多元函数的可微性研究

第1章多元函数的可微性研究现实生活中有很多变量的变化是连续不断的，如气温的变化，动植物的增长，物体运动的路程等等,都是连续变化的，这些现象反映在数学上就是函数的连续性，它是微分学中的一个很重要的概念,它为微分学的研究奠定了理论基础,因此为了更深入地研究函数的可微性，我们需定义连续的基本概念.1.1一元函数的连续性1.1.1连续函数的概念已知函数xf在a存在极限b，即bxfaxlim，a可能属于函数xf的定义域;也可能不属于函数xf定义域，但是，即使属于函数的定义域，也不一定等于b，但是，当baf时，就具有特殊的意义.定义1.11设函数xf在aU有定义.若函数xf在a存在极限，且极限就是af，即afxfaxlim，则称函数xf在a连续，a是函数xf的连续点.函数xf在a连续,属于函数xf的定义域,有afxfaxlim.因此，函数xf在a连续比函数xf在a存在极限有更多、更高的要求.用极限的“-定义”为：xf在a连续axx:,0,0，有afxf.将afxfaxlim改写为.0limafxfax.设xax或axx，x称为自变数x在a的改变量.设afxafafxfy，y称为函数y在a的改变量.0xax，因此，由0limafxfax可以提出：函数xf在a连续0lim0yx一元函数的连续性是微分学的重要概念，但对于函数在某点的连续性证明问题上仍然会出现一些问题.例1.1证明xxfsin在0x处连续分析：我们可以根据极限的定义来解答此题.解：显然xxfsin在0x的某个邻域内有定义因为001sinlimsinlim00xxxxxx又00f所以0sinlim0xx即xxfsin在0x处连续.1.2一元函数的可微性1.2.1微分的概念已知函数xfy在点0x的函数值0xf，若求出函数xf在点0x附近一点xx0的函数值xxf0，常常很难求出xxf0的精确值，那么在实际应用中，只要求出xxf0的近似值即可，因此，我们将讨论近似值计算函数值xxf0的方法.因为00xfxxfy或yxfxxf00，所以，只能近似地计算出y即可，很显然地，y是x的函数，希望找到一个关于x的简便的函数近似代替y，并且使其满足误差要求，在所有关于x的函数中，一次函数最简单，因此,用x的一次函数xA（A是常数）近似代替y，所产生的误差是,xAy如果xxAy0x，一次函数xA就具有特殊的意义.定义1.2若函数xfy在0x的改变量y与自变数x的改变量x，有下列关系yxAx（A是与x无关的常数），称函数xf在0x可微，xA称为函数xf在0x的微分，表为xAdy或xAxdf0,xA也称为yxAx的线性主要部分.从yxAx中可以看到，xAy或ydy，其误差是x，为了运算的方便，我们规定自变量x的微分dx就是x，这一规定与计算函数xy的微分所得到的结果是一致的，即xxxdxdy'，于是，微分的定义也可写为dxxfdy'，当我们需要特别指明是在点0x处的微分时，则可以记为0|xxdydxxf0'或0xdf，由于0xdx，从而有dxdy|0xxxf'，可以看出函数的导数是函数的微分与自变量的微分之商，因而也将函数的导数称为微商，从而我们对导数符号dxdy有了一个新的理解.下面,我们首先讨论一元函数的可导性与可微性两者间的关系：设函数xfy在点0x可微，由可微的定义得yxAx，由上式两端同时除以x得xxAxy，当x0时，Axfxyx0'0lim.所以，如果函数在某点可微，则函数必定在该点可导;设函数xfy在点0x可导,那么由可导定义有xyx0lim0'xf，故有0'xfxy（当0x时，0），即xxxfy'xx，因此，函数xfy在点0x是可微的.综上所述，函数在某点0x可微与在该点可导是等价的，并且0'xfA,所以，函数xf在0x的微分xxfdy'，由yxAx，有xdyyxxxf0'定理1.1函数xfy在点0x可微的充要条件是函数xfy在点0x是可导.再次，我们将继续讨论一元函数的可导性与连续性两者间的关系.设函数xfy在点x处可导，即xfxyx'0lim存在，由具有极限的函数与无穷小的关系可得到xfxy，其中为当0x时的无穷小，故xxxfy'，因此，当x0时，y0，所以，函数xfy在点x处是连续的.性质1.1如果一元函数在某点可导，那么函数在该点必定连续，反之，则不一定成立.1.3微分的相关计算及其运算法则1.3.1微分的计算从函数的微分表达式dxxfdy'中，我们可以看出，若要计算函数的微分，仅需要计算函数的导数，再乘以自变量的微分即可.与导数的基本公式相对应可以建立微分的基本公式.