中考解直角三角形常见类型

中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的问题。（4）利用勾股定理，作出长为n的线段考点三、锐角三角函数的概念1、如图，在△ABC中，∠C=90°①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即casin斜边的对边AA②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即cbcos斜边的邻边AA③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即batan的邻边的对边AAA④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即abcot的对边的邻边AAA2、锐角三角函数的概念锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°sinα212223cosα232221tanα3313cotα31334、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)；（2）平方关系：1cossin22AA（3）倒数关系：tanAtan(90°—A)=1（4）商（弦切）关系：tanA=AAcossin5、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c（1）三边之间的关系：222cba（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：正弦sin，余弦cos，正切tan(4)面积公式：（hc为c边上的高）考点五、解直角三角形应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面知识点及应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即hil。坡度一般写成1:m的形式，如1:5i等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么tanhil。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。仰角铅垂线水平线视线视线俯角:ihlhlα解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）1、解直角三角形的类型与解法已知、解法三角类型已知条件解法步骤Rt△ABCBcaAbC两边两直角边（如a，b）由tanA＝ab，求∠A；∠B＝90°－A，c＝22ba斜边，一直角边（如c，a）由SinA＝ac，求∠A；∠B＝90°－A，b＝22a-c一边一角一角边和一锐角锐角，邻边（如∠A，b）∠B＝90°－A，a＝b·SinA，c＝bcosAcosA锐角，对边（如∠A，a）∠B＝90°－A，b＝atanA，c＝asinA斜边，锐角（如c，∠A）∠B＝90°－A，a＝c·SinA，b＝c·cosA2、测量物体的高度的常见模型1）利用水平距离测量物体高度数学模型所用工具应测数据数量关系根据原理侧倾器皮尺α、β、水平距离atanα＝1x，tanβ＝2x＝a·tanα·tanβtanα＋tanβ直角三角形的边角关系tanα＝xatanβ＝x＝a·tanα·tanβtanβ－tanα2)测量底部可以到达的物体的高度数学模型所用工具应测数据数量关系根据原理βαax1x2ιαβxaι皮尺镜子目高a1水平距离a2水平距离a33ah＝21aa，h＝231aaa反射定律皮尺标杆标杆高a1标杆影长a2物体影长a31ah＝23aa,h＝231aaa同一时刻物高与影长成正比皮尺侧倾器高a1水平距离a2tanα＝21aah,h＝a1＋a2tanα矩形的性质和直角三角形的边角关系镜子hhαh侧倾器倾斜角α仰角α俯角β水平距离a1tanα＝11ah,tanβ＝12ahh＝h1＋h2＝a1（tanα＋tanβ）矩形的性质和直角三角形的边角关系3）测量底部不可到达的物体的高度（1）数学模型所用工具应测数据数量关系根据理论仰角αtanα＝xh1，tanβ＝xah＝a＋h1＝a＋tanαtanβa＝a(1hβααhαβx皮尺侧倾器俯角β高度a＋tanαtanβ)矩形的性质和直角三角形的边角关系俯角α俯角β高度tanα＝a－hx,tanβ＝xa∴x＝a－htanα＝atanβ∴h＝a－atanαtanβ测量底部不可到达的物体的高度（2）数字模型所用工具应测距离数量关系根据原理仰角α，仰角βtanα＝xah11tanβ＝xh1∴h1＝tantantantan1ah＝a2＋h1＝a2＋tantantantan1ahxaαβAhxαβ皮尺侧倾器水平距离a1侧倾器高a2矩形的性质和直角三角形的边角关系仰角α仰角β高度atanα＝hx,tanβ＝h－axh＝tanαtanα－tanβtanα＝hx,tanβ＝h－ax、h＝tanαtanα－tanβ仰角α仰角β高度atanα＝hx,tanβ＝a＋hxh＝tanαtabβ－tanαhaxαβhaxαβ