高中数学导数典型例题

高中数学导数典型例题题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值1.已知函数32()fxxaxbxc过曲线()yfx上的点(1,(1))Pf的切线方程为y=3x+1。（1）若函数2)(xxf在处有极值，求)(xf的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数)(xfy在[－3，1]上的最大值；（3）若函数)(xfy在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围解：（1）极值的求法与极值的性质（2）由导数求最值（3）单调区间零点驻点拐点————草图2.已知).(3232)(23Raxaxxxf(1)当41||a时,求证：)x(f在)1,1(内是减函数;(2)若)x(fy在)1,1(内有且只有一个极值点,求a的取值范围.解：（1）单调区间零点驻点拐点————草图（2）草图——讨论题型二：利用导数解决恒成立的问题例1：已知322()69fxxaxax（aR）．（Ⅰ）求函数()fx的单调递减区间；（Ⅱ）当0a时，若对0,3x有()4fx恒成立，求实数a的取值范围．例2：已知函数222()2()21xxfxetexxt，1()()2gxfx．（1）证明：当22t时，()gx在R上是增函数；（2）对于给定的闭区间[]ab，，试说明存在实数k，当tk时，()gx在闭区间[]ab，上是减函数；（3）证明：3()2fx≥．解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1令a=e^x则g(x)=2a^2-ta+1(a0)(3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1讨论太难分界线即1-t^2/8=0做不出来问问别人，我也没做出来例3：已知3)(,ln)(2axxxgxxxf（1）求函数)(xf在)0](2,[ttt上的最小值（2）对(0,),2()()xfxgx恒成立，求实数a的取值范围解：讨论点x=1/e1/ett1/et+2（2）题型三：利用导数研究方程的根例4：已知函数axaxxf313)(23.（Ｉ）讨论函数)(xf的单调性；（Ⅱ）若曲线()fx上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.例5：已知函数),(3)(23Rbaxbxaxxf，在点))1(,1(f处的切线方程为.02y（1）若对于区间]2,2[上任意两个自变量的值21,xx，都有cxfxf|)()(|21，求实数c的最小值。（2）若过点)2)(,2(mmM，可作曲线)(xfy的三条切线，求实数m的取值范围。题型四：导数与不等式的综合例6：已知函数ln1()xfxx当1x时，求证：()1fx