；解析：求极限时，先判断极限类型，若是00或型可以直接使用罗比达法则，其余类型可以转化为00或型。罗比达法则求极限的好处主要有两方面，一是通过求导降阶，二是通过求导将难求极限的极限形式转变为容易求极限的形式。不过，在求极限时应灵活使用多种方法，特别是无穷小量或是无穷大量阶的比较，使用等价无穷小或是等价无穷大的目的是将函数转换为幂的形式，方便判别阶数。2000002221sin1cos2()2limlimlimlimlimxxxxxxxxxxxxxxxeexeeeexxxxeeeex8、函数xxfln)(在区间e,1上满足拉格郎日中值定理的；解析：在江苏省“专转本”考试中，微分中值定理考察的层次为识记与理解。主要考察罗尔定理与拉格朗日定理的条件与结论，定理的条件是充分的，但不必要。若遇到证明至少存在一点的表达式，特别是带有导数的，一般都是利用罗尔定理构造辅助函数证明。()(1)()(1)feffe，即1()1fe又1()fxx，所以1()f于是111e，得1e。9、11211xx；解析：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质。00,()()2(),()aaafxfxdxfxdxfx为奇函数为偶函数11112222111010111+=0+21111=2arctan2(0)42xxxxxxx10、设向量1,4,3、k,1,2；、互相垂直，则k；解析：该题考察向量的基本运算——数量积运算。两向量数量积为对应分量乘积之和，结果是一个数量。两向量垂直的充要条件是数量积为0。（平行的充要条件是向量积为0向量或分量对应成比例）由条件3,4,12,1,640kk，得10k。11、交换二次积分的次序dyyxfdxxx21101),(；解析：二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别是对称型简化积分计算。在直角坐标系下，首先要画出积分区域，然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的积分顺序。积分区域210:11xDxyx转化为201:11yDyxy故2201111101(,)(,)xyxydxfxydydyfxydx。12、幂级数1)12(nnxn的收敛区间为；解析：对于幂级数0nnnax，如果1limlimnnnnnnaaa（或），则收敛半径1R，收敛区间为,RR。若幂级数0nnnax缺少的奇次项（偶次项）或上述极限不存在（不是无穷），则此时将x当作常量转化为常数项级数处理。本题121limlim121nnnnanan，所以11R，收敛区间为1,1。对于幂级数00()nnnaxx只需作变量代换0xxt即可。三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。13、设函数axxxfxFsin2)()(00xx在,内连续，并满足：0)0(f、(0)6f，求a。解析：分段函数在分段点处的极限、连续性与可导性，若分段点的左右两侧的表达式互不相同，则必须使用定义左右分别讨论。本题只需按照连续性定义讨论即可。()Fx在0x连续，等价于0lim()(0)