排列组合典型例题

1/13典型例题一例1用0到9这10个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有39A个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814AAA（个）．∴没有重复数字的四位偶数有2296179250428181439AAAA个．解法2：当个位数上排“0”时，同解一有39A个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：)(283914AAA个∴没有重复数字的四位偶数有22961792504)(28391439AAAA个．解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有281515AAA个干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有281414AAA个∴没有重复数字的四位偶数有2296281414281515AAAAAA个．解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数．没有重复数字的四位数有39410AA个．其中四位奇数有)(283915AAA个2/13∴没有重复数字的四位偶数有28393939283915394105510)(AAAAAAAAA283954AA2828536AA2841A2296个说明：这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用．典型例题二例2三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有66A种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A对种不同的排法，因此共有43203366AA种不同的排法．（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有55A种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A种方法，因此共有144003655AA种不同的排法．（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A种排法，所以共有144006625AA种不同的排法．解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有88A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的7713AA种排法和女生排在末位的7713AA种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有6623AA种不同的排法，所以共有3/131440026623771388AAAAA种不同的排法．解法3：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有36A种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有55A种不同的排法，所以共有144005536AA种不同的排法，（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有7715AA种不同的排法；如果首位排女生，有13A种排法，这时末位就只能排男生，有15A种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有66A种不同的排法，这样可有661513AAA种不同排法．因此共有360006615137715AAAAA种不同的排法．解法2：3个女生和5个男生排成一排有88A种排法，从中扣去两端都是女生排法6623AA种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有36000662388AAA种不同的排法．说明：解决排列、组合（下面将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法．若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件．若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素．间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快．捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用．典型例题三例3排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：（1）先排歌唱节目有55A种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有46A中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：55A46A＝43200.（2）先排舞蹈节目有44A中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：44A55A＝2880种方法。说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。4/13如本题（2）中，若先排歌唱节目有55A，再排舞蹈节目有46A，这样排完之后，其中含有歌唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求。典型例题四例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法．分析与解法1：6六门课总的排法是66A，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有55A种排法，如图中Ⅰ；数学排在最后一节有55A种排法，如图中Ⅱ；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中Ⅲ，这种情况有44A种排法，因此符合条件的排法应是：5042445566AAA（种）．分析与解法2：根据要求，课程表安排可分为4种情况：（1）体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，这种排法有4424AA种；（2）数学排在第一节但体育不排在最后一节，有排法4414AA种；（3）体育排在最后一节但数学不排在第一节，有排法4414AA种；（4）数学排在第一节，体育排在最后一节，有排法44A这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有：504441444144424AAAAAA（种）．分析与解法3：根据要求，课表安排还可分下述4种情况：（1）体育，数学既不在最后也不在开头一节，有1224A种排法；（2）数学排在第一节，体育不排在最后一节，有4种排法；（3）体育在最后一书，数学木在第一节有4种排法；（4）数学在第一节，体育在最后一节有1种排法．上述21种排法确定以后，仅剩余下四门课程排法是种44A，故总排法数为5042144A（种）．下面再提出一个问题，请予解答．问题：有6个人排队，甲不在排头，乙不在排尾，问并肩多少种不同的排法．请读者完成此题．说明：解答排列、组合问题要注意一题多解的练习，不仅能提高解题能力，而且是检验所解答问题正确与否的行之有效的方法．5/13典型例题五例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：，然后把3名司机和3名售票员分别填入．因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题．解：分两步完成．第一步，把3名司机安排到3辆车中，有633A种安排方法；第二步把3名售票员安排到3辆车中，有633A种安排方法．故搭配方案共有363333AA种．说明：许多复杂的排列问题，不可能一步就能完成．而应分解开来考虑：即经适当地分类成分或分步之后，应用分类计数原理、分步计数原理原理去解决．在分类或分步时，要尽量把整个事件的安排过程考虑清楚，防止分类或分步的混乱．典型例题六例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？学校专业112212312分析：填写学校时是有顺序的，因为这涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的问题；同一学校的两个专业也有顺序，要区分出第一专业和第二专业．因此这是一个排列问题．解：填表过程可分两步．第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学校中选出3所并加排列，共有34A种不同的排法；第二步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有232323AAA种．综合以上两步，由分步计数原理得不同的填表方法有：518423232334AAAA种．说明：要完成的事件与元素的排列顺序是否有关，有时题中并未直接点明，需要根据实际情景自己判断，特别是学习了后面的“组合”之后这一点尤其重要．“选而且排”（元素之间有顺序要求）的是排列，“选而不排”（元素之间无顺序要求）的是组合．另外，较复杂的事件应分解开考虑．典型例题七6/13例57名同学排队照相．(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？分析：(1)可分两步完成：第一步，从7人中选出3人排在前排，有37A种排法；第二步，剩下的4人排在后排，有44A种排法，故一共有774437AAA种排法．事实上排两排与排成一排一样，只不过把第7~4个位子看成第二排而已，排法总数都是77A，相当于7个人的全排列．(2)优先安排甲、乙．(3)用“捆绑法”．(4)用“插空法”．解：(1)5040774437AAA种．(2)第一步安排甲，有13A种排法；第二步安排乙，有14A种排法；第三步余下的5人排在剩下的5个位置上，有55A种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有1440551413AAA种．(3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余4个元素排成一排，即看成5个元素的全排列问题，有55A种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有33A种排法．由分步计数原理得，共有7203355AA种排法．(4)第一步，4名男生全排列，有44A种排法；第二步，女生插空，即将3名女生插入4名男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，易知有35A种插入方法．由分步计数原理得，符合条件的排法共有：14403544AA种．说明：(1)相邻问题用“捆绑法”，即把若干个相邻的特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，与其他普通元素全