计算电磁学-第八章-矩量法

第六章矩量法矩量法是将待求的积分或微分问题转化为一个矩阵方程问题，借助于计算机，求得其数值解。R.F.Harrington对用矩量法求解电磁场问题做了全面和深入的分析，其经典著作已于1968年出版。矩量法已成功地用于求解许多实际的电磁问题。§6.1矩量法原理根据线性空间理论，N个线性方程的联立方程组、微分方程、差分方程及积分方程均属于希尔伯特空间中的算子方程，它们可化作矩阵方程予以求解，在求解过程中需计算广义矩量，故此法称为矩量法。本节主要介绍矩量法的基本原理，包括矩量法的求解步骤，基函数和权函数的选择。令算子方程为：L（f）=g(1)L为算子，g为已知激励函数，f为未知响应函数。算子L的定义域为算子作用于其上的函数f的集合，算子L的值域为算子在其定义域上运算而得到的函数g。L取不同形式，便可描绘不同的电磁工程场问题。例：22214,01(0)(1)0dfxxdxff算子22dLdx特定源2()14gxx定义域为满足边界条件的函数f的集合{()|(0)(1)0,01}fxffx02对应于静电场的泊松方程，已知电荷密度，求电位。''0114ldlR对应于静电场中带电导线l上的线电荷密度()r分布问题，则若给定激励源项g，即给定该导线的电位，求()r。ˆxxˆˆ+yzyz2222222xyzMoM法基本步骤：1展开未知函数f为有限个线性无关的已知简单函数nf之和1Nnnnff（2）其中123,,,Nffff称为展开函数或基函数。代入（1）式再应用算子L的线性得到1()NnnnLfg（3）123,,N为N个未知数。L（f）=g(1)为最大可能地达到隐身效果，F—117A隐形战机采用多面体外形设计。由于雷达探测范围一般在飞机水平面上下30度的角度内，因此F—117A的大多数表面与垂直面的夹角均大于30度，这样可以把雷达波上下偏转出去，以避开辐射源。另一方面，F—117A的前后缘被设计得尖锐笔直，机体表面其它边缘设计成与主波束方向一致，对方雷达接收不到连续的信号，难以确定该飞机是一个实在目标还是一种瞬变噪声。F—117A隐形战斗轰炸机的全动V型尾翼和机翼均采用菱形翼剖面设计，2台发动机装入机体内部，进气口采用特殊的复合材料格栅设计，可保证进气口对10长或更长的雷达波的隐身效果。这种格栅进气口同时还具有向发动机提供均匀气流的优点，从而使F—117A更适应大仰角和侧滑飞行。F—117A的发动机尾喷口设计采用展向“开缝”式喷口设计，喷口下缘底面阻止红外探测器及雷达从后面探测到涡轮部件。发动机排出的气流能够与从发动机旁经过的冷空气迅速混合，使排气速下降到66摄氏度，这样即可以有效地降低发动机的红外辐射特征。这种埋入式发动机设计及特殊的进，排气设计可有效降低发动机噪声。F—117A机体材料以铝合金结构为主，整体外表涂满黑色的磁性铁氧体雷达吸波材料，可以有效地吸收高频率雷达波或低频率雷达波，增强隐形效果。这些技术使F—117A的隐身效果极佳，雷达反射截面积仅0.001~0.01平方米。它可以在敌防空火力上空任何高度飞行，可以在高空借助机载激光器指示目标并进行轰炸。一般以7600米高度接近目标，实施攻击时，下降到1000米左右的高度，在水平飞行时进行投弹攻击。演飞中对红外目标的攻击精度约为1米量级。F—117A采用有利于隐身的内置式武器舱，弹舱长5.18米，宽1.83米，可携带2枚908千克的BLU—109型激光制导炸弹或战术战斗机使用的各种武器。武器载荷可达2270千克。炸弹由机头座舱前下部安装的激光照射器提供目标指示。2使用权函数（或称为检验函数）构成求n的矩阵方程选一组线性无关的函数mw(权函数，m=1,2...N），分别与()Lf和g作内积,()mwLf=,mwg,(),nmnmnwLfwg因为m=1,2...N，所以得到N个方程：1211121,(),(),,,,()NNnnNnnNnNnnnnwgwwLfwLfLfggww(4)内积：内积,fg是三维空间向量点积112233ab的推广。不同的希尔伯特空间有不同的内积形式，在矩量法中应用的内积一般是：一维：,()()fgfxgxdx二维：,(,)(,)fgfxygxydxdy三维：,(,,)(,,)fgfxyzgxyzdxdydz方程组(4)可写成如下的矩阵形式：[mnl][n]=[mg](5)式中11122122,(),()......[],(),()..........................................mnwLfwLflwLfwLf即,()mnmnlwLf1122,[][],nmwggwg3矩阵求逆解得n[n]=[mnl]1[mg]1Nnnnff1[][][][][]nnnmnmffflg12[][,]nNffffnf必须线性无关，选择适当可使1Nnnnf很快逼近f。权函数mw的选择也应当适当，当nnfw时称伽略金法（GarlerKin’smethord）影响nf和mw的选择的一些因素是（1）所求解的精度；（2）计算矩阵元的难易；（3）能够反演的矩阵大小；（4）良态矩阵[mnl]的可实现性。§6.2基函数与权函数选择基函数：MoM法的一个重要问题是基函数nf的选取，理论上有许多基函数可供选择，只要它们是线性独立的即可。