二项式定理(习题含答案)

二项式定理一、求展开式中特定项1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（）A．项B．项C．项D．项【答案】C【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C．3、若展开式中的常数项为．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展示式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为，4、二项式的展开式中的常数项为．【答案】112【解析】由二项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第一项取时，，此时的展开式中常数为；当第一项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填．6、设，则的展开式中常数项是．【答案】332，3031()xxx4567rrrrrrxCxxCT651530330301130......2,1,0rr2531()xx1x232n5n2531()xx10515rrrTCx2r2510C832()xx3488838122rrrrrrrxCxxC)()()(T2r1123T41(2)(13)xx1441(2)(13)xx4(13)x4C(3)rrx204C121x14C(3)12x12141420sin12cos2xaxdx6212axxx332200sin12cossincos(cossin)202xaxdxxxdxxx的展开式的通项为，所以所求常数项为．二、求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数是．【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是．【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为．10、已知，那么展开式中含项的系数为．【答案】135【解析】根据题意，，则中，由二项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（）A．－5B．5C．90D．180【答案】D因为，所以等于选Ｄ．12、在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则________；展开式中的第4项＝_______．61()axx61(2)xx6631661(2)()(1)2rrrrrrrrTCxCxx3633565566(1)22(1)2TCC3328(2)xy62xy56562828rrryxC)2(882r62xy56)2(228C61x16rrrTCx2r2615C61xx3x6(1)(2)xx3x6(1)(2)xx3x336)(2xC226)(x-xC）（3x552-2636CCdxxn16e1nxx）（32x66e111ln|6endxxxnxx）（31rnrrrnTCab2x616(3)rrrrTCx2r269135C10210012101111xaaxaxaxL8a1010(1)(21)xx8a8210(2)454180.C321()2nxxn【答案】，．【解析】由二项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最大值，∴，第4项为．13、如果，那么的值等于（）（A）－1（B）－2（C）0（D）2【答案】A【解析】令，代入二项式，得，令，代入二项式，得，所以，即，故选A．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7=﹣1，15、（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于【答案】0解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0.16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270.17、设，若，则．【答案】0.【解析】由81937x21()(2)33111()()22nrnrrrrrrrnnTCxxCx4nrnC8n119(163)333381()72Cxx7270127(12)xaaxaxax017aaa1x7270127(12)xaaxaxax70127(12)1aaaa0x7270127(12)xaaxaxax70(10)1a12711aaa1272aaa*1(3)()nnNx321x2701x322-n5nx1xxC12703132250(sincos)kxxdx8822108)1(xaxaxaakx1238aaaa00(sincos)(cossin)kxxdxxx，令得：，即再令得：，即所以18、设（5x﹣）n的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M﹣N=240，则展开式中x的系数为.【答案】150解：由于（5x﹣）n的展开式的各项系数和M与变量x无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n=4n．再由二项式系数和为N=2n，且M﹣N=240，可得4n﹣2n=240，即22n﹣2n﹣240=0.解得2n=16，或2n=﹣15（舍去），∴n=4.（5x﹣）n的展开式的通项公式为Tr+1=？（5x）4﹣r？（﹣1）r？=（﹣1）r？？54﹣r？．令4﹣=1，解得r=2，∴展开式中x的系数为（﹣1）r？？54﹣r=1×6×25=150，19、设，则．【答案】【解析】，所以令，得到，所以三、求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B.21、二项式的展开式中的系数为15，则（）(cossin)(cos0sin0)21x80128(121)aaaa01281aaaa0x80128(120)000aaaa01a12380aaaa8877108)1(xaxaxaax178aaa255178aaa87654321aaaaaaaa1x82876543210aaaaaaaaa2551256-20887654321aaaaaaaaa312nxxn45672533333342)21()(nnnnxCxxCT025n5n)()1(*Nnxn2xnA、5B、6C、8D、10【答案】B【解析】二项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B．22、(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，．23、若的展开式中的系数为10，则实数（）A．或1B．或1C．2或D．【答案】B．【解析】由题意得的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式，∴或，故选B．24、设，当时，等于（）A．5B．6C．7D．8【答案】C．【解析】令，则可得，故选C．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为()【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣？20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*NnxnknknkxCT12kn2nk2x152)1(22nnCCnnn6n4r+14T=Crrrax43r1r133324T=C48,2axaxxa411xax2xa105353104(1)ax14rrrrTCax22144101CaCaa5323(1)(1)(1)(1)nxxxx2012nnaaxaxax012254naaaan1x2312(21)22222225418721nnnnn