直线的一般式方程-()

3.2.3直线的一般式方程1.明确直线方程一般式的形式特征；（重点）2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（难点）3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.（难点）(一)填空名称已知条件标准方程适用范围点斜式(x0,y0),k斜截式k,y轴上的截距b两点式(x1,y1)(x2,y2)截距式x轴上的截距ay轴上的截距by-y0=k(x-x0)有斜率的直线有斜率的直线y=kx+b不垂直于x,y轴的直线不垂直于x,y轴且不过原点的直线112121yyxxyyxxxy1ab（二）填空1．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是____________；2．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是_______；3．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是_________.思考1以上三个方程是否都是二元一次方程?所有的直线方程是否都是二元一次方程？过点(x0,y0)与x轴垂直的直线可表示成，过点(x0,y0)与y轴垂直的直线可表示成.x=x0y=y0y-1=2（x-2）y=1x=2思考2对于任意一个二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同时为零）能否表示一条直线？总结:由上面的讨论可知：(1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示；(2)关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.B≠0时,方程变为表示过点(0,),斜率为的直线表示垂直于x轴的一条直线ACyxBBCBABB=0时,方程变为（A≠0）CxAAx+By+C=0(A,B不同时为0）我们把关于x,y的二元一次方程叫做直线的一般式方程，简称一般式.一般式适用于任意一条直线.探究1：直线的一般式方程约定：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项的顺序排列.在方程Ax+By+C=0中，1.当A=0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴；2.当时，方程表示的直线与x轴垂直；3.当A=0，B≠0，C=0时，方程表示的直线与x轴______；4.当时，方程表示的直线与y轴重合；5.当时，方程表示的直线过原点.平行重合探究2：二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响A≠0，B=0，C为任意实数A≠0，B=0，C=0C=0，A，B不同时为0直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都是关于x，y的方程，上述四种直线方程，能否写成如Ax+By+C=0的统一形式？00()yykxx00(1)0kxyykx当直线l的斜率存在时①探究3：一般式方程与其他形式方程的转化当直线l的斜率不存在时000xyx②0xx结论：方程①②都是二元一次方程，任何直线的方程都可以写成关于ｘ，ｙ的二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的形式.例1已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.43解：经过点A(6，-4),斜率为的直线的点斜式方程为化成一般式，得4x+3y-12=0.44(6).3yx43例2把直线l的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.解：将原方程化成斜截式得因此，直线l的斜率，它在y轴上的截距是3，令y=0，可得x=-6，即直线l在x轴上的截距是-6.xyO32xy12k-63如果A·C0,且B·C0，那么直线Ax+By+C=0不通过()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】选C.由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距在y轴上的截距故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.C0,AC0,B12121212,AACCBBBB且121111222211122212121212,:0,:0,(40,0,),//,,,,lllAxByClAxByCABCABCllAABBCC如果直线的方程为若则，探究，满足什么条件？1211112222111222121212,:0,:0,(0,0,),,,,,lllAxByClAxByCABCABCllAABB如果直线的方程为若则满足什探究5么条件？12120AABB例3已知直线l1：ax+(a+1)y-a=0和l2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0，若l1//l2，求a的值.121210,1:1,:4,.1:,1124:,2(1)2(1)212(1)a2.4.12(1)12.aalxlxaaalyxaaalyxaaaaaaaaaaa当即时，显然平行当时，，由得综上：或解：1.若直线l在x轴上的截距为-4，倾斜角的正切值为1，则直线l的点斜式方程是___________.直线l的斜截式方程是___________.直线l的一般式方程是___________.y-0=x+4y=x+4x-y+4=0解：(1)x+2y-4=0;(2)y-2=0;(3)2x-y-3=0;(4)x+y-1=0.2.根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式：1211(82),22(4333;24(32),(54).ABxxyPP经过点，斜率是；经过点，2),平行于轴；在轴，轴上的截距分别是，经过点，，5172(1)k3,b5;(2)k,b5;(3)k,b0;(4)k,b.426335yxO5xyO-54（-2,1）3274xOyxOy3.求下列直线的斜率以及在y轴上的截距，并画出图形.(1)350;(2)1;45(3)20;(4)7640.xyxyxyxy4.设直线l的方程为Ax+By+C=0（A，B不同时为零），根据下列各直线的位置特征，写出A，B，C应满足的关系：直线l过原点:_______________________;直线l过点(1,1):___________;直线l平行于x轴:_______________;直线l平行于y轴:_______________.5.设A，B不同时为0，那么集合M={(x，y)|Ax+By+C=0}的几何意义如何？C=0（A，B不同时为零）A+B+C=0A=0,B≠0,C≠0A≠0,B=0,C≠0表示一条直线解：B≠0时，斜率，B=0时，斜率不存在；AkB.0lAxByCBlB6已知直线的方程是++=0,当0时，直线的斜率是多少？时呢？7.(2012·长沙模拟)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1，1)和Q(2，2)，若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点，求实数m的取值范围.【解析】如图所示，直线l:x+my+m=0过定点A(0，-1)，当m≠0时QAPA31k,k2,k.2ml解得或当m=0时，直线l的方程为x=0，与线段PQ有交点，所以，实数m的取值范围为10m22m0,321m.321132,mm2或1.直线方程的一般式Ax+By+C=0（A，B不同时为零）2.直线方程的一般式与特殊式的互化.3.两条直线平行与垂直的判定.注意B=0两方面含义：（1）直线方程都是关于x,y的二元一次方程；（2）关于x,y的二元一次方程的图象又都是一条直线.不同的品格导致不同的兴趣爱好。