但实际上，人们往往只能有少量的某些函数可较好地逼近待求的f，通常选取的基函数应使矩阵有较少的阶次，求逆阵方便，收敛快等性质。（a）整域基函数：在待求函数f的全部定义域中存在且不为“0”，如：幂级数nf=1nxx傅立叶级数nf=cossinnn或等麦克劳林级数nf=nx（b）分域基函数：在f的全部定义域中存在，但部分为“0”。如脉冲函数（分段均匀）1()0ifx1122iixxx在其他子区间0x1xixnx1ixx()ifxO1ix112ix12ix0x1xixnx1ixx()fxO一维分段线性插值（三角形函数）111111()()()0(iiiiiiiiiiixxxxxxxxxfxxxxxx在其他子区间)0x1xixnx1ixx()ifxO1ix10x1xixnx1ixx()fxO0x1xixnx1ixx()fxO拉格朗日插值多项式已知函数f(x)的函数值yk=f(xk),k=0,1,2,…。构造一个多项式P(x)，使得P(xk)=yk。用n次多项式11()()()()()knnkkkkknkniiikPxylxylxylxylx()kknxxx在区间()kknxxx内逼近函数f(x)，即f(x)Pn(x)，且满足()(,1,,)niiPxyikkkn。其中基函数()()()knjjkjiiknijjkjixxlxxx(,1,,)ikkkn当n=1时，线性插值111()()()kkkkPxylxylx，1()kkxxx其中基函数11()kkkkxxlxxx,11()kkkkxxlxxx当n=2时，就是二次插值。二次多项式21122()()()()kkkkkkPxylxylxylx，2()kkxxx其中基函数1212()()()()()kkkkkkkxxxxlxxxxx21112()()()()()kkkkkkkxxxxlxxxxx12221()()()()()kkkkkkkxxxxlxxxxx其他分域基函数还有分段正弦函数、二次插值函数、正弦插值函数等。分域基具有“局部化”的特点，即其只在一个局部范围内不为零，其余为零。这样，离散的节点值的变化将只直接影响到与其相衔接的子域，从而保证了当节点数递增时插值过程的数值稳定性。一般地说，分域基的数值稳定性较高，而整域基的收敛性较好。权函数：全部基函数均可作为权函数（nnfw时为伽略金法）点匹配法：选取函数为权函数点匹配法是广泛使用的权函数，所得的解在一些离散点上严格地满足所要求解的方程。此性质说明函数具有抽样特性，可以把连续函数()fr在rr点上的值()fr抽选出来。因而可知矩量法中矩阵方程元素的计算结果为：,()()()()|mmnmnmnVnrrlwLfrrLfdVLf,()()mmmVmgwgrrgdVgr由此表明mnl和mg的计算归结为只需计算mr所在点处的对应值，因此称这种方法为点匹配法。§6.3应用示例导电平板的静电场设正方形导电板，边长为2a，位于Z＝0平面上，中心点如图示(图6.1)，若导电平板电位V，试求导电板上的电荷分布。yxzna2a2b2b2n0图6.1正方形带电导板解：空间任一点的静电势Rddaaaazyx0),,(4),((6)式中21222])()[(zyxR),(为待求之面电荷密度边界条件0)0,,(yx（ayax,）算子方程00(,)()4aaaaddLR算子RddLaaaa0411首先把导板分为N个均匀小块nS，并选基函数为分域脉冲函数。1Nnnnp10np上在其他上在mnSS2用点匹配法选权函数为()()mmmwxxyy，(,)mmxy为mS的中心点。求内积,()()()()mnmnmmnxayalwLpxxyyLpdxdy221()|4()()mnnnrrmmLpddxy(7)mnl是nS处单位均匀电荷密度（1np）在mS处中心点的电位式（7）适用于mn时之mnl求解，当m=n时2200142=ln12bbnnbblddb(9)其中2b＝Na23矩阵求逆解得[mg]＝[V,V,…..V]T[n]=[mnl]1[mg]1Nnnnp10npnS在上在其他小块上§6.4线天线辐射问题求解稳态单频tje，均匀媒介时电磁场方程为：0EjHHJjEEB利用第一章位函数,A概念，可得''''414jkrVjkrVeAJdvredvr式中r表示源点与场点之距图3.2中'RRr''''4VRRjkdvRReJA'''41VjkrdvRRe0'R'RRyxzR图3.2辐射问题坐标关系P令'4'RReGRRjk,无界空间的格林函数则''''1VVAJGdvGdv(10)待求之场量HE,为AjEAH1（11）1)细直天线的积分方程（I）——Pocklington积分方程利用边界条件求细直导线之电流分布。在天线课程中线天线的电流假定是已知得，即场源已知，这里推出线天线上电流分布的积分方程。eJzJJa2a2xyz2l2l图3.3细直天线示意图令a.线长l线径ab.天线端面处之eJ和天线侧面处之J略之不计由于aeJ贡献小由于圆对称:0Jc.szJ沿导体周界均匀分布所以szJ面电流分布可视为集中于轴线上的线电流szzaJI2根据以上假设可知动态矢量位A只有Az分量，即ˆzAzA边界条件0titsEE（切向分量＝0）导体表