因此，在我们学习微分的计算时必须熟练掌握导数的基本运算.1.3.2微分的运算法则若函数xu与xv可微，则(1)xcduxcud其中c是常数(2)xdvxduxvxud(3)xduxvxdvxuxvxud(4)2xvxdvxuxduxvxvxud0xv1.4复合函数的微分法则由函数ufy，xu复合而成的复合函数为xfy，它的微分即是dxxxfdy''，特别要指出，由于xu是中间变量，而dxxdu'，因此，我们有duufdy'；当u为自变量时，函数ufy的微分也是duufdy'，由此我们可以看到，无论u是自变量还是中间变量，函数ufy的微分都是一样的，这叫做一阶微分形式的不变性，导数则不具有这样的性质，当u为自变量时ufy的导数是ufy；当u为中间变量xu时，则导数为xxf''，所以，在求导数时，我们总是需要指明是对哪一个变量的导数，而求微分时，就无需指明是对哪一个变量的微分.例1已知xxfsin8ln，求xdf解设xusin8则xdxxdxxdducoscos0sin8所以dxxxduuduudyuxfsin8cos1ln.ln'第2章多元函数的极限与连续2.1多元函数的极限2.1.1多元函数的概念我们利用映射的概念来理解多元函数的概念，这有利于我们对多元函数更加深入的理解。2.1.1.1多元函数的概念设D是一个平面点集，如果对于每一点Dyxm,,变量z按照某一法则，总会有确定的值与之相对应，则称z是变量yx,的二元函数或点m的函数.记为yxfz,或mfz.点集D称为该函数的定义域，yx,则称为自变量，z称为因变量，数集Dyxyxfzz,,,|称为该函数的值域，类似地，我们可以定义n元函数nxxxxfu,,,,321,当n2时，n元函数统称为多元函数，与一元函数类似，我们约定：在讨论用算式表达的多元函数nxxxxfu,,,,321时，就以使该算式有确定值的自变量所确定的点集为这个函数的定义域.为了更深入、熟练地掌握多元函数及其定义域及值域，将以下面例题具体说明.例2.1两个电阻分别为1R和0R，并联后的总电阻为0101RRRRR解R可以看作是1R、0R的二元函数，定义域为0,0|,0101RRRR,值域为,0例2.2求函数1ln4,2222yxyxyxf的定义域.分析：解决此题的关键是分别求出函数22x-4y与1ln22yx的定义域，然后找到两个函数的公共部分.解函数1ln22yx的定义域是0122yx或122yx函数22x-4y的定义域是0422yx或422yx.他们的公共部分是4122yx，即函数yxf,的定义域是以原点为心，半径分别为1与2的环形区域D,圆周122yx不属于区域D.例2.322221,nymxyxf(0,0nm),求函数的定义域.解因为只有当012222nymx时，因变量才有确定的实数值，因此，定义域是xoy平面上的椭圆12222nymx所围成的闭区域，即1|,2222nymxyxD.2.1.2多元函数的极限为了建立多元函数微分的理论，我们将采用对比的方法，由简单到复杂逐层深入的探讨多元函数的微分，将一元函数极限的概念推广到多元函数，这个概念从一元推广到二元会有本质上的变化，但从二元推广到2nn元并没有任何实质性的问题，因此，我们在本章中主要讨论二元函数与一元函数极限相类似，对于二元函数yxfz,，我们同样也需要讨论当某点yxm,无限趋近于一个定点000,yxm时，二元函数yxfz,的变化趋势，这就是下面我们将要讨论的二元函数的极限问题.定义2.12设二元函数yxfz,在点000,yxm的邻域有定义（点om本身可以除外），如果当异于om的点yxm,以任何方式无限趋向于点000,yxm时，函数yxfz,的对应值无限地接近于一个确定的常数A，则称常数A为函数yxfz,，当0xx，0yy，或yxm,000,yxm时的极限，记作Ayxfyyxx,lim00或Ayxfyxyx,lim00,,,Ayxfmm,lim0从几何的角度来看，yxm,000,yxm可以用点yxm,与点000,yxm的距离无限的趋近于0表示，所以，点yxm,无限趋向于点000,yxm。即02020yyxx，这样，我们可以应用比较熟悉的语言来描述二元函数的极限概念。定义2.2如果对于任意给定的无论多么小得正数，总是存在一个正数，使得对于函数定义域内满足20200yyxx的点yx,，恒有Ayxf,成立，则称常数A为二元函数yxf,(当0xx，0yy)的极限，记为Ayxfyyxx,lim00。我们为了区别一元函数与二元函数的极限差异，我们通常将二元函数的极限叫做二重极限。但是，要注意的是，在二重极限中，由于自变量的增加，二元函数与一元函数的极限产生了本质上的差异，在一元函数的极限中，点yx,在集合A中趋近于点00,yx的方式是多种多样的，可以是任意的方向及路径，我们所说的Ayxfyxyx,lim00,,是指点yx,在集合中从00,yx的四面八方以可能存在的任何方式和任何路径趋近于点00,yx时，yxf,都趋于同一个函数A，所以，如果说yx,以两种不同的路径或方式趋近于点00,yx时yxf,不是趋于同一个确定的数，那么，我们就可以断定：当yx,趋于00,yx时，yxf,的极限是不存在的。通过对一元函数极限的熟练掌握，我们可以将一元函数极限的四则运算定理推广到二元函数极限中。这对与我们解决二元函数极限问题提供了理论基础。定理2.1若函数yxf,与yxh,在点000,yxm存在极限，